Lista över kristallografiska grupper

Kristallografiska grupper , eller Fedorov-grupper - en uppsättning symmetrigrupper som beskriver alla möjliga symmetrier för ett oändligt antal periodiskt belägna punkter i tredimensionellt rymd. Denna klassificering av symmetrier gjordes oberoende och nästan samtidigt av den ryske matematikern Fedorov och den tyske matematikern Schoenflies . Den erhållna informationen spelar en viktig roll i kristallografi .

Förklaring till listan

Hermans symbol är Mogen

Mellanslagsgruppsymbolen innehåller Bravais gittersymbol (versal P, A, B, C, I, R eller F) och den internationella punktgruppsymbolen. I detta fall kan symbolerna för axlarna och symmetriplanen i symbolen ändras till symbolerna för spiralaxlar och glidplan i enlighet med deras närvaro i detta speciella kristallutrymme. Symbolerna för Bravais gitter förmedlar dess typ av centrering:

P - primitiv;
I - kroppscentrerad (ytterligare nod i mitten av cellen);
F - ansiktscentrerad (ytterligare noder i mitten av alla ansikten).
C, A eller B - bascentrerad (en extra nod i mitten av ansikte C, A eller B). Gitter av typ A och B kallas också sidcentrerade;
R - dubbelt kroppscentrerad (två ytterligare noder på cellens stora diagonal).

Klasser

För att beteckna kristallografiska klasser ( punktgrupper ) accepteras följande beteckningar (här ersätter bokstaven n ett naturligt tal, och bokstaven m står för bokstaven m själv ):

$n$ är symmetriaxeln i n :e ordningen.
$\ladugård}$ är inversionssymmetriaxeln av n :e ordningen.
$m$ är symmetriplanet.
$nm$ eller - symmetriaxeln av n :te ordningen och n symmetriplan som passerar längs den. $mm$
${\frac {n}{m))$ är symmetriaxeln av ordningen n och symmetriplanet vinkelrätt mot den.
$n2$ är en symmetriaxel av ordningen n och n axlar av andra ordningen vinkelrät mot den.
$n/mmm$ - symmetriaxel av n :e ordningen och plan parallella och vinkelräta mot den.
${\bar {n}}m2$ eller ( n - jämn) - inversionssymmetriaxel av n :e ordningen, symmetriplan som passerar längs den, och axlar av andra ordningen, vinkelräta mot den. ${\bar {n}}2m$ ${\tfrac {n}{2))$ ${\tfrac {n}{2))$
${\bar {n}}m$ ( n - udda) - inversionssymmetriaxel av n :e ordningen, n symmetriplan som passerar längs den och n axlar av andra ordningen, vinkelräta mot den.

Schoenflies symbol

C n - cykliska grupper - grupper med en enda speciell riktning representerade av en rotationssymmetriaxel - betecknas med bokstaven C , med en nedsänkt n som motsvarar ordningen på denna axel.

Med ni - grupper med en enda inversionssymmetriaxel åtföljs av en nedsänkt i.
C nv (från tyska vertikal - vertikal) - har också ett symmetriplan som ligger längs den enda symmetriaxeln eller huvudaxeln, som alltid anses vara vertikal.
C nh (från tyska horisontell - horisontell) - har också ett symmetriplan vinkelrätt mot symmetrins huvudaxel.

S 2 , S 4 , S 6 (från tyska spiegel - spegel) - grupper med en enda spegelsymmetriaxel.

C s - för ett plan med obestämd orientering, det vill säga inte fixerat på grund av frånvaron av andra symmetrielement i gruppen.

D n - är en C n - grupp med ytterligare n symmetriaxlar av andra ordningen, vinkelräta mot den ursprungliga axeln.

D nh - har också ett horisontellt symmetriplan.
D nd (från tyska diagonal - diagonal) - har också vertikala diagonala symmetriplan som går mellan symmetriaxlarna av andra ordningen.

O, T - symmetrigrupper med flera axlar av högre ordning - grupper av kubisk syngoni. De betecknas med bokstaven O om de innehåller hela uppsättningen symmetriaxlar för oktaedern, eller med bokstaven T om de innehåller hela uppsättningen symmetriaxlar för tetraedern.

O h och T h - innehåller också ett horisontellt symmetriplan
T d - innehåller också ett diagonalt symmetriplan

n kan vara 1, 2, 3, 4, 6.

