Partiell derivat

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 december 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

I matematisk analys är en partiell derivata (första derivata) en av generaliseringarna av begreppet en derivata till fallet med en funktion av flera variabler. Den partiella derivatan är gränsen för förhållandet mellan ökningen av en funktion med avseende på den valda variabeln till ökningen av denna variabel, eftersom detta inkrement tenderar till noll.

Den partiella derivatan av en funktion med avseende på en variabel betecknas vanligtvis med , eller . Om variablerna är numrerade, till exempel , används symbolerna och också . $f$ $x$ ${\tfrac {\partial f}{\partial x))$ $f_{x}$ $D_{x}f$ $x_1,\dots,x_n$ $f_{i}$ $D_{i}f$

I explicit form definieras den partiella derivatan av en funktion vid en punkt enligt följande: $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})$

{\frac {\partial f}{\partial x_{k))}(a_{1},\cdots ,a_{n})=\lim _({\Delta x\to 0)){\frac {f (a_{1},\ldots,a_{k}+\Delta x,\ldots,a_{n})-f(a_{1},\ldots,a_{k},\ldots,a_{n}) }{\Delta x}}.

Operatör \ Funktion	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Differentiell	ett: $\operatörsnamn {d} \!f=f'_{x}\operatörsnamn {d} \!x$	2: $\operatörsnamn {d} _{x}\!f=f'_{x}\operatörsnamn {d} \!x$ 3: $\operatörsnamn {d} \!f=f'_{x}\operatörsnamn {d} \!x+f'_{y}\operatörsnamn {d} \!y+f'_{u}\operatörsnamn {d} \!u+f'_{v}\operatörsnamn {d} \!v$
Partiell derivata (första derivata)	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatörsnamn {d} \!f}{\operatörsnamn {d} \!x}}$	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatörsnamn {d} _{x}\!f}{\ operatornamn {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}$
Total derivata (andra derivata)	${\frac {\operatörsnamn {d} \!f}{\operatörsnamn {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f '_{x}$	${\frac {\operatörsnamn {d} \!f}{\operatörsnamn {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f '_{x}+f'_{u}{\frac {\operatörsnamn {d} \!u}{\operatörsnamn {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatörsnamn { d} \!v}{\operatörsnamn {d} \!x));(f'_{y}{\frac {\operatörsnamn {d} \!y}{\operatörsnamn {d} \!x}}= 0)$

Beteckning

Det bör noteras att notationen ska förstås som en integralsymbol , i motsats till den vanliga derivatan av en funktion av en variabel , som kan representeras som förhållandet mellan funktionens och argumentets differentialer. Den partiella derivatan kan dock också representeras som ett förhållande mellan differentialer, men i detta fall är det nödvändigt att ange med vilken variabel funktionen ökas: , där är funktionens partiella differential med avseende på variabeln . Ofta är missförstånd av karaktärens integritet orsaken till fel och missförstånd, såsom minskning av uttrycket [1] . $\frac{\partial f}{\partial x}$ ${\frac {df}{dx))$ ${\frac {\partial f}{\partial x}}\equiv {\frac {d_{x}f}{dx}}$ $d_{x}f$ $f$ $x$ $\frac{\partial f}{\partial x}$ $\partiell x$ ${\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}$

Geometrisk tolkning

Geometriskt ger en partiell derivata en derivata i riktningen för en av koordinataxlarna. Den partiella derivatan av en funktion vid en punkt med avseende på koordinaten är lika med derivatan med avseende på riktningen , där enheten är på -th plats. $f$ ${\vec {x}}{\,}^{0}=(x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})$ $x_k$ ${\frac {\partial f}{\partial {\vec {e))))$ ${\vec {e}}={\vec {e}}{\,}^{k}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$ $k$

Exempel

Konens volym V beror på höjden h och radien r , enligt formeln

V={\frac {\pi r^{2}h}{3)),

Partiell derivata av volymen V med avseende på radien r

{\frac {\partial V}{\partial r))={\frac {2\pi rh}{3)),

som visar den hastighet med vilken en kons volym ändras om dess radie ändras och dess höjd förblir oförändrad. Till exempel, om vi betraktar volymenheter och längdmått , kommer ovanstående derivata att ha dimensionen volymmätningshastighet , dvs. en förändring av radievärdet med 1 kommer att motsvara en förändring av konvolymen med . $m^{3}$ $m$ $m^{3}/m$ $m$ ${\frac {2\pi rh}{3}}$ $m^{3}$

Partiell derivata med avseende på h

{\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}},

som visar den hastighet med vilken en kons volym ändras om dess höjd ändras och dess radie förblir oförändrad.

Totalderivata av V med avseende på r och h

{\frac {\operatorname dV}{\operatorname dr}}=\overbrace {{\frac {2\pi rh}{3}}}^{{\frac {\partial V}{\partial r}}}+ \overbrace {{\frac {\pi r^{2}}{3}}}^{{\frac {\partial V}{\partial h}}}{\frac {\operatörsnamn dh}{\operatörsnamn dr} }

och

{\frac {\operatörsnamn dV}{\operatörsnamn dh}}=\overbrace {{\frac {\pi r^{2}}{3}}}^{{\frac {\partial V}{\partial h} ))+\overbrace {{\frac {2\pi rh}{3))}^({\frac {\partial V}{\partial r))}{\frac {\operatörsnamn dr}{\operatörsnamn dh} }

Skillnaden mellan totala och partiella derivator är elimineringen av indirekta beroenden mellan variabler i de senare.

Om (av någon anledning) proportionerna av konen förblir desamma, är höjden och radien i ett fast förhållande k ,

k={\frac {h}{r}}={\frac {\operatörsnamn dh}{\operatörsnamn dr}}.

Detta ger den totala derivatan med avseende på r :

{\frac {\operatörsnamn dV}{\operatörsnamn dr))={\frac {2\pi rh}{3))+k{\frac {\pi r^{2)){3))

Ekvationer som involverar partiella derivator kallas partiella differentialekvationer och är allmänt kända inom fysik , teknik och andra vetenskaper och tillämpade discipliner.

Se även

Blandat partiellt derivat

Anteckningar

↑ Fikhtengolts, "Differential- och integralkalkylens kurs"

Differentialkalkyl

Main

privata vyer

Differentialoperatorer
( i olika koordinater )

Första beställning	Nabla-operatör Lutning Divergens Rotor Helmholtzian
andra beställning	Elliptisk operatör Laplace-operatör Laplace vektor operatör D'Alembert operatör Laplace-Beltrami operatör
högre order	Hypoelliptisk operatör

Relaterade ämnen

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)