Cirkel av konvergens

Konvergenscirkeln [1] för en potensserie är en cirkel av formen $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$

D=\{z: |z-z_0| <R\}

... _

z\in\mathbb C

där serien konvergerar absolut , och utanför den, vid , divergerar . Med andra ord, cirkeln av konvergens för en potensserie är det inre av uppsättningen av konvergenspunkter för serien. Konvergenscirkeln kan urarta till en tom mängd när , och kan sammanfalla med hela planet för variabeln när . $|z-z_0|>R$ $R=0$ $z$ $R = \infty$

Konvergensradie

Konvergenscirkelns radie kallas konvergensradien [1] för serien.

Konvergensradien för Taylor-serien för en analytisk funktion är lika med avståndet från seriens centrum till uppsättningen av singulära punkter för funktionen, och kan beräknas med hjälp av Cauchy-Hadamard-formeln :

{1\över R} = {\varlimsup\limits_{n\högerpil \infty}} \, |a_n|^{1/n}

Denna formel härrör från Cauchy-testet .

Ostrovsky-Hadamard-satsen

För kraftserier

f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k

för vilka nästan alla koefficienter är lika med noll, i den meningen att sekvensen av koefficienter som inte är noll uppfyller $a_{k(i)}$

{\frac {k(i+1)}{k(i)}}>1+\delta

för vissa fasta är en cirkel med ett centrum och en radie lika med konvergensradien en naturlig gräns - den analytiska fortsättningen av funktionen som definieras av en sådan serie är omöjlig utanför cirkeln. $\delta>0$ $z_{0}$

Litteratur

↑ 1 2 Fikhtengolts Grigory Mikhailovich. Kurs för differential- och integralkalkyl - 2 volym . - 8. - Moskva: Fizmatlit, 2001-. - S. 557. - 864 sid. — ISBN 5-9221-0157-9 .

Se även

Analytisk fortsättning