Syngony

Syngony (av grekiskan σύν "enligt, tillsammans, bredvid" + γωνία "vinkel"; lit. "likhet") är en klassificering av kristallografiska symmetrigrupper , kristaller och kristallgitter beroende på koordinatsystemet ( koordinatram ); symmetrigrupper med ett enda koordinatsystem kombineras till en syngoni. Kristaller som tillhör samma syngony har liknande hörn och kanter av enhetsceller .

Ett kristallsystem är en klassificering av kristaller och kristallografiska grupper baserad på en uppsättning symmetrielement som beskriver en kristall och tillhör en kristallografisk grupp.

Gittersystem - klassificering av kristallgitter beroende på deras symmetri .

Det finns en förvirring i litteraturen av alla tre begreppen: syngoni [1] , kristallsystem [2] och gittersystem [3] , som ofta används som synonymer .

I den ryskspråkiga litteraturen används ännu inte termen "gittersystem". Vanligtvis förväxlar författare detta koncept med ett kristallint system. I boken "Fundamentals of Crystallography" [4] använder författarna termen "Lattice syngony" (" Enligt nodernas symmetri kan rumsliga gitter delas in i sju kategorier som kallas gittersyngonier "). Samma författare kallar syngonies system (" Den mest etablerade klassificeringen av grupper är deras uppdelning i sex system baserade på symmetri av ansiktskomplex ").

Syngony

Historiskt sett var den första klassificeringen av kristaller uppdelningen i syngonier, beroende på det kristallografiska koordinatsystemet. Kristallens symmetriaxlar valdes som koordinataxlar och, i deras frånvaro, kanterna på kristallen. I ljuset av modern kunskap om kristallers struktur motsvarar sådana riktningar översättningarna av kristallgittret , och översättningarna av Bravais-cellen i standarduppställningen väljs som koordinatsystem . Beroende på förhållandet mellan längderna på dessa översättningar och vinklarna mellan dem , särskiljs sex olika syngonier, som delas in i tre kategorier beroende på antalet lika långa översättningar [5] : $\alfa ,\beta ,\gamma$

Lägsta kategori (alla sändningar är inte lika med varandra)
- Triclinic : , $a\neq b\neq c$ $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ }$
- Monoklinisk : , $a\neq b\neq c$ $\alpha =\gamma =90^{\circ },\beta \neq 90^{\circ }$
- Rombisk : , $a\neq b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Medium kategori (två sändningar av tre är lika)
- Tetragonal : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$
- Hexagonal : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ },\gamma =120^{\circ ))$

Högsta kategori (alla sändningar är lika)
- Kubik : , $a=b=c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Crystal System

Uppdelningen i kristallsystem utförs beroende på uppsättningen av symmetrielement som beskriver kristallen . En sådan uppdelning leder till sju kristallsystem, varav två - trigonala (med en axel av 3:e ordningen) och hexagonala (med en axel av 6:e ordningen) - har samma enhetscell i form och tillhör därför en, hexagonal, syngoni. Det sägs ibland att den hexagonala syngonin är uppdelad i två subsygonier [6] eller hyposygonier. [7]

Kristallsystem är också indelade i tre kategorier, beroende på antalet högre ordningens axlar (axlar ovanför andra ordningen).

Möjliga kristallsystem i tredimensionellt utrymme med symmetrielement som definierar dem, det vill säga symmetrielement, vars närvaro är nödvändig för att tillskriva en kristall eller punktgrupp till ett specifikt kristallsystem:

Underlägsen kategori (inga axlar av högre ordning)
- Triclinic : ingen symmetri eller endast centrum för inversion $\overline {1}$
- Monoklin : en ordningens axel och/eller symmetriplan $2$ $m$
- Rombisk : tre ömsesidigt vinkelräta axlar av ordningen och/eller ett symmetriplan (riktningen på symmetriplanet anses vara vinkelrät mot det) $2$ $m$
Medium kategori (en axel av högre ordning)
- Tetragonal : en axel av -th ordningen eller $fyra$ $\overline {4}$
- Trigonal : en ordningens axel $3$
- Hexagonal : en axel av -th ordningen eller $6$ $\overline {6}$
Högsta kategori (flera axlar av högre ordning)
- Kubik : fyra axlar av -th ordningen $3$

Kristallsystemet för en rymdgrupp bestäms av systemet för dess motsvarande punktgrupp. Till exempel hör grupperna Pbca, Cmcm, Immm, Fddd ( klass mmm) till det rombiska systemet.

