Ordlista för gruppteori

Den här artikeln sammanfattar de viktigaste termerna som används i gruppteori . Kursiv stil indikerar en intern länk till denna ordlista. I slutet finns en tabell över som används i gruppteorin.

# A B C D E F F G I K L M N O P R S T U V W Y Z _ _ _ _ _ _

P

sid

-Grupp En grupp där alla element är av ordning lika med någon potens av ett primtal (inte nödvändigtvis samma för alla element). De talar också om en primärgrupp (se finita -grupp ).

sid

sid

En

Abelian grupp Samma som den kommutativa gruppen . abelianisering Kvotgruppen med avseende på den härledda undergruppen , det vill säga för gruppen―.

G

G/[G,G]

Additiv ringgrupp En grupp vars element är alla element i den givna ringen, och vars operation är densamma som additionsoperationen i ringen. Grupp antihomomorfism En kartläggning av grupper är sådan att för godtyckliga och i (jämför med en homomorfism ).

f:(G,*)\till (H,\ gånger )

f(a*b)=f(b)\ gånger f(a)

a

b

G

Helt vanlig -grupp

sid

En finit -grupp där , där är en undergrupp som bildas av dess elements th styrkor.

sid

|G:pG|<p^{p}

pG

G

sid

G

Gruppgenerator 1. Grupprepresentationsgenerator , infinitesimal operator. 2. Ett element i genereringsmängden för en grupp. Gruppens genetiska kod Samma som gruppuppgift . Huvudraden av undergrupper En serie undergrupper där den maximala normala undergruppen är föralla medlemmar i serien.

G_{{i}}

G

G_{{i+1}}

Holomorph För en given grupp , en grupp över par ( är en grupp av automorfismer av en grupp ) med en gruppsammansättningsoperation definierad som .

(G*)

{\displaystyle \{(g,\varphi )\mid g\in G,\varphi \i \operatörsnamn {Aut} G\))

\operatorname {Aut} G

G

\odot

(g_{1},\varphi _{1})\odot (g_{2},\varphi _{2})=(g_{1}*\varphi _{1}^{-1}(g_{2} }),\varphi _{1}\circ \varphi _{2})

Grupphomomorfism En mappning av grupper är sådan att för godtyckliga a och b i G .

f\colon \ (G,*)\to (H,\times )

f(a*b)=f(a)\ gånger f(b)

Grupp En icke-tom uppsättning med en associativ binär operation definierad på den , där det finns ett neutralt element i , det vill säga för alla , och för varje element finns det ett inverst element , så att .

G

*\colon \ G\times G\to G

G

e

a\i G

e*a=a*e=a

a\i G

a^{{-1}}

a*a^{{-1}}=a^{{-1}}*a=e

Schmidt-gruppen En icke- nilpotent grupp vars alla egentliga undergrupper är nilpotenta. Miller Group - Moreno En icke- abelian grupp vars alla rätta undergrupper är abelska. Gruppalgebra För en grupp över ett fält är detta ett vektorrum över , vars generatorer är elementen , och multiplikationen av generatorerna motsvarar multiplikationen av elementen .

G

K

K

G

G

D

Gruppåtgärder Gruppen agerar till vänster på uppsättningenom en homomorfism ges , varär den symmetriska gruppen . Gruppen agerar från höger på uppsättningenom en homomorfism ges, därär gruppens inversa grupp.

G

M

\Phi \colon G\till S(M)

S(M)

G

M

\rho :G^{op}\to S(M)

G^{{op}}

G

Längd på ett antal undergrupper Nummer i definitionen av ett antal undergrupper .

n

E

Naturlig homomorfism Homomorfism av en grupptill en kvotgrupp av en normal undergrupp som associerar varje elementi gruppen med en coset . Kärnan i denna homomorfism är undergruppen.

G

G/H

H

a

ah

H

W

Gruppuppgift Definitionen av en grupp genom att specificera en genereringsmängd och en uppsättning relationer mellan generatorer betecknas med . Kallas även genetisk gruppkod , grupprepresentation (skapar tvetydighet med linjär grupprepresentation ), gruppsamrepresentation .

S

R

\langle S\mid R\rangle

Och

Gruppisomorfism Bijektiv homomorfism . Isomorfa grupper Grupper mellan vilka det finns minst en isomorfism . Invariant undergrupp Samma som vanlig undergrupp . omvänd grupp Gruppen som erhålls genom att byta argumenten för en binär operation, det vill säga för med en operation , är en grupp med en operation sådan att för alla element .

