Minsta gemensamma nämnare

Den minsta gemensamma multipeln ( ) av två heltal är det minsta naturliga talet som är delbart med och utan en rest, det vill säga en multipel av dem båda. Indikeras på något av följande sätt: $\mathrm {HOK}$ $m$ $n$ $m$ $n$

$\mathrm {HOK} (m,n)$ ;
$[m,n]$ ;
$\mathrm {LCM} (m,n)$ eller (från engelska minsta gemensamma multipel ). $\mathrm {lcm} (m,n)$

Exempel: . $\mathrm {HOK} (16,20)=80$

Den minsta gemensamma multipeln av flera tal är det minsta naturliga talet som är delbart med vart och ett av dessa tal.

En av de vanligaste användningsområdena är att reducera bråk till en gemensam nämnare . $\mathrm {HOK}$

Egenskaper

Kommutativitet : . $\mathrm {lcm} (a,b)=\mathrm {lcm} (b,a)$
Associativitet :. _ $\mathrm {lcm} (a,\mathrm {lcm} (b,c))=\mathrm {lcm} (\mathrm {lcm} (a,b),c)$
Förhållande med största gemensamma delare : $\mathrm {gcd} (a,b)$ $\operatörsnamn {lcm}(a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatörsnamn {gcd}(a,b))).$
I synnerhet om och är coprimtal , då $a$ $b$ $\operatörsnamn {lcm}(a,b)=a\cdot b.$
$\operatörsnamn {lcm}(a_{1}^{n},a_{2}^{n},...,a_{k}^{n})=(\operatörsnamn {lcm}(a_{1}, a_{2},...,a_{k}))^{n}$ på $n\geqslant 0.$
Den minsta gemensamma multipel av två heltal och är divisor för alla andra gemensamma multipel och . Dessutom sammanfaller mängden gemensamma multiplar för , med mängden multiplar för . $m$ $n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $\mathrm {HOK} (m,n)$
Asymptotiken för kan uttryckas i termer av några talteoretiska funktioner. Så: $\operatörsnamn {lcm}(1,2,\ldots ,n)$
- Chebyshev funktion $\psi (x)=\ln \operatörsnamn {lcm} (1,2,\ldots ,\lfloor x\rfloor );$
- $\operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\leqslant g\left({\frac {n(n+1)}{2))\right)\sim e^{\sqrt { {\frac {n(n+1)}{2}}\ln {\frac {n(n+1)}{2}}}},$ som följer av definitionen och egenskaperna för Landau-funktionen ; $g(n)$
- $\operatörsnamn {lcm} (1,2,\ldots ,n)\sim e^{n+o(1)},$ som följer av lagen om fördelning av primtal .

Hitta NOC

$\mathrm {HOK} (a,b)$ kan beräknas på flera sätt.

1. Om den största gemensamma divisorn är känd kan du använda dess relation med : $\mathrm {HOK}$

\operatörsnamn {lcm}(a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatörsnamn {gcd}(a,b)))

2. Låt den kanoniska uppdelningen av båda talen till primtalsfaktorer vara känd:

a=p_{1}^{{d_{1}}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{{d_{k}}},

b=p_{1}^{{e_{1}}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{{e_{k}}},

där är distinkta primtal och och är icke-negativa heltal (de kan vara noll om motsvarande primtal inte är i nedbrytningen). Sedan beräknas det med formeln: $p_{1},\dots ,p_{k}$ $d_{1},\dots ,d_{k}$ $e_{1},\dots ,e_{k}$ $\mathrm {HOK} (a,b)$

\operatörsnamn {lcm} (a,b)=p_{1}^{\max(d_{1},e_{1})}\cdot \dots \cdot p_{k}^{\max(d_ {k},e_{k})}.

Med andra ord innehåller expansionen alla primtalsfaktorer som ingår i minst en av expansionerna av tal , och den största är hämtad från exponenterna för denna faktor. Exempel för fler siffror: $\mathrm {HOK}$ $a,b$

{\displaystyle 56\;\,\;\,=2^{3}\cdot 3^{0}\cdot 7^{1))

{\displaystyle 9\;\,\;\,=2^{0}\cdot 3^{2}\cdot 7^{0))

21\;\,=2^{0}\cdot 3^{1}\cdot 7^{1}.

\operatorname {lcm} (56,9,21)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7^{1}=8\cdot 9\cdot 7=504.

Beräkningen av den minsta gemensamma multipeln av flera tal kan också reduceras till flera på varandra följande beräkningar från två tal: $\mathrm {HOK}$

$\operatörsnamn {lcm}(a,b,c)=\operatörsnamn {lcm}(\operatörsnamn {lcm}(a,b),c);$
$\operatörsnamn {lcm}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\operatörsnamn {lcm}(\operatörsnamn {lcm}(a_{1},a_{2},\ldots, a_{{n-1}}),a_{n}).$

Se även

Största gemensamma delare

Litteratur

Vinogradov I.M. Grunderna i talteorin . - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 sid.

Länkar

Weisstein, Eric W. Least Common Multiple (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor ryss Brockhaus och Efron Ny Britannica (online)