Den moderna definitionen av ett kristallsystem (gäller inte bara för vanliga tredimensionella grupper utan även för rum av vilken dimension som helst) hänvisar punktgrupper (och rymdgrupper härledda från dem) till ett kristallsystem om dessa grupper kan kombineras med samma typer av Bravais-galler. Till exempel hör grupperna mm2 och 222 båda till det rombiska systemet, eftersom det för var och en av dem finns rymdgrupper med alla typer av rombiska gitter (Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2 och P222, C222, I222, F222), medan grupperna 32 och 6 hör inte till samma kristallsystem, eftersom för grupp 32 är primitiva och dubbelcentrerade hexagonala celler tillåtna (grupperna P321 och R32), och grupp 6 kombineras endast med en primitiv hexagonal cell (det finns en grupp P 6 , men det finns ingen R6 ) .

Gittersystem

Beskriver typerna av kristallgitter. Kort sagt: gitter är av samma typ om deras punktsymmetrigrupper (när man betraktar gitter som geometriska objekt) är desamma. Sådana punktgrupper som beskriver gittrets symmetri kallas holohedri . [åtta]

Totalt finns det sju system av gitter, som, på samma sätt som de tidigare klassificeringarna (syngoni och kristallsystem), är indelade i tre kategorier.

Lägsta kategori (alla sändningar är inte lika med varandra)
- Triclinic : , $a\neq b\neq c$ $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ }$
- Monoklinisk : , $a\neq b\neq c$ $\alpha =\gamma =90^{\circ },\beta \neq 90^{\circ }$
- Rombisk : , $a\neq b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Mellankategori
- Tetragonal : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$
- Hexagonal : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ },\gamma =120^{\circ ))$
- Rombohedral : , $a=b=c$ $\alpha =\beta =\gamma <120^{\circ }\neq 90^{\circ }$

Högsta kategori (alla sändningar är lika)
- Kubik : , $a=b=c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Det romboedriska gittersystemet bör inte förväxlas med det trigonala kristallsystemet. Kristaller av det romboedriska gittersystemet tillhör alltid det trigonala kristallsystemet, men trigonala kristaller kan tillhöra både romboedriska och sexkantiga gittersystem. Till exempel hör grupperna R3 och P321 (båda från det trigonala kristallsystemet) till olika gittersystem (romboedriska respektive hexagonala).

Allmän definition tillämplig på utrymmen av alla dimensioner - Gitter är av samma typ om de kombineras med samma punktgrupper. Till exempel är alla rombiska gitter (rhombic P, rhombic C, rhombic I och rhombic F) av samma typ, eftersom de kombineras med punktgrupperna 222, mm2 och mmm för att bilda rymdgrupper P222, Pmm2, Pmmm; C222, Cmm2, Cmmm; I222, Imm2, Immm; F222, Fmm2, Fmmm. Samtidigt motsvarar cellerna i det hexagonala systemet (primitivt P och dubbelcentrerat R) olika gittersystem: båda är kombinerade med punktgrupperna i det trigonala kristallsystemet, men endast den primitiva cellen kombineras med grupperna i hexagonalt system (det finns grupperna P6, P 6 , P6/m, P622, P6mm, P 6 m2, P6/mmm, men det finns inga grupper R6, R 6 , R6/m, R622, R6mm, R 6 m2, R6 /mmm).

Kopplingen mellan syngoni, kristallsystem och gittersystem i tredimensionellt utrymme ges i följande tabell:

Syngony	Kristallsystem	Punktgrupper	Antal utrymmesgrupper	Modigt galler [9]	Gallersystem	Holohedria
Triclinic		1, 1	2	aP	Triclinic	ett
Monoklinisk		2, m, 2/m	13	mP, mS	Monoklinisk	2/m
Rombisk		222, mm2, mmm	59	oP, oS, oI, av	Rombisk	hmmm
tetragonal		4, 4 , 422, 4mm, 42m , 4/m, 4/mmm	68	tP, tI	tetragonal	4/mmmm
Hexagonal	Trigonal	3, 3 , 32, 3m , 3m	7	hR	Rhombohedral	3 m
	Trigonal	3, 3 , 32, 3m , 3m	arton	hP	Hexagonal	6/mmmm
	Hexagonal	6, 6 , 622, 6mm, 6m2 , 6/m, 6/mmm	27	hP	Hexagonal	6/mmmm
kubisk		23, m 3 , 4 3 m, 432, m 3 m	36	cP, cl, cF	kubisk	m 3 m
Totalt: 6	7	32	230	fjorton	7

