Gruppgenerator

Gruppgenerator ( infinitesimal operator ) är ett begrepp som används i Lie- gruppteorin . Generatorerna av en grupp är de element som utgör grunden för dess Lie-algebra , eller, i det allmänna fallet, grunden för Lie-algebra för bilden av en grupp . $G$ $G$

Generatorn är derivatan av operatorns (eller matrisen) representation av ett gruppelement med avseende på någon representationsparameter med nollvärde för alla parametrar (det antas, utan förlust av allmänhet, att med nollvärden av parametrarna, operatorn som representerar det givna elementet är lika med identitetsoperatorn och motsvarar gruppens identitetselement). Representationen av ett godtyckligt gruppelement tillräckligt nära identitetselementet uttrycks på ett linjärt sätt i termer av gruppgeneratorerna (generatorer är första ordningens termer i expansionen av representationsoperatorn i en effektserie i termer av parametrar). Dessutom, under vissa svaga antaganden, kan varje element i gruppen (dess representation) uttryckas i termer av generatorer, eftersom termer av andra och högre ordningen återigen uttrycks i termer av generatorer. För en viss klass av anslutna Lie-grupper kan alla element i gruppen representeras med hjälp av en exponentiell mappning i formen . I synnerhet gäller en sådan representation för enkelt sammankopplade kommutativa grupper: gruppens egenskaper i detta fall följer uppenbarligen av identiteten för pendlingsoperatörer och . Om generatorerna inte pendlar, är den exponentiella representationen för gruppens element, generellt sett, endast giltig lokalt i en tillräckligt liten omgivning av gruppens identitet, även om gruppen är ansluten. $\exp(A_{1}\alpha _{1}+\cdots +A_{n}\alpha _{n})$ $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)$ $A$ $B$

Definition av begrepp

Låt ett godtyckligt element i gruppen ha en -parametrisk representation (operatorfunktion för parametrar, operatorer verkar på något vektorrum), och gruppens identitetselement motsvarar värdet på operatorfunktionen vid nollvärden av parametrarna . Sedan är gruppens generatorer kvantiteterna: $G$ $s$ $g(\alpha )=g(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{s})$ $s$ $g(0)$

A_{k}=\left.{\frac {\partial g(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{s})}{\partial \alpha _{k))}\right \vert _{\alpha =\,0}

Sedan kan ett godtyckligt element från grannskapet under övervägande (där parametrarna är naturligt små) utökas nära identitetstransformationen upp till termer av den andra ordningen av litenhet: $g(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{s})$ $\alfa _{k}$

g(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{s})=1+\summa _{k=1}^{s}A_{k}\alpha _{k}+O( \summa _{k,\,j=1}^{s}\alpha _{k}\alpha _{j}),

Lie Algebra. Exponentiell mappning

Låt gruppen vara en sammankopplad Lie-grupp - en grupp av transformationer beroende på en ändlig uppsättning parametrar så att vilket element som helst i gruppen kan kopplas till identitetselementet genom en väg som ligger helt inom denna grupp. Låt oss beteckna gruppens generatorer. Då kan det visas att de genererar en Lie-algebra med kommuteringsrelationen: $T(\alfa)$ $t_{a}$

[t_{b},t_{c}]=iC_{{bc}}^{a}t_{a}

var finns de så kallade strukturkonstanterna för Lie-algebra (även kallade "gruppens strukturella konstanter"). $C_{{bc}}^{a}$

Bevis

Grupplagen för multiplikation har formen:

T(\alpha )T(\beta )=T(f(\alpha ,\beta ))

var finns någon funktion. Eftersom nollparametervektorn tas som "koordinaterna" för identitetselementet måste denna funktion ha egenskaperna . Dessutom kan denna funktion utökas i en effektserie: $f$ $f^{a}(\alpha ,0)=f^{a}(0,\alpha )=\alpha ^{a}$

f^{a}(\alpha ,\beta )=\alpha ^{a}+\beta ^{a}+f_{bc}^{a}\alpha ^{b}\beta ^{c} +\dots

dessutom skulle termerna som är proportionella mot kvadraterna på parametrarna bryta mot ovanstående egenskap hos denna funktion, så de saknas i expansionen.