G

\ gånger

G^{{op}}

*

a*b=b\ gånger a

G

Undergruppsindex Antalet coset i varje (höger eller vänster) av expansionerna av en grupp över en given undergrupp. Index för ett antal undergrupper Index i definitionen av en subnormal serie av undergrupper .

|G_{{i+1}}:G_{{i}}|

K

Nilpotensklass För en nilpotent grupp , den minsta längden för den centrala serien av undergrupper . Angränsande klass För elementet är den vänstra coseten (eller coseten) per subgrupp mängden , den högra coseten för subgrupp är mängden , den dubbla coseten av subgrupper är mängden (uppsättningen av dubbla cosets betecknas med ).

g\in G

H

{\displaystyle gH=\{gh\mid h\in H\))

H

{\displaystyle Hg=\{hg\mid h\in H\))

H,K

{\displaystyle HgK=\{hgk\mid h\in H,k\in K\))

H\backslash G/K

Konjugationsklass För ett element , mängden av alla dess konjugerade element : .

g\in G

{\displaystyle \{hgh^{-1}\mid h\in G\))

Engagerad För en grupp som agerar på uppsättningarna och , är en kartläggning sådan att för alla och .

G

X

Y

\varphi _{G}\colon X\till Y

g\in G

x\i X

g(\varphi (x))=\varphi (g(x))

kommutator Undergruppen som genereras av alla switchar i gruppen betecknas vanligtvis medeller.

[G,G]

G'

kommutativ grupp Grupp med kommutativ binär operation ( ); även kallad en abelisk grupp .

\forall g,h\in G(g*h=h*g)

Byte av element Element för vilka kommutatorn är lika med identitetselementet i gruppen, eller på motsvarande sätt de element för vilka .

g,h\in G

g*h=h*g

Växla För element , elementet .

g,h\in G

[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}

Undergruppsväxel Många olika verk .

\{[g,h]\midt g\in G,h\in H\}

kompositionsserie För en grupp , en serie undergrupper där alla faktorgrupper är enkla grupper .

G

G_{i+1}/G_{i}

slutgrupp En grupp med ett begränsat antal element. Terminal -grupp

sid

sid

-grupp av ändlig ordning .

p^{n}

Äntligen given grupp En grupp som har ett ändligt antal generatorer och definieras i dessa generatorer av ett ändligt antal relationer ; även kallad en ändligt presenterad grupp . Fint genererad abelsk grupp En Abelisk grupp med ett ändligt system av generatorer . ändligt genererad grupp En grupp som har ett ändligt system av generatorer . Grupppresentation Samma som gruppuppgift . Torsion Undergruppen av alla element av ändlig ordning , som används för kommutativa och nilpotenta grupper, betecknad med .

\operatörsnamn {Tor} G

L

lokal egendom En grupp sägs ha någon lokal egenskap om någon ändligt genererad undergrupp av har denna egenskap. Exempel är lokal finitet, lokal nilpotens.

G

P

G

Lokalt teorem En viss lokal sats sägs vara sann för någon egenskap hos grupper om varje grupp som lokalt har denna egenskap också har det. Till exempel: en lokalt abelsk grupp är abelsk, men en lokalt ändlig grupp kan vara oändlig.

P

M

Maximal undergrupp En undergrupp så att det inte finns några andra undergrupper som innehåller den (sammanfaller inte med själva gruppen). Metabelsk grupp En grupp vars kommutator är Abelian , lösbarhetsklassen för en sådan grupp är 2. Metanilpotent grupp En polynilpotent grupp med lösbarhetsklass 2. Metacyklisk grupp En grupp som har en cyklisk normalundergrupp vars faktorgrupp också är cyklisk. Varje ändlig grupp vars ordning är kvadratfri (det vill säga inte är delbar med kvadraten av något tal) är metacyklisk. Minsta normala undergrupp Den minsta (genom inkludering) icke-identitet (det vill säga består av inte bara identitetselementet) normala undergrupp .