En översikt över punktgrupper

Kristallsystem	poänggrupp / symmetriklass	Schoenflies symbol	internationell symbol	Shubnikovs symbol	Sorts
triklinik	monohedral	C1 _	$ett\$	$ett\$	enantiomorf polär
triklinik	pinacoidal	C i	${\bar {1}}$	${\tilde {2}}$	centrosymmetrisk
monoklinisk	dihedral axiell	C2 _	$2\$	$2\$	enantiomorf polär
	dihedral axellös (domatisk)	Cs _	$m\$	$m\$	polär
	prismatisk	C 2h	$2/m\$	$2:m\$	centrosymmetrisk
Rombisk	rombo-tetraedrisk	D2 _	$222\$	$2:2\$	enantiomorf
	rombo- pyramidal	C 2v	$mm2\$	$2\cdot m\$	polär
	rombo-dipyramidal	D2h _	$mmm\$	$m\cdot 2:m\$	centrosymmetrisk
tetragonal	tetragonal-pyramidal	C4 _	$fyra\$	$fyra\$	enantiomorf polär
	tetragonal-tetraedrisk	S4 _	${\bar {4}}$	${\tilde {4}}$
	tetragonal dipyramidal	C4h _	$4/m\$	$4:m\$	centrosymmetrisk
	tetragonal-trapesoedrisk	D4 _	$422\$	$4:2\$	enantiomorf
	didragonal-pyramidal	C4v _	$4 mm\$	$4\cdot m\$	polär
	tetragonal-scalenohedral	D2d _	${\bar {4}}2m\$ eller ${\bar {4}}m2$	${\tilde {4}}\cdot m$
	didragonal-dipyramidal	D4h _	$4/mmm\$	$m\cdot 4:m\$	centrosymmetrisk
Trigonal	trigonal-pyramidal	C3 _	$3$	$3\$	enantiomorf polär
	romboedrisk	S6 ( C3i ) _	${\bar {3}}$	${\tilde {6}}$	centrosymmetrisk
	trigonal-trapesoedrisk	D3 _	$32\$ eller eller $321\$ $312\$	$3:2\$	enantiomorf
	ditrigonal-pyramidal	C 3v	$3m\$ eller eller $3m1\$ $31m\$	$3\cdot m\$	polär
	ditrigonal-scalenohedral	D3d _	${\bar {3}}m\$ eller eller ${\bar {3}}m1$ ${\bar {3}}1m$	${\tilde {6}}\cdot m$	centrosymmetrisk
Hexagonal	hexagonal-pyramidal	C6 _	$6\$	$6\$	enantiomorf polär
	trigonal-dipyramidal	C 3h	${\bar {6}}$	$3:m\$
	hexagonal-dipyramidal	C6h _	$6/m\$	$6:m\$	centrosymmetrisk
	hexagonal-trapesoedrisk	D6 _	$622\$	$6:2\$	enantiomorf
	dihexagonal-pyramidal	C6v _	$6 mm\$	$6\cdot m\$	polär
	ditrigonal-dipyramidal	D3h _	${\bar {6}}m2$ eller ${\bar {6}}2m$	$m\cdot 3:m\$
	dihexagonal-dipyramidal	D6h _	$6/mmm\$	$m\cdot 6:m\$	centrosymmetrisk
kubisk	tritetraedrisk	T	$23\$	$3/2\$	enantiomorf
	didodekaedral	T h	$m{\bar {3}}\$	${\tilde {6}}/2$	centrosymmetrisk
	hexatetraedrisk	T d	${\bar {4}}3m$	$3/{\tilde {4}}$
	trioktaedrisk	O	$432\$	$3/4\$	enantiomorf
	hexoktaedrisk	O h	$m{\bar {3}}m$	${\tilde {6}}/4$	centrosymmetrisk

Gitterklassificering

Syngony	Modig cellcentrerande typ
Syngony	primitiv	bascentrerad _	kroppen centrerad	ansiktet centrerat	dubbelt kroppscentrerad _
Triclinic ( parallellepiped )
Monoklin ( prisma med ett parallellogram vid basen)
Rombisk ( rektangulär parallellepiped )
Tetragonal ( rektangulär parallellepiped med en kvadrat vid basen)
Hexagonal ( prisma med basen av en regelbunden centrerad hexagon)
Trigonal (liksidig parallellepiped - romboeder )
Kubik ( kub )

