Lista över plana symmetrigrupper

Artikeln sammanfattar information om klasserna av diskreta symmetrigrupper på det euklidiska planet . Symmetrigrupperna som ges här är namngivna enligt tre namnscheman: internationell notation , orbifold notation och Coxeter notation . Det finns tre typer av symmetrigrupper i planet:

• 2 oändliga familjer av punktgrupper
• 7 kantgrupper - 2D kantgrupper
• 17 tapetgrupper - 2D rymdgrupper .

Punktsymmetrigrupper

Det finns en punkt på planet som är invariant under varje transformation. Det finns två oändliga familjer av diskreta tvådimensionella punktgrupper. Grupperna definieras av parametern n , som är lika med ordningen för rotationsundergruppen. Dessutom är parametern n lika med gruppindexet.

Familj	Int. ( orbifold )	Schoenflugor	Geom. [1] Coxeter	Ordning	Exempel
Cykliska grupper	n (n•)	C n	n [n] +	n	C 1 , [ ] + (•)	C2 , [2] + ( 2•)	C3 , [3] + ( 3•)	C4 , [4] + ( 4•)	C5 , [5] + ( 5•)	C6 , [6] + ( 6•)
Dihedral grupper	nm (*n• )	D n	n [n]	2n _	D 1 , [ ] (*•)	D 2 , [2] (*2•)	D 3 , [3] (*3•)	D 4 , [4] (*4•)	D 5 , [5] (*5•)	D 6 , [6] (*6•)

Gränsgrupp

Det finns en rät linje i planet som förvandlas till sig själv under varje transformation. I detta fall kan enskilda punkter på denna linje inte förbli orörliga.

7 grupper av gränser , tvådimensionella kantgrupper . Schoenflies-symbolerna ges som de oändliga gränserna för 7 dihedriska grupper. De gula områdena representerar de oändliga grundområdena för varje kantlinje.

IUC ( orbifold )	Geom.	Schoenflugor	Coxeter	grundläggande område	Exempel
p1 (∞•)	p1 _	C∞ _	[1,∞] +
p1m1 (*∞•)	p1	C∞v _	[1,∞]

IUC (Orbifold)	Geom.	Schoenflugor	coxeter	grundläggande område	Exempel
p11g (∞×)	sid. g 1	S 2∞	[2 + ,∞ + ]
p11m (∞*)	sid. ett	C∞h _	[2,∞ + ]

IUC (Orbifold)	Geom.	Schoenflugor	coxeter	grundläggande område	Exempel
p2 (22∞)	p2 _	D∞ _	[2,∞] +
p2mg (2*∞)	p2 g	D∞d _	[2 + ,∞]
p2mm (*22∞)	p2	D∞h _	[2,∞]

Bakgrundsgrupper

17 grupper av tapeter med ändliga grundareor, ordnade efter internationell notation , orbifold notation och Coxeter notation och klassificerade av 5 Bravais gitter på planet: kvadratisk , sned (parallellogram), hexagonal (ruter med 60 graders vinkel) , rektangulär och rombisk.

Grupperna p1 och p2 med spegelsymmetri förekommer i alla klasser. Den tillhörande rena Coxeter-gruppen av reflektioner ges för alla klasser utom de skeva.

kvadrat [4,4], IUC ( Orb. ) Geom. Coxeter grundläggande område p1 (°) p 1 sid2 ( 2222) sid2 [4,1 + ,4] + [1 + ,4,4,1 + ] + pgg (22×) p g 2 g [4 + ,4 + ] pmm (*2222) s2 [4,1 + ,4] [1 + ,4,4,1 + ] cmm (2*22) c2 [(4,4,2 + )] p4 ( 442) p4 [4,4] + p4g (4*2) sid g 4 [4 + ,4] p4m (*442) p4 [4,4]

Rektangulär [∞ h ,2,∞ v ], IUC (Orb.) Geom. coxeter grundläggande område p1 (°) p 1 [∞ + ,2,∞ + ] sid2 ( 2222) sid2 [∞,2,∞] + pg(h) (××) p g 1 h: [∞ + ,(2,∞) + ] pg(v) (×× ) pg 1 v: [(∞,2) + ,∞ + ] pgm (22*) sid g 2 h: [(∞,2) + ,∞] pmg (22*) sid g 2 v: [∞,(2,∞) + ] pm(h) (**) p1 h: [∞ + ,2,∞] pm(v) (**) p1 v: [∞,2,∞ + ] pmm (*2222) s2 [∞,2,∞]

Rombisk [∞ h ,2 + ,∞ v ], IUC (Orb.) Geom. coxeter grundläggande område p1 (°) p 1 [∞ + ,2 + ,∞ + ] sid2 ( 2222) sid2 [∞,2 + ,∞] + cm(h) (*×) cl h: [∞ + ,2 + ,∞] cm(v) (*×) cl v: [∞,2 + ,∞ + ] pgg (22×) p g 2 g [((∞,2) + ) [2] ] cmm (2*22) c2 [∞,2 + ,∞] Parallelogram (sned) p1 (°) p 1 sid2 ( 2222) sid2

Hexagonal /triangulär [6,3],/ [3 [3] ], p1 (°) p 1 sid2 ( 2222) sid2 [6,3 ] cmm (2*22) c2 [6,3] ⅄ sid3 ( 333) sid3 [1 + ,6,3 + ] [3 [3] ] + p3m1 (*333) p3 [1 + ,6,3] [3 [3] ] p31m (3*3) h3 [ 6,3+ ] s6 ( 632) s6 [6,3] + p6m (*632) p6 [6,3]

Förhållandet mellan tapetundergrupper

I tabellen nedan, i skärningspunkten mellan raden som motsvarar gruppen och kolumnen som motsvarar gruppen , finns det lägsta indexet för undergruppen isomorf till . Diagonalen innehåller det minimala indexet för en riktig undergrupp som är isomorf till den omgivande gruppen.

Se även

• Lista över sfäriska symmetrigrupper
• Hyperboliskt plan — Hyperboliska symmetrigrupper

Anteckningar

1. ↑ Hestenes, Holt, 2007 .
2. ↑ H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser.  Generatorer och relationer för diskreta grupper. Berlin: Springer, 1972. § 4.6, Tabell 4

Litteratur

• D. Hestenes , J. Holt. The Crystallographic Space groups in Geometric algebra // Journal of Mathematical Physics .. - 2007. -T. 48, 023514.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Sakernas symmetrier. - A. K. Peters, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . (Orbifold notation för polyedrar, euklidiska och hyperboliska plattsättningar)

• John H. Conway, Derek A. Smith. Om kvaternioner och oktonioner: Deras geometri, aritmetik och symmetri. - Natick, MA: A.K. Peters, Ltd., 2003. - ISBN 978-1-56881-134-5 .
• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , redigerad av F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  • (Papper 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2.10]
  • (Papper 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Papper 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Coxeter, HSM och Moser, WOJ- generatorer och relationer för diskreta grupper. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-09212-9 .
• NW Johnson . Kapitel 11: Finita symmetrigrupper // Geometrier och transformationer. — 2015.

Länkar

• "Conways manuskript" på Orbifold-notation (notation ändrad från detta original, x används nu i stället för öppen punkt och o används i stället för den stängda punkten)
• De 17 tapetgrupperna