Gauss-Ostrogradsky formel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 juli 2021; kontroller kräver 10 redigeringar .

Gauss-Ostrogradsky-formeln kopplar samman flödet av ett kontinuerligt differentierbart vektorfält genom en sluten yta och integralen av divergensen av detta fält över volymen som begränsas av denna yta.

Formeln används för att omvandla en volymintegral till en integral över en sluten yta och vice versa.

Formulering

Vektorflödet genom en sluten yta är lika med integralen av övertagen volym som begränsas av ytan [1] $\mathbf {a}$ $S$ $\operatorname {div} \mathbf {a}$ $V$ $S$

\iint \limits _{S}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {s} =\iiint \limits _{V}\operatörsnamn {div} \mathbf {a} \cdot d\mathbf {v }

I koordinatnotation tar Ostrogradsky-Gauss formeln formen:

\iint \limits _{S}a_{x}\,dy\,dz+a_{y}\,dz\,dx+a_{z}\,dx\,dy=\iiint \limits _{ V}\left({\frac {\partial a_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial a_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial a_{z }}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz

{\displaystyle a_{x},a_{y},a_{z))

- vektorprojektioner

\mathbf {a}

Konsekvenser från Ostrogradsky-Gauss sats: 1) i solenoidfältet ( ) är vektorflödet genom valfri sluten yta lika med noll.

\operatörsnamn {div} \mathbf {a} =0

\mathbf {a}

2) om det finns en källa eller sjunka inuti en stängd yta , beror vektorflödet genom denna yta inte på dess form.

S

\mathbf {a}

Anteckningar

I Ostrogradskys arbete är formeln skriven i följande form:

\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\omega =\int ( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,ds,

var och är volym- respektive ytskillnaderna. är funktioner som är kontinuerliga tillsammans med sina partiella derivator av första ordningen i ett slutet område av rymden som begränsas av en sluten slät yta [2] . $d\omega$ $ds$ $P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)$

Modern notation av formeln:

\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\Omega =\int ( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,

var och . _ I modern notation - ett element av volym, - ett element av ytan [2] . ${\displaystyle \cos \alpha \,{dS}={dy}{dz))$ ${\displaystyle \cos \beta \,{dS}={dz}{dx))$ ${\displaystyle \cos \gamma \,{dS}={dx}{dy))$ $\omega =d\Omega$ $s=dS$

En generalisering av Ostrogradsky- formeln är Stokes-formeln för grenrör med gräns.

Historik

Teoremet fastställdes först av Lagrange 1762 [3] .

Den allmänna metoden att omvandla en trippelintegral till en ytintegral visades först av Carl Friedrich Gauss ( 1813 , 1830 ) med hjälp av exemplet med problem inom elektrodynamik [4] .

År 1826 härledde M. V. Ostrogradsky formeln i en allmän form och presenterade den som ett teorem (publicerad 1831 ). M. V. Ostrogradsky publicerade en multidimensionell generalisering av formeln 1834 [4] . Med hjälp av denna formel hittade Ostrogradsky ett uttryck för derivatan med avseende på en parameter av -faldig integral med variabla gränser och fick en formel för variationen av -faldig integral. $n$ $n$

Utomlands brukar formeln kallas för "divergenssatsen" ( engelska divergenssatsen ), ibland - Gaussformeln eller "Gauss-Ostrogradsky formeln (satsen)."

Se även

Anteckningar

↑ "Mathematical Dictionary of Higher School" V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich. Förlaget MPI. artikel "Ostrogradskijs teorem" sida 437.
↑ 1 2 Ilyin V. A. et al. Matematisk analys. Fortsättning av kursen / V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichy, Bl. X. Sendov. Ed. A. N. Tikhonova. - M .: Moscow State Universitys förlag, 1987. - 358 s.
↑ I ett arbete om ljudteorin 1762 betraktar Lagrange ett specialfall av teoremet: Lagrange (1762) "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" (Nya studier om ljudets natur och utbredning), Miscellanea Taurinensia ( Mélanges de Turin ), 2 : 11 - 172. Reprint edition: "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" Arkiverad 15 maj 2016 på Wayback Machine i JA Serret, red., Oeuvres de Lagrange , (Paris , Frankrike: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, sidorna 151-316; på sidorna 263-265 Arkiverad 13 maj 2016 på Wayback Machine Lagrange konverterar trippelintegraler till dubbla integraler med hjälp av integrering av delar .
↑ 1 2 Alexandrova N. V. Matematiska termer (Referensbok). Moskva: Högre skola, 1978, s. 150-151.

Litteratur

Ostrogradsky M. V. Note sur les integrales definies. //Mem. l'Acad. (VI), 1, sid. 117-122, 29/X 1828 (1831).
Ostrogradsky M. V. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. //Mem. l'Acad., 1, s. 35-58, 24/1 1834 (1838).

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)