Historik

Den första geometriska klassificeringen av kristaller gavs oberoende av Christian Weiss och Friedrich Moos i början av 1800-talet. Båda forskarna klassificerade kristaller enligt symmetrin i deras yttre form (snitt). I det här fallet introducerar Weiss faktiskt begreppet en kristallografisk axel (symmetriaxel). Enligt Weiss, "Axeln är en linje som dominerar hela figuren av kristallen, eftersom alla delar runt den är belägna på ett liknande sätt och i förhållande till den motsvarar de varandra ömsesidigt" [13] . I sitt arbete "A Visual Representation of the Natural Divisions of Crystallization Systems" klassificerade Weiss kristaller genom närvaron av axlar i fyra stora delar av kristallina former, "kristallisationssystem", motsvarande det moderna syngonibegreppet [14] . Moderna namn anges inom parentes.

Avsnitt 1 - "korrekt", "sfäroedriskt", "likaxligt", "ekvinomiskt" (kubiskt) system: tre dimensioner är desamma och bildar räta vinklar mellan sig.
- undersektion homosfäroedriskt system (m 3 m symmetrikristaller )
- undersektion hemisfäroedriskt system (symmetrikristaller 432, 43m och m 3 )
Avsnitt 2 - "fyrledad" (tetragonalt) system: axlarna bildar räta vinklar mellan sig, två axlar är lika med varandra och inte lika med den tredje.
Avsnitt 3 - "tvåterminssystem": alla tre axlarna är olika och bildar räta vinklar mellan sig.
- underavsnitt "två-och-två-terms" (rombiskt) system
- underavsnitt "två-och-en-termer" (monokliniskt) system
- underavsnitt "en-och-en-medlem" (triklinisk) system
4 sektioner - en ojämn axel är vinkelrät mot tre lika axlar och bildar vinklar på 120 ° mellan sig.
- underavsnitt "sex-ledat" (hexagonalt) system:
- underavsnitt "tre-och-tre-ledade" eller "romboedriska" (trigonala) system:

För de monokliniska och trikliniska syngonierna använde Weiss ett rektangulärt koordinatsystem (moderna kristallografiska koordinatsystem för dessa syngonier är sneda).

Ungefär samtidigt utvecklade Friedrich Moos begreppet kristallina system [15] . Varje system kännetecknas av den enklaste "grundformen", av ansikten, från vilka alla andra former av detta system kan härledas. Således fick Mohs följande fyra system:

1. Romboedriskt system (hexagonal syngoni). Huvudformen är en rombohedron.
2. Pyramidsystem (tetragonal syngoni). Huvudformen är en tetragonal bipyramid.
3. Tessulsystem (kubisk syngoni). Huvudformerna är kuben och oktaedern.
4. Prismatiskt system (rombisk syngoni). Huvudformen är en rombisk bipyramid.
- Hemiprismatiskt subsystem (monoklin syngoni)
- Tetartoprismatiskt delsystem (triklinisk syngoni)

I båda klassificeringarna identifierar Weiss och Moos endast fyra system, även om alla sex syngonier är listade, betraktar de endast de monokliniska och trikliniska syngonierna som delsystem av det rombiska systemet. Enligt egen utsago utvecklade Moos detta koncept 1812-14, som var föremål för en dispyt med Weiss om prioriteringen av upptäckten av kristallina system. Till skillnad från Weiss påpekade Moos behovet av ett snedaxelsystem för monokliniska och trikliniska kristaller.

Snedvinkelsystem utvecklades slutligen och introducerades i kristallografi av hans student Carl Friedrich Naumann . Naumann baserade sin klassificering på kristallografiska axlar och vinklarna mellan dem, vilket för första gången särskiljde alla sex syngonier [16] [17] . Intressant nog använder Naumann redan 1830 namnen på syngonier som är identiska eller nära moderna (namnen tetragonal , hexagonal och rhombic föreslogs ursprungligen av Breithaupt).

