Dihedral grupp

Den dihedriska gruppen ( dihedrisk grupp ) är symmetrigruppen för en regelbunden polygon , inklusive både rotationer och axiella symmetrier [1] . Dihedriska grupper är de enklaste exemplen på ändliga grupper och spelar en viktig roll i gruppteori , geometri och kemi . Det är välkänt och ganska trivialt verifierat att en grupp som bildas av två involutioner med ett ändligt antal element i definitionsdomänen är en dihedrisk grupp.

Notation

Det finns två huvudsakliga sätt att skriva den dihedriska gruppen som är associerad med en polygon. I geometri skrivs en grupp som , medan i allmänhet algebra betecknas samma grupp som , där index är antalet element i gruppen. Det finns också Coxeter-notation , där ordningens axiella symmetri betecknas som ) och ordningens rotation som . En annan post är orbifold notation , där axiell symmetri betecknas som , och rotationer som . $n$ $\mathrm {D} _{n}$ $\mathrm {D} _{2n}$ $2n$ $[n]$ $n$ ${\displaystyle [n]^{+))$ $*nn$ $n$

I den här artikeln hänvisar (eller ibland ) till symmetrierna för en vanlig -gon. $\mathrm {D} _{n}$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n$

Definition

Elements

En regelbunden -gon har olika symmetrier: rotationer och axiella reflektioner , som bildar en dihedral grupp . Om det är udda passerar varje symmetriaxel genom mittpunkten på en av sidorna och den motsatta vertexen. Om jämnt finns det symmetriaxlar som förbinder mittpunkterna på motsatta sidor och axlar som förbinder motsatta hörn. I alla fall finns det symmetriaxlar och element i gruppen symmetrier. Reflektion kring den ena axeln, och sedan kring den andra, resulterar i en rotation genom två gånger vinkeln mellan axlarna. Bilderna nedan visar effekten av elementet på vägskylten Stopp : $n$ $2n$ $n$ $n$ $\mathrm {D} _{n}$ $n$ $n$ $n/2$ $n/2$ $n$ $2n$ $\mathrm {D} _{8}$

Den första raden visar åtta rotationer och den andra raden visar åtta reflektioner.

Gruppstruktur

Som med alla andra geometriska objekt kommer sammansättningen av de två symmetrierna i en vanlig polygon återigen att vara en symmetri. Således bildar symmetrierna av en regelbunden polygon en ändlig grupp .

Cayleys tabell visar resultaten av kompositioner i symmetrigruppen i en liksidig triangel . betecknar identitetstransformationen, och betecknar moturs rotation med respektive grader , , , och betecknar reflektioner kring axlarna som visas i figuren till höger. ${\displaystyle \mathrm {D} _{3))$ $\mathrm {R} _{0}$ $\mathrm {R} _{1}$ $\mathrm {R} _{2}$ $120$ $240$ $\mathrm {S} _{0}$ $\mathrm {S} _{1}$ $\mathrm {S} _{2}$

	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$
$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$
$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$
$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$
$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{1}$
$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{2}$
$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{0}$

Till exempel, sedan tillämpa successiva reflektioner och ger en rotation med . Observera att sammansättning inte är en kommutativ operation . ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}\mathrm {S} _{1}=\mathrm {R} _{1))$ $\mathrm {S} _{1}$ $\mathrm {S} _{2}$ $120^{\cirkel }$

I det allmänna fallet innehåller gruppen element och och som en operation har en sammansättning, som ges av formlerna: $\mathrm {D} _{n}$ ${\displaystyle \mathrm {R} _{0},\dots \mathrm {R} _{n-1))$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{0},\dots \mathrm {S} _{n-1))$

{\displaystyle \mathrm {R} _{i}\mathrm {R} _{j}=\mathrm {R} _{i+j))

{\displaystyle \mathrm {S} _{i}\mathrm {R} _{j}=\mathrm {S} _{ij))

{\displaystyle \mathrm {R} _{i}\mathrm {S} _{j}=\mathrm {S} _{i+j))

{\displaystyle \mathrm {S} _{i}\mathrm {S} _{j}=\mathrm {R} _{ij))

I alla fall måste addition och subtraktion av index göras med modulo- rester . $n$

