Blandat partiellt derivat

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 februari 2016; kontroller kräver 4 redigeringar .

Definition

Låt funktionen och dess partiella derivator $z=f(x,\;y)$

{\frac {\partial f}{\partial x)),\;{\frac {\partial f}{\partial y))

definieras i något område av punkten . Sen gränsen $(x_{0},\;y_{0})$

\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\displaystyle ({\frac {\partial f(x_{0},y_{0}+\Delta y)}{\partial x)) -{\frac {\partial f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x)))){\Delta y)),

om den finns, kallas den blandade (intilliggande) derivatan av funktionen vid punkten och betecknas . $f(x,\;y)$ $(x_{0},\;y_{0})$ ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x))$

På samma sätt definieras det som ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))$

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\displaystyle ({\frac {\partial f(x_{0}+\Delta x,\;y_{0})}{\partial y ))-{\frac {\partial f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y)))){\Delta x)),

om det finns.

Blandade partiella derivator av storleksordningen större än två definieras induktivt.[ förtydliga ]

Beteckning

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x))=f'' _{yx}=z''_{yx}$
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y))=f'' _{xy}=z''_{xy}$

Egenskaper

Om de blandade derivaten är kontinuerliga vid en punkt, så gäller likheten . ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))$

Schwartz exempel

f(x,\;y)={\begin{cases}\displaystyle {xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2} ))),\quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow {\frac {\partial ^{2}f( 0,\;0)}{\partial x\partial y))=-1\neq 1={\frac {\partial ^{2}f(0,\;0)}{\partial y\partial x} }

Det vill säga att de blandade derivaten i Schwartz-exemplet inte är lika.

Det finns ett teorem om likheten mellan blandade derivator

Schwartz teorem

Låt följande villkor vara uppfyllda:

funktioner definieras i någon omgivning av punkten . $z=f(x,\;y),\;{\frac {\partial f}{\partial x)),\;{\frac {\partial f}{\partial y)),\; {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y)),\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))$ $(x_{0},\;y_{0})$
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y)),\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))$ är kontinuerliga vid punkten . $(x_{0},\;y_{0})$

Då , det vill säga, andra ordningens blandade derivator är lika vid varje punkt där de är kontinuerliga. ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}$

Schwartz-satsen om likheten mellan blandade partiella derivator sträcker sig induktivt till blandade partiella derivator av högre ordning, förutsatt att de är kontinuerliga.

Kontinuitetsvillkoret för blandade derivat är dock inte på något sätt nödvändigt i Schwarz sats.

Exempel

$f(x,\;y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}, \quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Högerpil$ blandade andra ordningens derivator är lika överallt (inklusive vid punkten ), men andra ordningens partiella derivator är inte kontinuerliga vid punkten $(0,\;0)$ $(0,\;0)$

Bevis

Sedan dess $f(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R} ,f(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R}$ ${\frac {\partial f}{\partial x))(0,\;0)={\frac {\partial f}{\partial y))(0,\;0)=0$

På andra punkter

${\frac {\partial f}{\partial x))(x,\;y)={\frac {2xy^{4)){(x^{2}+y^{2})^ {2}}}$

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\;y)={\frac {2x^{4}y}{(x^{2}+y^{2}) ^{2}}}$

På det här sättet,

${\frac {\partial f}{\partial x))(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R}$

${\frac {\partial f}{\partial x))(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R}$

Följaktligen,

${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}=0$

På $(x,\;y)\neq (0,\;0)$

${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}={\frac {8x^{3}y^{3}}{(x^{2}+y^{2 })^{3}}}$

Det är lätt att se att den andra blandade derivatan har en diskontinuitet vid , eftersom $(0,\;0)$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))(x,\;x)=1$ och t.ex.

$\lim _{x\to 0}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))(x,\;-x)=-1$

[1] .

Anteckningar

↑ Ter-Krikorov A. M. , Shabunin M. I. Kapitel 5. Funktioner av många variabler // Matematisk analys förlopp. - 2:a uppl. - M. : MIPT, 1997. - S. 283. - 716 sid. — ISBN 5-89155-006-7 .