1. Tesseral (från tessera - kub) - alla tre vinklarna mellan koordinataxlarna är raka, alla tre axlarna är lika.
2. Tetragonal - alla tre vinklarna är räta, två axlar är lika.
3. Hexagonal - det enda fyraaxliga systemet: en ojämn axel är vinkelrät mot tre lika axlar och bildar vinklar på 60 ° mellan sig.
4. Rombisk - alla tre vinklarna är räta, alla axlar är olika.
5. Monoklinoedrisk - två räta vinklar och en snett.
6. Diclinohedral - två sneda vinklar och en rak linje.
7. Triklinoedrisk - alla tre vinklarna är sneda.

Eftersom symmetriteorin vid den tiden bara utvecklades, dök ett ovanligt diclinoedriskt (diclinic) system upp i listan över system. Ett sådant kristallint system är i princip omöjligt i tredimensionellt rum, eftersom närvaron av en symmetriaxel alltid garanterar närvaron av translationer vinkelräta mot axeln, vilka väljs som koordinataxlar. Det dikliniska systemet fanns i kristallografin i ungefär ett halvt sekel (även om Dufrenois redan 1856 visade att detta endast var ett specialfall av det trikliniska systemet). År 1880 nämner Dana , i sin berömda bok "The System of Mineralogy" [18] , det "så kallade diclinic system", men noterar samtidigt att inte en enda naturlig eller artificiell kristall som tillhör detta system är känd, och att det dessutom har bevisats matematiskt att det bara finns sex kristallsystem. Naumann själv trodde på diklinisk syngoni fram till slutet av sitt liv, och i den nionde upplagan av Fundamentals of Mineralogy [19] , publicerad postumt 1874, finns denna syngoni fortfarande på listan, även om Naumann noterar att detta system endast finns i några konstgjorda salter, och överväger det inte vidare.

Namn på kristallografiska syngonier bland 1800-talets författare

Författare	kubisk	tetragonal	Hexagonal	Rombisk	Monoklinisk	Triclinic
Weiss	Korrekt, Sfärisk, Sfärisk, Sfäronomisk, Equiaxial, Equinox	Fyra-led, två-och-en-axel	Sexledad, tre-och-en-axel	Två-och-två-led, En-och-en-axel	Två-och-en-medlem	En-och-en-period
Moos	Tessular, Tessular	Pyramidformad	Rhombohedral	Prismatisk, ortotypisk	Hemiprismatisk, hemiortotypisk	Tetartoprismatisk, anortotyp
Breithaupt		tetragonal	Hexagonal	Rombisk	Hemirhombisk	tetrarhombisk
Nauman	tessaral	tetragonal	Hexagonal	Rombisk, anisometrisk	monoklinoedrisk, klinorhombisk	Triklinoedrisk, triklinometrisk
Gausman	Isometrisk	Monodimetrisk	Monotrimetrisk	Trimetrisk, ortorombisk	clinorhombic, ortorhomboid	klinorhomboid
Miller 1839	Oktaedral	Pyramidformad	Rhombohedral	Prismatisk	Sned prismatisk	Dubbel-sned-prismatisk
Gadolin	korrekt	Fyrkant	Hexagonal	Rombisk	monoklinoedrisk	triklinoedrisk
Andra författare	Tetraedrisk (Bedan), kubisk (Duprenois)	dimetrisk		Binär (Quenstedt)	Monoklinometrisk (Frankenheim), Augite (Haidinger)	Triclinic (Frankenheim), Anorthic (Haidinger)

För första gången gavs uppdelningen i sju kristallografiska system 1850 i verk av Auguste Bravais "Memoir on system of points regularly distributed on a plane or in space" [20] . I själva verket är detta den första uppdelningen baserad på symmetrielement, och inte på koordinatsystem. Därför motsvarar alla tidigare klassificeringar den nuvarande definitionen av syngoni, medan Bravais-klassificeringen är en klassificering enligt kristallsystem (strängt taget gittersystem).

Bravais delar in gitter beroende på deras symmetri i 7 system (uppsättningsklasser).

1. Tri-fyrdubbel (kubiskt system)
2. Kugghjul (hexagonalt system)
3. Fyrdubbel (tetragonalt system)
4. Trippel (romboedriskt system)
5. Tri-dubbel (rombiskt system)
6. Dubbelt (monokliniskt system)
7. Asymmetriskt (trikliniskt system)

Samtidigt noterar Bravais själv att även Hayuy delade upp det hexagonala systemets gitter (enligt Naumanns klassificering) "i kristaller genererade av ett vanligt sexkantigt prisma, och kristaller genererade av en romboedrisk kärna."

