Schoenflies symboler

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 18 december 2019; kontroller kräver 3 redigeringar .

Schoenflies-symbolerna är en av symbolerna för pekasymmetrigrupper , tillsammans med Herman-Mogen-symbolerna . Föreslog av den tyske matematikern Arthur Schoenflies i boken "Kristallsysteme und Kristallstruktur" 1891. [1] Kan också användas för att beteckna rymdgrupper (tredimensionell kristallografisk grupp ).

Notering av punktgrupper

Med punktsymmetri behåller åtminstone en punkt sin position. Punktsymmetrigrupper i tredimensionellt rum kan delas in i flera familjer. I Schoenflies-symboler beskrivs de enligt följande:

Med n betecknas cykliska grupper - grupper med en enda speciell riktning representerade av en rotationssymmetriaxel - med bokstaven C , med ett nedsänkt n som motsvarar ordningen på denna axel.

C nv (från tyska vertikal - vertikal) - grupper med n vertikala symmetriplan placerade längs symmetriaxeln, som alltid anses vara vertikala.
C nh (från tyska horisontell - horisontell) - grupper med ett horisontellt symmetriplan , vinkelrätt mot symmetriaxeln.

S 2n (från tyska spiegel - spegel) - grupper med en enda spegelsymmetriaxel. Axelindexet är alltid jämnt, eftersom spegelaxeln vid ett udda index helt enkelt är en kombination av symmetriaxeln och planet vinkelrätt mot den, det vill säga S n = C nh för udda n .

C s - för ett plan med obestämd orientering, det vill säga inte fixerat på grund av frånvaron av andra symmetrielement i gruppen.

Med ni -grupper med en enda inversionssymmetriaxel följs av en sänkt i . Som regel används endast С i (för n = 1), men ibland i litteraturen finns det beteckningar som С 3i , С 5i .
D n - är en grupp C n med ytterligare n symmetriaxlar av andra ordningen, vinkelräta mot den ursprungliga (huvudaxeln).

D nh - har också horisontella och n vertikala symmetriplan.
D nd (från tysk diagonal - diagonal) - har också n vertikala symmetriplan som löper diagonalt mellan de horisontella axlarna av andra ordningen.

D 2 - gruppen benämndes ibland tidigare som V (från tyska Vierergruppe - quadruple group ), och D 2h- och D 2d - grupperna som Vh respektive Vd .

T, O, I är symmetrigrupper med flera axlar av högre ordning (ordningen på n -axeln är större än eller lika med 3). Tillägget av indexet h indikerar närvaron av ett horisontellt plan och, som en konsekvens, vertikala symmetriplan och ett inversionscentrum. Tillägget av index d till gruppen T indikerar närvaron av diagonala symmetriplan. Skillnaden mellan gruppen T d och T h är att den första inte innehåller ett inversionscentrum, medan den andra gör det, men T d innehåller tre inversionsaxlar av fjärde ordningen, medan det i T h inte finns några sådana axlar.

T , T h , T d - uppsättning rotationsaxlar i tetraedern (endast rotationsaxlar av 2:a och 3:e ordningen).
O , O h - uppsättning rotationsaxlar i en oktaeder eller kub (rotationsaxlar av 2:a, 3:e och 4:e ordningen).
I , I h - en uppsättning rotationsaxlar i ikosaedern eller dodekaedern (rotationsaxlar av 2:a, 3:e och 5:e ordningen).

Ibland betecknas de ikosaedriska grupperna I och Ih som Y och Yh .

Grupper med högst en högre ordningsaxel kan ordnas i följande tabell

n	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	...	$\infty$
C n	C1 _	C2 _	C3 _	C4 _	C5 _	C6 _	C7 _	C 8	…	C∞ _
C nv	Civ = Cs _ _	C 2v	C 3v	C4v _	C5v _	C6v _	C 7v	c8v _	…	C∞v _
C nh	Cih = Cs _ _	C 2h	C 3h	C4h _	C 5h	C6h _	C 7h	C 8h	…	C∞h _
S n	S1 = Cs _ _	S 2 \ u003d C i	S3 = C 3h _	S4 _	S5 = C 5h _	S6 _	S 7 \ u003d C 7h	S8 _	…	S∞ = C∞h _ _
C ni	Ci = Ci _ _	C2i = Cs _ _	C3i = S6 _ _	C4i = S4 _ _	C5i = S 10 _	C6i = C 3h _	C7i = S 14 _	C8i = S8 _ _	…	C∞i = C∞h _ _
D n	D1 = C2 _ _	D2 = V _	D3 _	D4 _	D5 _	D6 _	D7 _	D8 _	…	D∞ _
Dnh _	D Ih = C 2v	D2h = Vh _ _	D3h _	D4h _	D5h _	D6h _	D7h _	D8h _	...	D∞h _
Dnd _	D1d = C2h _ _	D2d = Vd _ _	D3d _	D4d _	D5d _	D6d _	D7d _	D8d _	…	D∞d = D∞h _ _