Lista över alla 230 grupper

siffra	Klass	Antal grupper	Symbol för Herman-Mogen	Schoenflies symbol	Bild
trikliniska systemet
ett	$ett$	ett	$P1$	$C_{1}$
2	${\bar {1}}$	ett	$P{\bar {1}}$	$C_{i}$
Monoklint system
3-5	$2$	3	$P2$ $P2_{1}$ $C2$	$C_{2}$	Utåt har en person symmetri. $C_{s}$
6-9	$m$	fyra	$Pm$ $PC$ $cm$ $Cc$	$C_{s}$
10-15	$2/m$	6	$P2/m$ $P2_{1}/m$ $C2/m$ $P2/c$ $P2_{1}/c$ $C2/c$	${\displaystyle C_{2h))$
Rombiskt system
16-24	$222$	9	$P222$ ${\displaystyle P222_{1))$ $P2_{1}2_{1}2$ $P2_{1}2_{1}2_{1}$ $C222_{1}$ $C222$ $F222$ $I222$ $I2_{1}2_{1}2_{1}$	$D_{2}$	Skenorna är symmetriska. $C_{{2v}}$
25 - 46	$mm2$	22	$Pmm2$ ${\displaystyle Pmc2_{1))$ $Pcc2$ $Pma2$ ${\displaystyle Pca2_{1))$ $Pnc2$ ${\displaystyle Pmn2_{1))$ $Pba2$ $Pna2_{1}$ $Pnn2$ $Cmm2$ ${\displaystyle Cmc2_{1))$ $Ccc2$ $Amm2$ $Aem2$ $Ama2$ $Aea2$ $Fmm2$ $Fdd2$ $Imm2$ $Iba2$ $Ima2$	$C_{{2v}}$
47-74	$hmmm$	28	$Pmmm$ $Pnnn$ $PCCM$ $Pban$ $Pma$ $Pnna$ $Pmna$ $Pcca$ $Pbam$ $Pccn$ $Pbcm$ $Pnnm$ $Pmmn$ $Pbcn$ $Pbca$ $pnma$ $cmcm$ $cmce$ $Cmmm$ $Cccm$ $cmme$ $Ccce$ $Fmmm$ $Fddd$ $Immm$ $Ibam$ $Ibca$ $Imma$	${\displaystyle D_{2h))$
Tetragonalt system
75-80	$fyra$	6	$P4$ ${\displaystyle P4_{1))$ ${\displaystyle P4_{2))$ ${\displaystyle P4_{3))$ $I4$ ${\displaystyle I4_{1))$	$C_{4}$	$C_{4}$ Symmetri.
81-82	${\bar {4}}$	2	$P{\bar {4))$ $I{\bar {4))$	$S_{4}$
83-88	$4/m$	6	$P4/m$ $P4_{2}/m$ $P4/n$ $P4_{2}/n$ $I4/m$ $I4_{1}/a$	${\displaystyle C_{4h))$
89-98	$422$	tio	$P422$ $P42_{1}2$ $P4_{1}22$ $P4_{1}2_{1}2$ $P4_{2}22$ $P4_{2}2_{1}2$ $P4_{3}22$ $P4_{3}2_{1}2$ $I422$ $I4_{1}22$	${\displaystyle D_{4))$
99-110	$4 mm$	12	$P4mm$ $P4bm$ $P4_{2}cm$ $P4_{2}nm$ $P4cc$ $P4nc$ $P4_{2}mc$ $P4_{2}bc$ $I4mm$ $I4cm$ $I4_{1}md$ $I4_{1}cd$	${\displaystyle C_{4v))$
111-122	${\bar {4}}2m$	12	$P{\bar {4}}2m$ $P{\bar {4}}2c$ $P{\bar {4}}2_{1}m$ $P{\bar {4}}2_{1}c$ $P{\bar {4}}m2$ $P{\bar {4}}c2$ $P{\bar {4}}b2$ $P{\bar {4}}n2$ $I{\bar {4}}m2$ $I{\bar {4}}c2$ $I{\bar {4}}2m$ $I{\bar {4}}2d$	${\displaystyle D_{2d))$
123-142	$4/mmmm$	tjugo	$P4/mmm$ $P4/mcc$ $P4/nbm$ $P4/nnc$ $P4/mbm$ $P4/mnc$ $P4/nmm$ $P4/ncc$ $P4_{2}/mmc$ $P4_{2}/mcm$ $P4_{2}/nbc$ $P4_{2}/nnm$ $P4_{2}/mbc$ $P4_{2}/mnm$ $P4_{2}/nmc$ $P4_{2}/ncm$ $I4/mmm$ $I4/mcm$ $I4_{1}/amd$ $I4_{1}/acd$	${\displaystyle D_{4h))$	Kristallgittret av zirkon har symmetri. $I4_{1}/amd$
Trigonalt system
143-146	$3$	fyra	$P3$ $P3_{1}$ $P3_{2}$ $R3$	$C_{{3}}$	Borazanmolekylen har symmetri . ${\displaystyle C_{3v))$
147-148	${\bar {3}}$	2	$P{\bar {3))$ $R{\bar {3))$	${\displaystyle C_{3i))$
149-155	$32$	7	$P312$ $P321$ $P3_{1}12$ $P3_{1}21$ $P3_{2}12$ $P3_{2}21$ $R32$	${\displaystyle D_{3))$
156-161	$3m$	6	$P3m1$ $P31m$ $P3c1$ $P31c$ $R3m$ $R3c$	${\displaystyle C_{3v))$
162-167	${\bar {3}}m$	6	$P{\bar {3}}1m$ $P{\bar {3}}1c$ $P{\bar {3}}m1$ $P{\bar {3}}c1$ $R{\bar {3}}m$ $R{\bar {3}}c$	$D_{3d}$
Sexkantigt system
168-173	$6$	6	$P6$ $P6_{1}$ $P6_{5}$ $P6_{2}$ $P6_{4}$ $P6_{3}$	$C_{6}$	Honeycombs är symmetriska. $C_{{6h}}$
174	${\bar {6}}$	ett	$P{\bar {6}}$	${\displaystyle C_{3h))$
175-176	$6/m$	2	$P6/m$ $P6_{3}/m$	$C_{{6h}}$
177-182	$622$	6	$P622$ $P6_{1}22$ $P6_{5}22$ $P6_{2}22$ $P6_{4}22$ $P6_{3}22$	$D_{6}$	Ett nanorör kan ha symmetri. ${\displaystyle D_{6h))$
183-186	$6 mm$	fyra	$P6mm$ $P6cc$ $P6_{3}cm$ $P6_{3}mc$	$C_{6v}$
187-190	${\bar {6}}m2$	fyra	$P{\bar {6}}m2$ $P{\bar {6}}c2$ $P{\bar {6}}2m$ $P{\bar {6}}2c$	${\displaystyle D_{3h))$
191-194	$6/mmmm$	fyra	$P6/mmm$ $P6/mcc$ $P6_{3}/mcm$ $P6_{3}/mmc$	${\displaystyle D_{6h))$
Kubiksystem
195-199	$23$	5	$P23$ $F23$ $I23$ $P2_{1}3$ $I2_{1}3$	$T$	Strukturen hos en diamant är symmetrisk. $Fd{\bar {3}}m$
200-206	$m{\bar {3))$	7	$Pm{\bar {3))$ $Pn{\bar {3}}$ $Fm{\bar {3))$ $Fd{\bar {3))$ $Im{\bar {3}}$ $Pa{\bar {3))$ $Ia{\bar {3))$	$T_{h}$
207-214	$432$	åtta	$P432$ $P4_{2}32$ $F432$ $F4_{1}32$ $I432$ $P4_{3}32$ $P4_{1}32$ $I4_{1}32$	$O$
215-220	${\bar {4}}3m$	6	$P{\bar {4}}3m$ $F{\bar {4}}3m$ $I{\bar {4}}3m$ $P{\bar {4}}3n$ $F{\bar {4}}3c$ $I{\bar {4}}3d$	${\displaystyle T_{d))$
221-230	$m{\bar {3}}m$	tio	$Pm{\bar {3}}m$ $Pn{\bar {3}}n$ $Pm{\bar {3}}n$ $Pn{\bar {3}}m$ $Fm{\bar {3}}m$ $Fm{\bar {3}}c$ $Fd{\bar {3}}m$ $Fd{\bar {3}}c$ $Im{\bar {3}}m$ $Ia{\bar {3}}d$	$O_{h}$