Klassificering av grupper i flerdimensionella utrymmen

Under andra hälften av 1900-talet studerades och klassificerades kristallografiska grupper i fyrdimensionella, femdimensionella och sexdimensionella rum. När dimensionen ökar ökar antalet grupper och klasser avsevärt [21] . Antalet enantiomorfa par anges inom parentes.

Mått på utrymme:	ett	2	3	fyra	5	6
Antal syngonier	ett	fyra	6	23 (+6)	32	91
Antal nätsystem	ett	fyra	7	33 (+7)	57	220
Antal kristallsystem	ett	fyra	7	33 (+7)	59	251
Antal Bravais-galler	ett	5	fjorton	64 (+10)	189	841
Antal poänggrupper	2	tio	32	227 (+44)	955	7103
Antal utrymmesgrupper	2	17	219 (+11)	4783 (+111)	222018 (+79)	28927915 (+?) [22]

I ett fyrdimensionellt rum definieras en enhetscell av fyra sidor ( ) och sex vinklar mellan dem ( ). Följande relationer mellan dem definierar 23 syngonier: $a,b,c,d$ $\alfa ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,\zeta$

Hexaklin: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq \delta \neq \epsilon \neq \zeta \neq 90^{\circ }$
Triclinic: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ },\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Diklinnaya: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta \neq 90^{\circ }$
Monoklinisk: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Ortogonal: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Tetragonal monoklinisk: $a\neq b=c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Hexagonal monoklinisk: $a\neq b=c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta =120^{\circ }$
Ditetragonal diklinik: $a=d\neq b=c,\alpha =\zeta =90^{\circ },\beta =\epsilon \neq 90^{\circ },\gamma \neq 90^{\circ },\delta = 180^{\cirkel}-\gamma$
Ditrigonal diklinik: $a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ, \gamma \ne \delta \ne 90 ^\circ, \cos \delta = \cos \beta - \cos \gamma$
Tetragonal ortogonal: $a\neq b=c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Hexagonal ortogonal: $a\neq b=c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta =120^{\circ }$
Ditetragonal monoklinisk: $a=d\neq b=c,\alpha =\gamma =\delta =\zeta =90^{\circ },\beta =\epsilon \neq 90^{\circ }$
Ditrigonal monoklinisk: $a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ, \gamma = \delta \ne 90 ^\circ, \cos \gamma = - \color{Svart}\tfrac{1}{2} \cos \beta$
Ditetragonal ortogonal: $a=d\neq b=c,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Hexagonal tetragonal: $a=d\neq b=c,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta =120^{\circ }$
Dihexagonal ortogonal: $a=d\neq b=c,\alpha =\zeta =120^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ }$
Kubisk ortogonal: $a=b=c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Åttkantig: $a=b=c=d,\alpha =\gamma =\zeta \neq 90^{\circ },\beta =\epsilon =90^{\circ },\delta =180^{\circ }-\alpha$
Dekagonal: $a = b = c = d, \alpha = \gamma = \zeta \ne \beta = \delta = \epsilon, \cos \beta = -0,5 - \cos \alpha$
Dodecagonal: $a=b=c=d,\alpha =\zeta =90^{\circ },\beta =\epsilon =120^{\circ},\gamma =\delta \neq 90^{\circ }$
Di-isohexagonal ortogonal: $a=b=c=d,\alpha =\zeta =120^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ }$
Icosagonal: $a = b = c = d, \alpha = \beta = \gamma = \delta = \epsilon = \zeta, \cos \alpha = -\color{Svart}\tfrac{1}{4}$
Hyperkubisk: $a=b=c=d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$

Sambandet mellan syngoni, kristallsystem och gittersystem i fyrdimensionellt rum ges i följande tabell [23] [24] . Asterisker markerar enantiomorfa system. Antalet enantiomorfa grupper (eller gitter) anges inom parentes.