Vinröda färgmärken används inte varianter av gruppbeteckningar.

Inom kristallografi kan n , på grund av kristallstrukturens translationella symmetri, endast anta värdena 1, 2, 3, 4 och 6. Icke-kristallografiska punktgrupper ges på en grå bakgrund. D 4d och D 6d är också icke-kristallografiska, eftersom de innehåller spegelaxlar av ordningen 8 respektive 12. De 27 kristallografiska punktgrupperna från tabellen och de fem grupperna T , Td , Th , O och Oh utgör alla 32 kristallografiska symmetripunktgrupper .

Grupper med kallas limitgrupper [2] eller Curie- grupper . Dessa inkluderar ytterligare två grupper som inte presenteras i tabellen. Detta är gruppen av alla möjliga rotationer runt alla axlar som går genom punkten, K (från tyska Kugel - boll) - gruppen av rotationer, samt gruppen K h , som beskriver bollens symmetri - den maximala möjliga punkten symmetri i tredimensionellt utrymme; alla punktgrupper är undergrupper till gruppen K h . Ibland betecknas dessa grupper också R (3) (från engelska rotation - rotation) och R h (3) . I matematik och teoretisk fysik betecknas de vanligtvis som SO(3) och O(3) ( särskild ortogonal grupp i tredimensionellt rum och ortogonal grupp i tredimensionellt rymden). $n=\infty$

Mellanslagsgruppnotation

Om vi tar bort translationskomponenterna i rymdgruppen (det vill säga tar bort translationerna och ersätter de spiralformade axlarna med vanliga axlar, och de betande reflektionsplanen med spegelplan), så får vi den punktgrupp som motsvarar rymdgruppen - en av de 32 kristallografiska punktgrupperna . Schoenflies-symbolen för en rymdgrupp bildas av symbolen för motsvarande punktgrupp med en extra upphöjd, eftersom vanligtvis flera rymdgrupper motsvarar en punktgrupp samtidigt (max - 28 rymdgrupper för D 2h -gruppen ). Samtidigt ger indexet ingen ytterligare information om gruppens symmetrielement, utan är helt enkelt relaterat till sekvensen där Schoenflies härledde 230 rymdgrupper . Således säger Schoenflies-symbolen för rymdgruppen inte bara något om orienteringen av symmetrielementen med avseende på cellens axlar, utan ger inte ens information om centreringen av cellen och den translationella komponenten av axlarna och symmetri. flygplan. För att få fullständig information om rymdgruppen från Schoenflies-symbolen måste du använda tabellen där dessa symboler jämförs med Herman-Mogen-symbolerna . Till exempel finns en sådan tabell i listan över utrymmesgrupper eller här .

Se även

Externa länkar

Litteratur

Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya, Geometric Crystallography, Moscow State University, 1973
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Crystallography, Moscow State University, 1992
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Theory of crystal symmetry, GEOS, 2000 (tillgänglig online http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
P. M. Zorkiy. Symmetry of molecules and crystal structures, Moscow State University, 1986 (tillgänglig online http://www.chem.msu.su/rus/teaching/zorkii2/welcome.html )
R. Flurry, Symmetrigrupper. Teori och kemiska tillämpningar, M.: Mir, 1983
I. Hargitai, Symmetri genom ögonen på en kemist. - M.: Mir, 1991 (sida 99)

Anteckningar

↑ Arthur Moritz Schönflies, "Krystallsysteme und Krystallstructur", Druck und Verlag von BG Teubner, 1891 . Hämtad 3 oktober 2017. Arkiverad från originalet 24 juli 2017. (obestämd)
↑ Begränsa poänggrupper . Hämtad 18 november 2011. Arkiverad från originalet 23 februari 2008. (obestämd)