H

neutralt element Ett element specificerat i definitionen av en grupp , vars användning i en binär operation lämnar det andra argumentet oförändrat. Nilpotent grupp En grupp som har en central serie av undergrupper . Minsta längd av en sådan serie kallas dess nilpotensklass . Gruppnorm Uppsättningen av element i en grupp som permuterar med alla undergrupper , det vill säga skärningspunkten mellan normalisatorerna för alla dess undergrupper. Normaliserare För en undergrupp i - detta är den maximala undergrupp som är normal . Med andra ord är en normalisator en stabilisator när den verkar på uppsättningen av dess undergrupper genom konjugationer , det vill säga .

H

G

G

H

H

G

N(H)=\{g\in G\mid gHg^{{-1}}=H\}

Normal undergrupp

H

är en normal undergrupp om , för något element , , det vill säga höger och vänster coset i är samma. Med andra ord, om . Kallas även en invariant undergrupp , en normaldelare .

G

g\in G

gH=Hg

H

G

\forall g\in G\quad \forall h\in H\quad ghg^{-1}\in H

normaldelare Samma som vanlig undergrupp . Normal serie av undergrupper En serie undergrupper där är normal i, för alla medlemmar i serien.

G_{{i}}

G

Åh

Bana För ett element i uppsättningen som gruppen agerar på från vänster , uppsättningen av alla åtgärder på elementet: .

m

M

G

Gm=\{gm\mid g\in G\}

P

Permutationselement Ett par element som .

a,b\in G

ab=ba

Gruppperiod Den minsta gemensamma multipeln av elementordningarna i en given grupp. Samma som exponent , gruppexponent . Periodisk grupp En grupp där varje element har en ändlig ordning . Undergrupp En delmängd av gruppen som är en grupp med avseende på operationen definierad i .

H

G

G

Torsion undergrupp Samma som torsion . En undergrupp som genereras av en uppsättning För en godtycklig delmängd anger den minsta undergruppen som innehåller .

S\delmängd G

\langle S\rangle

G

S

Thompson Undergrupp genererad av alla abelska undergrupper ; anges .

J(G)

Passande undergrupp Undergrupp genererad av alla nilpotenta normala undergrupper ; anges .

F(G)

Frattini undergrupp Skärningspunkten för alla maximala undergrupper om några existerar, eller själva gruppen annars; anges .

G

\Phi (G)

Grupppoäng Samma som exponent , gruppperiod . Polynilpotent grupp En grupp som har en finit normalserie vars faktorer är nilpotenta . Halvdirekt produkt För grupper och över en homomorfism (betecknad på olika sätt, inklusive ) — en uppsättning utrustad med en operation sådan att för alla , .

G

H

\phi :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(H)

G\rtider _{\phi }H

G\ gånger H

*

(g_{1},h_{1})*(g_{2},h_{2})=(g_{1}\phi (h_{1})(g_{2}),h_{1}h_{ 2})

g_{1},g_{2}\i G

h_{1},h_{2}\i H

Genererar uppsättning av en grupp En delmängd av en grupp så att varje element i gruppen kan skrivas som produkten av ett ändligt antal element i mängden och deras inverser. Grupporder Samma som kardinalitet av gruppens uppsättning (för ändliga grupper , antalet element i gruppen). Elementordning För ett element , det lägsta naturliga antalet så att . Om detta inte finns anses det ha en oändlig ordning.

g\in G

m

g^{m}=e

m

g

Nästan- -Grupp

{\mathcal {E}}

För en gruppteoretisk egenskap , en grupp som har en undergrupp av finita index som har egenskapen ; det är så man talar om nästan nilpotenta , nästan lösbara , nästan polycykliska grupper.

{\mathcal {E}}

{\mathcal {E}}

Gruppvy 1. Linjär representation av en grupp , en homomorfism av en given grupp till en grupp av icke-degenererade linjära transformationer av ett vektorrum . 2. Samma som gruppuppgift . enkel grupp En grupp där det inte finns några normala undergrupper förutom den triviala (bestående av endast identitetselementet) och hela gruppen. Primär grupp En grupp där alla element är av ordning lika med någon potens av ett primtal (inte nödvändigtvis samma för alla element). Man talar också om en finit -grupp .

sid

sid

direkt produkt För grupper och - en uppsättning par som är utrustade med operationen av komponentvis multiplikation: .