Låt grupprepresentationen ges . Det kan utökas i någon omgivning av noll när det gäller parametrar i form av följande serie (vi lägger till en imaginär enhet för det tillvägagångssätt som används i fysiken): $U(T(\alpha ))$

U(T(\alpha ))=1+i\alpha ^{a}t_{a}+1/2\alpha ^{b}\alpha _{c}t_{bc}+\dots

var är operatörer oberoende av parametrarna . $t_{a},t_{{bc}}$ $\alfa$

Om representationen är enhetlig är operatörerna (gruppens generatorer) hermitiska. Det antas att representationen är icke-projektiv, det vill säga vanlig, och därför kan vi skriva: $U$ $t_{a}$

U(T(\alpha ))U(T(\beta ))=U(T(f(\alpha ,\beta ))

Den vänstra sidan av detta förhållande är:

(1+i\alpha ^{a}t_{a}+1/2\alpha ^{b}\alpha _{c}t_{bc}+prickar)*(1+i\beta ^{a }t_{a}+1/2\beta ^{b}\beta _{c}t_{bc}+...)=1+i(\alpha ^{a}+\beta ^{a})t_ {a}-\alpha ^{b}\beta _{c}t_{b}t_{c}+\dots

Den högra sidan kan representeras på följande sätt (med hjälp av sönderdelningen av representationen och sönderdelningen av funktionen f):

1+i(\alpha ^{a}+\beta ^{a}+f_{bc}^{a}\alpha ^{b}\beta _{c}+prickar)t_{a}+1 /2(\alpha ^{b}+\beta ^{b}+...)(\alpha ^{c}+\beta ^{c}+...)t_{bc}+...=1 +i(\alpha ^{a}+\beta ^{a})t_{a}+f_{bc}^{a}\alpha ^{b}\beta _{c}t_{a}+\alpha ^ {b}\beta _{c}t_{bc}+...

där oblandade termer av andra ordningen utelämnas på grund av deras uppenbara sammanfallande med den vänstra sidan. Uppenbarligen sammanfaller också villkoren för den första ordningen. Relationerna för blandade termer av andra ordningen visar sig vara icke-triviala. Nämligen, för att de vänstra och högra delarna av gruppvillkoret för representation av U ska vara lika, måste förhållandet vara uppfyllt:

t_{{bc}}=-t_{b}t_{c}-if_{{bc}}^{a}t_{a}

Sålunda visade sig andra ordningens operatör för att sönderdela representationen av en grupp uttryckas i termer av första ordningens operatörer, d.v.s. i termer av gruppgeneratorer. Full konsekvens kräver dock att operatören är symmetrisk med avseende på indexen. Med uttrycket i termer av generatorer betyder symmetrikravet: $t_{{bc}}$

0=t_{{cb}}-t_{{bc}}=(t_{b}t_{c}-t_{c}t_{b})-i(f_{{cb}}^{a}-f_ {{bc}}^{a})t_{a}

Härifrån får vi uttrycket för kommutatorn för gruppgeneratorer:

[t_{b},t_{c}]=iC_{{bc}}^{a}t_{a}

var finns de så kallade strukturkonstanterna för gruppen. $C_{{bc}}^{a}=f_{{cb}}^{a}-f_{{bc}}^{a}$

En sådan uppsättning kommuteringsrelationer är Lie-algebra. Sålunda genererar gruppgeneratorer en Lie-algebra.

Dessa kommuteringsrelationer är det enda villkoret som garanterar det rekursiva uttrycket av de operatorer som uppträder i expansionen av representationen av gruppen i termer av den andra och högre ordningen. Således kan alla expansionstermer uttryckas i termer av generatorer. Detta betyder att grupprepresentationsoperatorerna, åtminstone i någon omgivning av identitetselementet, kan uttryckas unikt i termer av gruppgeneratorer.

I ett särskilt fall, när , visar kommuteringsrelationerna att generatorerna pendlar i par: . En sådan grupp är Abelian. För en sådan grupp är det möjligt att uttrycka grupprepresentationsoperatörer genom generatorer $C_{{bc}}^{a}=0$ $[t_{b},t_{c}]=0$

U(T(\alpha ))=e^{{i\alpha ^{a}t_{a}}}

En sådan mappning från en Lie-algebra till en Lie-grupp kallas exponentiell mappning.

Bevis

I en sådan grupp ; därav . Därför kan vi skriva följande grupprelation: $f(\alpha ,\beta )=\alpha +\beta$ $f(\alpha /n,\alpha /n,dots,\alpha /n)=\summa _{n}\alpha /n=\alpha$

U(T(\alpha ))=U(T(\alpha /n))^{n}

;

för tillräckligt stor kan man använda den infinitesimala representationen på grund av litenheten av . Vi får $n$ $\alfa /n$

U(T(\alpha ))=(1+i/n\alpha ^{a}t_{a})^{n}

När vi går till gränsen med avseende på , får vi det önskade uttrycket för grupprepresentationen för godtyckliga parametrar i termer av exponenten $n$

U(T(\alpha ))=e^{{i\alpha ^{a}t_{a}}}

Exempel på generatorer

Den imaginära enheten är generatorn för gruppen U(1) .
Pauli-matriser är generatorer av den särskilda enhetsgruppen SU(2).
Gell-Mann-matriser är generatorer av den speciella enhetsgruppen SU(3).

Länkar

V. S. Zamiralov "Grundläggande begrepp för teorin om grupper och deras representationer och vissa tillämpningar för partikelfysik" på webbplatsen för SINP MSU .