Syngonynummer _	Syngony	Kristallsystem	Systemnummer _	Antal poänggrupper	Antal utrymmesgrupper	Antal Bravais-galler	Gallersystem
jag	Hexaklin		ett	2	2	ett	Hexacline P
II	Triclinic		2	3	13	2	Triclinic P, S
III	Diklinnaya		3	2	12	3	Diclinic P, S, D
IV	Monoklinisk		fyra	fyra	207	6	Monoklinisk P, S, S, I, D, F
V	ortogonal	Axellös ortogonal	5	2	2	ett	Ortogonal KU
		Axellös ortogonal	5	2	112	åtta	Ortogonala P, S, I, Z, D, F, G, U
		Axiell ortogonal	6	3	887	åtta	Ortogonala P, S, I, Z, D, F, G, U
VI	Tetragonal monoklinisk		7	7	88	2	Tetragonal monoklinisk P, I
VII	Hexagonal monoklinisk	Trigonal monoklinisk	åtta	5	9	ett	Hexagonal monoklinisk R
		Trigonal monoklinisk	åtta	5	femton	ett	Hexagonal monoklinisk P
		Hexagonal monoklinisk	9	7	25	ett	Hexagonal monoklinisk P
VIII	Ditetragonal diclinic*		tio	1 (+1)	1 (+1)	1 (+1)	Ditetragonal diclinic P*
IX	Ditrigonal diclinic*		elva	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Ditrigonal diclinic P*
X	Tetragonal ortogonal	Inverterad tetragonal ortogonal	12	5	7	ett	Tetragonal ortogonal KG
		Inverterad tetragonal ortogonal	12	5	351	5	Tetragonal ortogonal P, S, I, Z, G
		Roterande tetragonal ortogonal	13	tio	1312	5	Tetragonal ortogonal P, S, I, Z, G
XI	Hexagonal ortogonal	Trigonal ortogonal	fjorton	tio	81	2	Hexagonal ortogonal R, RS
		Trigonal ortogonal	fjorton	tio	150	2	Hexagonal ortogonal P, S
		Hexagonal ortogonal	femton	12	240	2	Hexagonal ortogonal P, S
XII	Ditetragonal monoklinisk*		16	1 (+1)	6 (+6)	3 (+3)	Ditetragonal monoklinisk P, S, D*
XIII	Ditrigonal monoklinisk*		17	2 (+2)	5 (+5)	2 (+2)	Ditrigonal monoklinisk P, RR
XIV	Ditetragonal ortogonal	Krypto-ditragonal ortogonal	arton	5	tio	ett	Ditetragonal ortogonal D
		Krypto-ditragonal ortogonal	arton	5	165 (+2)	2	Ditetragonal ortogonal P, Z
		Ditetragonal ortogonal	19	6	127	2	Ditetragonal ortogonal P, Z
XV	Sexkantig tetragonal		tjugo	22	108	ett	Hexagonal tetragonal P
XVI	Dihexagonal ortogonal	Krypto-ditrigonal ortogonal*	21	4 (+4)	5 (+5)	1 (+1)	Dihexagonal ortogonal G*
		Krypto-ditrigonal ortogonal*	21	4 (+4)	5 (+5)	ett	Dihexagonal ortogonal P
		Dihexagonal ortogonal	23	elva	tjugo
		Ditrigonal ortogonal	22	elva	41
		Ditrigonal ortogonal	22	elva	16	ett	Dihexagonal ortogonal RR
XVII	Kubisk ortogonal	Enkel kubisk ortogonal	24	5	9	ett	Kubisk ortogonal KU
		Enkel kubisk ortogonal	24	5	96	5	Kubisk ortogonal P, I, Z, F, U
		Komplex kubisk ortogonal	25	elva	366	5	Kubisk ortogonal P, I, Z, F, U
XVIII	Åttkantig*		26	2 (+2)	3 (+3)	1 (+1)	Octagonal P*
XIX	Dekagonal		27	fyra	5	ett	Decagonal P
XX	Dodecagonal*		28	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Dodecagonal P*
XXI	Di-isohexagonal ortogonal	Enkel di-isohexagonal ortogonal	29	9 (+2)	19 (+5)	ett	Di-isohexagonal ortogonal RR
		Enkel di-isohexagonal ortogonal	29	9 (+2)	19 (+3)	ett	Di-isohexagonal ortogonal P
		Komplex di-isohexagonal ortogonal	trettio	13 (+8)	15 (+9)	ett	Di-isohexagonal ortogonal P
XXII	Ikosagonal		31	7	tjugo	2	Icosagonal P, SN
XXIII	hyperkubisk	Oktagonal hyperkubisk	32	21 (+8)	73 (+15)	ett	Hyperkubisk P
		Oktagonal hyperkubisk	32	21 (+8)	107 (+28)	ett	Hyperkubisk Z
		Dodekagonal hyperkubisk	33	16 (+12)	25 (+20)	ett	Hyperkubisk Z
Total:	23 (+6)	33 (+7)		227 (+44)	4783 (+111)	64 (+10)	33 (+7)