(G,\cdot )

(H*)

G\ gånger H

(g_{1},h_{1})\ gånger (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}*h_{2})

R

Gruppexpansion En grupp som innehåller den givna gruppen som en normal undergrupp av . Lösbar grupp En grupp som har en normal serie av undergrupper med abelska faktorer . Den minsta av längderna i en sådan serie kallas dess lösbarhetssteg . Lösbar radikal Undergruppen som genereras av alla lösbara normala undergrupper betecknas med .

S(G)

Ett antal undergrupper En ändlig sekvens av undergrupper är sådan att , för alla . En sådan serie skrivs i formen eller i formen .

G_{0},G_{1},...,G_{n}

G_{i}\leq G_{i+1}

i\in \left\{0,...,n-1\right\},~G_{0}=1,~G_{n}=G

1=G_{0}\leq G_{1}\leq \dots \leq G_{n}=G

G=G_{n}\geq G_{n-1}\geq \dots \geq G_{0}=1

Vanlig -grupp

sid

En finit -grupp , för alla par av element och för vilka det finns ett element av den härledda undergruppen av undergruppen som genereras av dessa element, så att .

sid

a

b

u

(ab)^{p}=a^{p}b^{p}u^{p}

C

Superlöslig grupp En grupp som har en normal serie av undergrupper med cykliska faktorer . fri grupp En grupp som definieras av någon uppsättning och ändå inte har några andra relationer än de relationer som definierar gruppen. Alla fria grupper som genereras av uppsättningar med lika effekt är isomorfa . gratis arbete En grupp som definieras av elementen i dessa grupper utan ytterligare relationer mellan elementen förutom de relationer som definierar var och en av de givna grupperna. Sylow undergrupp

sid

-undergrupp i ordning ,däroch är den största gemensamma delaren av talochär lika med 1.

G

p^{n}

|G|=p^{n}s

sid

s

Symmetrisk grupp Gruppen av alla bijektioner av en given finit uppsättning (det vill säga alla permutationer ) med avseende på sammansättningsoperationen . Förhållande En identitet som tillfredsställs av generatorer av grupper (när en grupp definieras av generatorer och relationer). Konjugerat element För ett element , ett element i formen för vissa . Den korta notationen används ofta .

g\in G

{\displaystyle h{\cdot }g{\cdot }h^{-1))

h\in G

{\displaystyle g^{h}=h{\cdot }g{\cdot }h^{-1))

Grupp plexus Kransprodukten av grupper och(betecknadmed ), där gruppenagerar på någon uppsättning, är den halvdirekta produkten, där gruppenär den direkta produkten eller direkt summan av uppsättningen kopior av gruppenindexerad av elementen i uppsättningen; i det första fallet kallas plexus för Cartesian (eller full) plexus och betecknas också, i den andra direkt plexus.

A

H

A\wr H

H

\Omega

K\rtimes H

K

A

\Omega

A\,\mathrm {Wr} \,H

A\,\mathrm {wr} \,H

Stabilisator För ett element i uppsättningen , som gruppen agerar på - en undergrupp , vars alla element lämnas kvar : .

sid

M

G

\mathrm {St} _{G}(p)\delmängd G

sid

g\cdot p=p

Grad av löslighet Den minsta av längderna av normalserien av undergrupper med abelska faktorer för den givna gruppen. Subnormal serie av undergrupper En serie undergrupper där undergruppenär normal i undergruppen, för alla medlemmar i serien.

G_{{i}}

G_{{i+1}}

F

Faktorgrupp För en grupp och dess normala undergrupp definieras uppsättningen av bimängder för undergruppen med multiplikation enligt följande: .

G

H

H

(aH)*(bH)=(ab)H

Subnormala seriefaktorer Faktorgrupper i definitionen av en subnormal serie av undergrupper .

G_{{i+1}}/G_{{i}}

X

Karakteristisk undergrupp En undergrupp som är invariant under alla automorfismer i gruppen. Hall undergrupp En undergrupp vars ordning är relativt bra till dess index i hela gruppen.

C

Gruppcenter Maximal grupp av element som pendlar med varje element i gruppen: . Ett slags "abelskt mått": en grupp är abelisk om och endast om dess centrum sammanfaller med hela gruppen.

\mathrm {Z} _{G}(G)=\{g\in G\mid \forall {h\in G}\,(gh=hg)\}

Centraliserare Den maximala undergruppen, vars varje element pendlar med ett givet element: .

\mathrm {Z} _{G}(h)=\{g\in G\mid gh=hg\}

Central rad av undergrupper Normal serie av undergrupper , där, för alla medlemmar i serien.