Matrisrepresentation

Om vi placerar mitten av en vanlig polygon vid origo, blir elementen i den dihedriska gruppen linjära avbildningar av planet . Detta gör att element kan representeras som en grupp av matriser , med matrismultiplikation som kompositionsoperation. En sådan representation är ett exempel på en dimensionell representation av en grupp . $\mathrm {D} _{n}$ $2$

Låt oss ta elementen i gruppen som ett exempel . De kan representeras som följande matriser: ${\displaystyle \mathrm {D} _{4))$ $åtta$

{\begin{matrix}R_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\ [0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}} {\bigr )},\\[1em]S_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_ {1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix) }-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\ end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{matrix}}

I allmänhet har matriser för element följande form: $\mathrm {D} _{n}$

{\begin{aligned}R_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n))&-\sin {\frac {2\pi k}{ n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{i} }\\S_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Här är rotationsmatrisen moturs med vinkeln och är reflektionen kring axeln som bildar en vinkel med abskissaxeln . ${\displaystyle \mathrm {R} _{k))$ ${\frac {2\pi k}{n))$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{k))$ ${\frac {\pi k}{n))$

Små dihedriska grupper

För vi får . Denna notation används sällan, förutom för att beteckna andra grupper i en sekvens, eftersom gruppen är ekvivalent med . $n=1$ $\mathrm {Dih} _{1}$ $Z_{2}$

För vi får — den fyrfaldiga Klein-gruppen . $n=2$ $\mathrm {Dih} _{2}$

Båda fallen är undantag i serien:

De är abelska , medan för alla andra gruppen inte är abelska. $n$ $\mathrm {Dih} _{n}$
De är inte undergrupper av den symmetriska gruppen eftersom för dessa . $\mathrm {S} _{n}$ $2n>n!$ $n$

Cykeldiagrammet för dihedriska grupper består av en längdcykel och längdcykler . De mörka hörnen i cykeldiagrammet nedan visar identitetstransformationen, de vita hörnen visar de återstående elementen i gruppen. Cykeln består av successiva grader av de återstående elementen. $n$ $n$ $2$


Dih 1	Dih 2	Dih 3	Dih 4	Dih 5	Dih 6	Dih 7

Den dihedriska gruppen som en symmetrigrupp i 2D och en rotationsgrupp i 3D

Ett exempel på en abstrakt grupp Dih n och ett vanligt sätt för grafisk representation är gruppen D n av plan isometrier som inte flyttar origo. Dessa grupper bildar en av två serier av diskreta punktgrupper i planet . D n består av n rotationer med en vinkel som är delbar med 360°/ n kring origo, och reflektioner kring n axlar som går genom koordinaternas centrum och en vinkel till de andra axlarna delbar med 180°/ n . Dessa punkter representerar symmetrigruppen för en vanlig polygon med n sidor (för n ≥ 3).

Den dihedriska gruppen Dn är genereras av en rotation r av ordningen n och en reflektion s av ordningen 2 så att

{\displaystyle srs=r^{-1))

När det gäller geometri: en spegelbild av en rotation ser ut som en omvänd rotation.

När det gäller komplexa tal : multiplikation med och konjugering. $e^{{2\pi i \över n}}$

När det gäller matriser: givet

r_{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[8pt]\sin {2\pi \over n}&\ cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad s_{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

och definiera och för vi kan skriva reglerna för bildandet av D n as $r_{j}=r_{1}^{j}$ $s_{j}=r_{j}\,s_{0}$ $j\in \{1,\ldots ,n-1\}$

r_{j}\,r_{k}=r_{{(j+k){\text{ mod }}n}}

r_{j}\,s_{k}=s_{{(j+k){\text{ mod }}n}}

s_{j}\,r_{k}=s_{{(jk){\text{ mod }}n}}

s_{j}\,s_{k}=r_{{(jk){\text{ mod }}n}}.

(Jämför rotationsmatris .)

Den dihedriska gruppen D 2 genereras av en rotation av r med 180 grader, och en symmetri av s kring X-axeln. Elementen i D 2 kan representeras som { e , r , s , rs }, där e är identiteten transformation och rs är symmetrin kring 'Y-axeln .

D 2 är isomorf till Klein-fyrgruppen .

För n>2 är operationerna med rotation och reflektion kring en linje inte kommutativa och D n är inte abeliansk. Till exempel i D 4 ger rotation 90 grader och sedan vändning ett helt annat resultat än att vända och sedan rotera.