Se även

Anteckningar

↑ Kristallfamilj - Online-ordbok för kristallografi . Hämtad 22 februari 2009. Arkiverad från originalet 21 mars 2013. (obestämd)
↑ Kristallsystem - Online-ordbok för kristallografi . Hämtad 22 februari 2009. Arkiverad från originalet 21 mars 2013. (obestämd)
↑ Gittersystem - Online-ordbok för kristallografi . Hämtad 29 april 2013. Arkiverad från originalet 29 april 2013. (obestämd)
↑ Shubnikov A. V., Bokiy G. B., Flint E. E., Fundamentals of Crystallography, Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1940
↑ Zagalskaya Yu.G., Litvinskaya G.P., Egorov-Tismenko Yu.K. Geometrisk kristallografi. - M . : Moscow Universitys förlag, 1986. - 168 sid.
↑ "Yu.K. Egorov-Tismenko, G.P. Litvinskaya, Theory of Crystal Symmetry, GEOS, 2000. Kapitel III. Koordinatsystem, kategorier, syngonier." . Hämtad 12 januari 2021. Arkiverad från originalet 13 januari 2021. (obestämd)
↑ Fedorov E. S., Kurs i kristallografi. Ed. 3:e, 1901 online
↑ Holohedry - Online-ordbok för kristallografi . Datum för åtkomst: 30 januari 2013. Arkiverad från originalet den 21 mars 2013. (obestämd)
↑ de Wolff et al., Nomenklatur för kristallfamiljer, Bravais-gittertyper och aritmetiska klasser, Acta Cryst. (1985). A41, 278-280. online Arkiverad 27 januari 2013 på Wayback Machine
↑ Weinstein B.K. Modern kristallografi. Volym 1. Symmetri av kristaller, metoder för strukturell kristallografi. Nauka, Moskva, 1979.
↑ Sirotin Yu.I., Shaskolskaya M.P. Grunderna i kristallfysiken. Nauka, Moskva, 1979.
↑ Flint E.E. En praktisk guide till geometrisk kristallografi. 3:e upplagan, översatt. och ytterligare, Gosgeoltekhizdat, Moskva, 1956.
↑ CS Weiss De indagando formarum crystallinarum charactere geometrico principali dissertatio. Lipsiae [Leipzig] 1809
↑ C.S. Weiss : Ueber die natürlichen Abtheilungen der Crystallisations Systeme. Abhandl. k. Akad. Wiss., Berlin 1814-1815, S. 290-336.
↑ Friedrich Mohs : Grund-Riß der Mineralogie. Erster Tail. Terminologi, Systematik, Nomenklatur, Charakteristik. Dresden 1822
↑ Carl Friedrich Naumann , Lehrbuch der Mineralogie Mineralogie, 1828 online
↑ Carl Friedrich Naumann , Lehrbuch der reinen und angewandten Krystallographie, 1830 online
↑ Edward Salisbury Dana, James Dwight Dana, A text-book of mineralogy, 1880 online
↑ Carl Friedrich Naumann, Elemente der mineralogie, 1874 online
↑ Bravais, A. (1850) Mémoire sur les systèmes formés par les points distribués régulièrement sur un plan ou dans l'espace. Journal de L'Ecole Polytechnique.
↑ B. Souvignier: "Enantiomorphism av kristallografiska grupper i högre dimensioner med resultat i dimensioner upp till 6". Acta Crystallographica Section A, vol. 59, sid. 210-220, 2003.
↑ CARAT-hemsidan . Tillträdesdatum: 5 maj 2015. Arkiverad från originalet 5 mars 2016. (obestämd) En del av beräkningarna i Souvignier (2003) för sexdimensionellt rum baserades på en felaktig version av CARAT-programmet.
↑ EJW Whittaker, En atlas över hyperstereogram av de fyrdimensionella kristallklasserna. Clarendon Press (Oxford Oxfordshire och New York) 1985.
↑ H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek och H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978.

Länkar

Ordlista med termer på webbplatsen för International Union of Crystallographers

Syngony
Symmetri
lägsta kategori	Triclinic system Monoklin syngoni Rombiskt system
Mellankategori _	Tetragonalt system Trigonalt system (rhombohedral) Sexkantig syngoni
Toppkategori _	Kubiksystem
se även	Kristallstruktur Pearson symbol prickgrupp Kristallografisk punktsymmetrigrupp Kristallografisk grupp
Kristallografi