G_{{i+1}}/G_{{i}}\subseteq Z(G/G_{{i}})

Centralt inslag i gruppen Elementet i mitten av gruppen . Cyklisk grupp En grupp som består av ett genererande element och alla dess heltalspotenser. Den är ändlig om ordningen för det genererande elementet är ändlig.

E

Utställare Den numeriska egenskapen för en finit grupp som är lika med den minsta gemensamma multipeln av beställningarna av alla element i gruppen betecknas med . Samma som gruppperiod , gruppexponent .

\exp(G)

elementär grupp En grupp som är ändlig eller abelisk , eller erhållen från ändliga och abelska grupper genom en sekvens av operationer med att ta undergrupper , epimorfa bilder, direkta gränser och förlängningar . Gruppepimorfism En epimorfism är en homomorfism om kartläggningen f är surjektiv .

f:G\till H

Jag

Homomorfism kärna Den omvända bilden av ett neutralt element under homomorfismen . Kärnan är alltid en normal undergrupp , och vilken normal undergrupp som helst är kärnan av någon homomorfism.

Symboltabell

Detta avsnitt ger en del notation som används i publikationer om gruppteori. För vissa notationer anges också motsvarande begrepp i vissa andra avsnitt av allmän algebra (teorin om ringar, fält). Förutom de angivna symbolerna används ibland deras spegelbilder, till exempel betyder det samma som . $H\triangleleft G$ $G\triangleright H$

