Alexander dualitet

Alexanderdualiteten är förhållandet mellan homologin för ett delrum och kohomologin för dess komplement. Upptäcktes 1915 av James Alexander och generaliserades av Pavel Sergeevich Aleksandrov och Lev Semyonovich Pontryagin .

Formulering

Beteckna med reducerad homologi eller kohomologi med koefficienter i en godtyckligt given Abelisk grupp . ${\tilde {H}}$

Låta vara ett kompakt lokalt sammandragbart delrum av sfären . Sedan, i vilken dimension som helst . $X$ ${\mathbb {S}}^{n}$ ${\tilde {H}}_{q}(X)\cong {\tilde {H}}^{nq-1}(\mathbb {S} ^{n}\backslash X)$ $q$

Anteckningar

Det lokala kontraktionsvillkoret kan avbrytas om Aleksandrov-Cech homologi används , som är speciellt utformad för att hantera lokala patologier.