I andra dimensioner

Periodiska strukturer i endimensionell rymd har bara två typer av symmetri. De kan illustreras med karaktärssekvenser:

... *- *- *- *- *- *- *- ... ... |^_^|^_^|^_^|^_^|^_^|^_^| ..

Den första oändliga sekvensen är symmetrisk endast med avseende på translation (med tre symboler), den andra sekvensen är också symmetrisk med avseende på reflektion.

I tvådimensionellt utrymme finns det 17 typer av symmetri av periodiska strukturer.

Antalet symmetrigrupper i ett godtyckligt n-dimensionellt utrymme beskrivs av sekvensen A006227 .

Efterföljande klassificering

Grupper kan delas in i symmorfa och icke-symmorfa. Symmorfa symmetrier är de som kan bildas genom rotation runt axlarna, samt reflektion från plan som alla passerar genom en punkt. Symmorfa rymdgrupper innehåller, som undergrupper, punktsymmetrigrupper som motsvarar den klass som den givna rymdgruppen tillhör.

Alla 230 grupper kan delas in i 32 klasser. Varje klass har en symmetri som lämnar minst en plats fast. Antalet element i klasserna varierar från 1 till 28.

Klasser kan delas in i system ( syngonies ). Det finns 7 syngonier. Varje syngony har minst en limitgrupp .

Se även

Litteratur

Internationella tabeller för kristallografi. Volym A: Space-group symmetri / Redigerad av MI Aroyo. - International Union of Crystallography, 2016. - ISBN 978-0-470-97423-0 .