Symmetrigrupper vars operationer lämnar minst en punkt i rymden på plats kallas punktsymmetrigrupper . Typiska exempel på punktgrupper är rotationsgrupp , linjär transformationsgrupp , spegelsymmetri . Begreppet en punktgrupp är också generaliserat till det euklidiska rummet oavsett dimension. Det vill säga, detta är en grupp av transformationer som inte ändrar avståndet mellan punkter i det n -dimensionella rummet och samtidigt lämnar minst en punkt fixerad. Det sista villkoret skiljer punktgrupper från rymdgrupper , som inte heller ändrar avståndet mellan punkter, utan förskjuter alla punkter i rymden. Punktgrupper beskriver symmetrin hos ändliga rymdobjekt, medan rymdgrupper beskriver oändliga.
I tredimensionellt utrymme kan element i punktgrupper vara rotationer , reflektioner och deras sammansättningar. Alla punktgrupper är undergrupper till den ortogonala gruppen . Alla tredimensionella punktgrupper som endast innehåller rotationer är undergrupper till rotationsgruppen .
Antalet möjliga poänggrupper är oändligt, men de kan delas upp i flera familjer . Ett specialfall av punktgrupper är kristallografiska punktgrupper , som beskriver den möjliga symmetrin hos den yttre formen av kristaller (och för n -dimensionellt rymd, n -dimensionella periodiska objekt). Deras antal är ändligt i utrymmen av vilken dimension som helst, eftersom närvaron av ett kristallgitter medför en begränsning av de möjliga rotationsvinklarna.