Jordans teorem

Jordans teorem är en klassisk topologisats, känd för sin enkelhet i formulering och extrema beviskomplexitet.

Formulering

En enkel (det vill säga utan självkorsningar) platt stängd kurva delar upp planet i två sammankopplade komponenter och är deras gemensamma gräns. [ett] $\gamma$ $\mathbb R^2$

Anteckningar

Av de två sammankopplade komponenterna är en (det inre ) avgränsad; kännetecknas av det faktum att graden i förhållande till någon punkt i är lika med ; den andra (exteriör ) är obegränsad, och graden med avseende på någon punkt i är lika med noll. Enligt Schoenflies teorem är den förstnämnda alltid homeomorf till en skiva. [ett] $B$ $\gamma$ $\gamma$ $B$ $\pm 1$ $S$ $\gamma$ $\gamma$ $S$

Historik

Teoremet formulerades och bevisades av Camille Jordan 1887 .

Det hävdas ofta att Jordans bevis inte var helt uttömmande, och det första fullständiga beviset gavs av Oswald Veblen 1905 . [2] Emellertid, Thomas Hales skriver att Jordans bevis inte innehåller fel, och det enda möjliga påståendet mot detta bevis är att Jordan antar att påståendet om satsen är känt i fallet när den slutna kurvan är en polygon. [3]

Om bevis

Flera enkla bevis för Jordans teorem är kända.

Ett kort och elementärt bevis för Jordans teorem föreslogs av Aleksey Fedorovich Filippov 1950, medan Filippov själv noterar att, oberoende av honom, föreslogs ett mycket liknande bevis av Aizik Isaakovich Volpert [4] .
Ett mycket kort bevis som använder den fundamentala gruppen ges av Doyle. [5]

Variationer och generaliseringar

Jordans teorem är generaliserad i dimension:

Varje -dimensionell undergren i , homeomorphic till en sfär, delar upp utrymmet i två sammankopplade komponenter och är deras gemensamma gräns.

(n-1)

\mathbb {R} ^{n}

Detta bevisades av Lebesgue , och i det allmänna fallet av Brouwer , vilket är anledningen till att den dimensionella Jordan-satsen ibland kallas Jordan-Brauer-satsen. [ett]

n=3

n

Dessutom delar varje kompakt ansluten -dimensionell undergrenrör upp utrymmet i två sammankopplade komponenter och är deras gemensamma gräns. Beviset erhålls genom att tillämpa Alexanders dualitet . $(n-1)$ $\mathbb {R} ^{n}$

Schoenflies teorem säger att det existerar en homeomorfism av ett plan i sig själv som kartlägger en given Jordan-kurva till en cirkel.
- I synnerhet är den avgränsade komponenten i Jordans sats homeomorf till enhetsskivan, och den obegränsade komponenten är homeomorf till utsidan av enhetsskivan.
- Exemplet med vild sfär visar att ett liknande påstående inte är sant i högre dimensioner.

Se även

Jordan kurva
Vadasjöarna är ett patologiskt exempel som visar att Jordans teorem inte är trivialitet.

Anteckningar

↑ 1 2 3 I. M. Vinogradov. Jordans sats // Mathematical Encyclopedia. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk . - 1977-1985. (ryska)
↑ Se till exempel R. Courant, G. Robbins. Vad är matematik? - M.: MTSNMO, 2010, - S. 270-271.
↑ Hales, Thomas. Jordans bevis på Jordan Curve theorem // Studies in Logic, Grammar and Retoric. - 2007. - Vol. 10 , nej. 23 . - S. 45-60 .
↑ A.F. Filippov . Elementärt bevis för Jordansatsen // Uspekhi Mat . - 1950. - V. 5 , nr 5 (39) . - S. 173-176 . Arkiverad från originalet den 24 december 2013.
↑ P.H. Doyle. Planseparation. Proc. Cambridge Philos. soc. 64 (1968), sid. 291.

Litteratur

Anosov DV Cirkelmappningar, vektorfält och deras tillämpningar. - M .: MTSNMO förlag, 2003.
Filippov AF Elementärt bevis för Jordans teorem. — UMN 5:5(39) (1950), 173-176.
Jordan C. Cours d'analyse, t. I, P., 1893.
Vallee Poussin. En kurs i analys av infinitesimals. - per. från French, vol. 2, L.-M., 1933.
Alexandrov P. S. Kombinatorisk topologi. - M.-L., 1947.
Dieudonne J. Fundamentals of modern analysis. - per. från engelska, M .: 1964.
Boltjanskij V.G. , Efremovich V.A. Visuell topologi. - M . : Nauka, 1982. - 160 sid.
Prasolov V.V. Jordans teorem. — Matematik. utbildning, april-september 1999, 95-101.

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)