Symbol ( Τ Ε Χ )	Symbol ( Unicode )	namn	Menande
Symbol ( Τ Ε Χ )	Symbol ( Unicode )	Uttal	Menande
Gruppteorisymboler
$\triangleleft$	⊲	Normal undergrupp , ring idealisk	$H\triangleleft G$ betyder " är en normal undergrupp av en grupp " om är en grupp, och " är ett (dubbelsidigt) ideal för en ring " om är en ring. $H$ $G$ $G$ $H$ $G$ $G$
$\triangleleft$	⊲	"normalt i", "... är idealiskt..."
$[\ :\ ]$	[ : ]	Undergruppsindex , fältdimension _	$[G:H]$ betyder "index för en undergrupp i en grupp " om är en grupp, och "dimension av ett fält över ett fält " om och är ett fält. $H$ $G$ $G$ $H$ $G$ $G$ $H$
$[\ :\ ]$	[ : ]	"index ... i ...", "dimension ... över ..."
$\ gånger$	×	Direkt produkt av grupper	$G\ gånger H$ betyder "direkt produkt av grupperna och ". $G$ $H$
$\ gånger$	×	"en direkt produkt av ... och ..."
$\ plus$	⊕	Direkt summa av delrum	$V=V_{1}\oplus V_{2}$ betyder "rymden bryts ned i en direkt summa av delrum och ". $V$ $V_{1}$ $V_{2}$
$\ plus$	⊕	"Direkt summa ... och ..."
$\ ibland$	⊗	Tensor produkt	${\displaystyle T_{1}\otimes T_{2))$ betyder "tensorprodukt av tensorer och ". $T_{1}$ $T_{2}$
$\ ibland$	⊗	"tensorprodukt av ... och ..."
$[\,,\,]$	[ , ]	Gruppelementbrytare _ _	$[g,\,h]$ betyder "kommutator av element och grupper ", dvs element . $g$ $h$ $G$ $ghg^{{-1}}h^{{-1}}$
$[\,,\,]$	[ , ]	"växla...och..."
$G^{\prime }$	G'	kommutator	$G^{\prime }$ betyder "gruppkommutator ". $G$
$G^{\prime }$	G'	"växla..."	$G^{\prime }$ betyder "gruppkommutator ". $G$
${\displaystyle \langle \ \rangle _{n))$	⟨⟩n _	Cyklisk grupp	$\langle a\rangle _{n}$ betyder "den cykliska ordningsgruppen som genereras av elementet ". $n$ $a$
${\displaystyle \langle \ \rangle _{n))$	⟨⟩n _	"Den cykliska ordergruppen genererad " $n$ $a$
$A^{T}$	Ett T	Transponerad matris	$A^{T}$ betyder "transponerad matris ". $A$
$A^{T}$	Ett T	"transponerad matris..."	$A^{T}$ betyder "transponerad matris ". $A$
${\displaystyle E_{i,\,j))$	E i, j	Matrisenhet	${\displaystyle E_{i,\,j))$ betyder "matris -ett", det vill säga en matris som har en etta på plats och nollor på resten av platserna. $I j$ $(I j)$
${\displaystyle E_{i,\,j))$	E i, j	"matrisenhet..."
$*$	*	Adjoint operator Dubbla utrymme Multiplikativ fältgrupp	${\mathcal {A}}^{}$ betyder " linjär operator som ansluter till ", om är en linjär operator. betyder " linjärt utrymme dubbelt till (dubbelt till )", om - linjärt utrymme. betyder "multiplikativ grupp av fältet ", om - fält. ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$ $V^{}$ $V$ $V$ $V$ $F^{*}$ $F$ $F$
$*$	*	"operatör konjugerad till ..."; "utrymmet konjugerat till..."; "multiplikativ grupp..."
Standardnotation för vissa grupper
$S_{n}$	S n	Symmetrisk grupp av th grad $n$	$S_{n}$ betyder "symmetrisk grupp (eller permutationsgrupp) av grad ". $n$
$S_{n}$	S n	"es..."
$En}$	A n	Alternerande grupp -e graden $n$	$En}$ betyder "en alternerande grupp (det vill säga en grupp av jämna permutationer) av grad ". $n$
$En}$	A n	"en..."
$\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$	ℤ/nℤ	Cyklisk ordergrupp $n$	$\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$ betyder "cyklisk ordningsgrupp (motsvarande: modulo-additionsgrupp av rester )". $n$ $n$
$GL_{n}(F)$	GL n (F)	Den fullständiga linjära gruppen är en grupp av icke-degenererade linjära operatorer	$GL_{n}(F)$ betyder "en grupp icke-degenererade linjära dimensionsoperatorer över ett fält " (från general linear ). $n$ $F$
$GL_{n}(F)$	GL n (F)	"samma öl... över..."
$SL_{n}(F)$	SL n (F)	En speciell linjär grupp är en grupp linjära operatorer med determinant 1	$SL_{n}(F)$ betyder "en grupp linjära dimensionsoperatorer över ett fält med determinant 1" (från speciallinjär ). $n$ $F$
$SL_{n}(F)$	SL n (F)	"es el... över..."
$UT_{n}(F)$	UT n (F)	Grupp av övre triangulära matriser	$UT_{n}(F)$ betyder "gruppen av övre triangulära matriser över ett fält " (från övre triangulär ). $n$ $F$
$UT_{n}(F)$	UT n (F)	"gruppen av övre triangulära matriser av ordning... över..."
$SUT_{n}(F)$	SUT n (F)	Grupp av övre enhetstriangulära matriser	$SUT_{n}(F)$ betyder "en grupp av övre triangulära matriser över ett fält " (från speciell övre triangulär ), det vill säga övre triangulära matriser med ettor på huvuddiagonalen. $n$ $F$
$SUT_{n}(F)$	SUT n (F)	"gruppen av övre enhetstriangulära matriser av ordning ... över ..."
$PGL_{n}(K)$	PGLn ( K)	projektiv grupp	$PGL_{n}(K)$ betyder "gruppen av transformationer av ett dimensionellt projektivt rum som induceras av icke-degenererade linjära transformationer av rummet . $(n-1)$ $P_{n-1}(K)$ $K^n$
$PGL_{n}(K)$	PGLn ( K)	"projektiv grupp av ordning... över..."
$D_{n}$	D n	Dihedral grupp -e graden $n$	$D_{n}$ betyder "dihedrisk grupp av den e graden" (d.v.s. gruppen av symmetrier för en vanlig -gon). $n$ $n$
$D_{n}$	D n	"de..."
$V_{4}$	V 4	Klein Quadruple Group	$V_{4}$ betyder "fyrdubbel Klein-grupp".
$V_{4}$	V 4	"vi fyra"	$V_{4}$ betyder "fyrdubbel Klein-grupp".

Litteratur

Vinberg E. B. Algebrakurs. - 3:e uppl. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 sid. - 3000 exemplar. — ISBN 5-88688-060-7 .
Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Kapitel II. Grupper // Allmän Algebra / Under det allmänna. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 sid. — (Referens matematiskt bibliotek). — 30 000 exemplar. — ISBN 5-02-014426-6 .

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Sympletisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform