Central symmetri

Den centrala symmetrin med avseende på punkten A är transformationen av rummet som tar punkten X till en sådan punkt X′ att A är mittpunkten av segmentet XX′ . Central symmetri centrerad vid punkt A betecknas vanligtvis med , medan notationen kan förväxlas med axiell symmetri . En figur kallas symmetrisk med avseende på punkt A om för varje punkt i figuren den punkt som är symmetrisk till den med avseende på punkt A också tillhör denna figur. Punkt A kallas symmetricentrum för figuren. Figuren sägs också ha central symmetri. $Z_{A}$ $S_{A}$

Andra namn för denna transformation är symmetri med centrum A . Central symmetri i planimetri är ett specialfall av rotation , mer exakt är det en rotation med 180 grader .

Vektornotation

Låt G vara den centrala symmetrioperatorn, punkten A ges av radievektorn och punkten som ska transformeras ges av radievektorn . Då gäller följande formel: ${\vec {r_{A}}}$ ${\vec {x}}$ $G({\vec {x)))=2{\vec {r_{A}}}-{\vec {x}}$

Relaterade definitioner

Om figuren går in i sig själv med symmetri kring punkten , då kallar de symmetricentrum för denna figur, och själva figuren kallas centralt symmetrisk . $A$ $A$

Egenskaper

Central symmetri är rörelse (isometri) .

I n -dimensionellt rymd, om transformationen R är en successiv reflektion med avseende på n ömsesidigt vinkelräta hyperplan , då är R en central symmetri med avseende på en gemensam punkt för dessa hyperplan. Följaktligen:
- I jämndimensionella utrymmen bevarar den centrala symmetrin orienteringen , men i udda dimensionella utrymmen gör den inte det.

Central symmetri kan också representeras som en homoteti med centrum A och koefficient −1 ( ). $H_{A}^{{-1}}$

Sammansättningen av två centrala symmetrier är en parallell translation av en fördubblad vektor från det första centret till det andra: $Z_{A}\circ Z_{B}=T_{{2{\vec {AB))))$

I endimensionell rymd (på linjen) är central symmetri spegelsymmetri .

På ett plan (i 2-dimensionell rymd) är en symmetri centrerad på A en 180° rotation centrerad på A ( ). Central symmetri i planet, liksom rotation, bevarar orienteringen . $R_{A}^{{180}}$

Central symmetri i tredimensionell rymd kan representeras som en sammansättning av reflektion kring ett plan som passerar genom symmetricentrum, med en rotation på 180° kring en rät linje som går genom symmetricentrum och vinkelrätt mot det tidigare nämnda reflektionsplanet.

I det 4-dimensionella rymden kan central symmetri ses som sammansättningen av två 180°-rotationer runt två ömsesidigt vinkelräta plan (vinkelräta i en 4-dimensionell mening, se vinkelräta plan i 4-dimensionell rymd ) som passerar genom symmetricentrum .

Se även

Litteratur

Bobylev D.K. Center, i fysik // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och 4 ytterligare). - St Petersburg. 1890-1907.
Selivanov D.F. Center, i geometri // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.