Sålunda, tillsammans med uppenbara tillämpningar på symmetriproblem i planet, tjänar dessa grupper som de enklaste exemplen på icke-abelska grupper och används ofta som motexempel till satser som är begränsade till abelianska grupper.

2 n element i D n kan skrivas som e , r , r 2 , …, r n −1 , s , rs , r 2 s , …, r n −1 s . De första n listade elementen är rotationer, de återstående n är reflektioner kring axlarna (de har alla ordning 2). Resultatet av två rotationer eller två reflektioner blir en rotation Resultatet av en rotation och en reflektion blir en reflektion.

Sålunda har vi fastställt att Dn är en O(2 ) -undergrupp .

Dock används beteckningen D n för undergrupper av SO(3) som också är grupper av typen Dih n : symmetrigruppen för en polygon inbäddad i tredimensionellt rum (om n ≥ 3). Sådana figurer kan förstås som degenererade fasta ämnen (därav namnet dihedron ( dihedron').

Exempel på symmetri av tvådimensionella dihedraler

2D D 6 - (avvisad symbol) Röda Davidsstjärnan
2D D 24 - Ashoka Chakra - en symbol på Indiens flagga .

Motsvarande definitioner

Följande definitioner är likvärdiga: $\mathrm {Dih} _{n}$

Automorfismgruppen i en graf som endast består av en cykel med hörn (om ). $n$ $n\geqslant 3$
Grupp med utsikt

D_{n}=\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle

eller

D_{n}=\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle .

Det följer av den andra framställningen att den tillhör klassen av Coxeter-grupper .

\mathrm {Dih} _{n}

Egenskaper

Egenskaperna hos dihedriska grupper med beror på paritet . Till exempel består mitten av en grupp endast av identiteten för udda och två element för jämn, nämligen identiteten och . För udda tal är den abstrakta gruppen isomorf till den direkta produkten och . $\mathrm {Dih} _{n}$ $n\geqslant 3$ $n$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n$ $r^{n/2}$ $n$ $\mathrm {Dih} _{2n}$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $\mathrm {Z} _{2}$

Om delar har den undergrupper av formen och en undergrupp . Således är det totala antalet undergrupper i gruppen ( ) lika med , där är antalet naturliga delare och är summan av naturliga delare av . $m$ $n$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n/m$ $\mathrm {Dih} _{m}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{m))$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n\geqslant 1$ $\mathrm {d} (n)+\mathrm {\sigma } (n)$ $\mathrm {d} (n)$ $n$ $\mathrm {\sigma } (n)$ $n$

Konjugation av reflektionsklasser

Alla reflektioner är parvis konjugerade i fallet med udda , men delas in i två konjugationsklasser för jämnt . När det gäller isomorfism av reguljära -goner: för udda erhålls varje reflektion från vilken annan som helst genom att applicera en rotation, medan för jämna ettor kan endast hälften av reflektionerna erhållas från någon reflektion genom rotationer. Ur en geometrisk synvinkel, i en udda-gon passerar varje symmetriaxel genom en av hörnen och mittpunkten på den motsatta sidan, och i en jämn-gon finns det två uppsättningar axlar, varje uppsättning motsvarar sin konjugationsklass - axlar som passerar genom hörnen och axlar som passerar genom sidornas mittpunkter. $n$ $n$ $n$ $n$ $n$

Algebraiskt är dessa representanter för konjugerade element från Sylow-satsen : för udda bildar varje reflektion tillsammans med det identiska elementet en undergrupp av ordning , som är en Sylow 2-undergrupp ( är den maximala potensen av två som delar ), medan för jämn , dessa undergrupper av -th ordningen är inte Sylow, eftersom (största styrkan av två) delar upp gruppens ordning. $n$ $2$ $2=2^{1}$ $2n=2(2k+1)$ $n$ $2$ $fyra$

För till och med finns det istället en yttre automorfism som byter ut de två typerna av reflektioner. $n$

Automorfismgrupper

Automorfismen för gruppen Dih n är isomorf till den affina gruppen Aff(Z/nZ) och har ordning , där Eulerfunktionen är lika med antalet naturliga tal mindre än n och relativt primtal till den. $=\{ax+b\mid(a,n)=1\}$ $n\phi(n),$ $\phi$

Detta kan förstås i termer av en reflektionsgenerator och elementära rotationer (rotationer på , för k coprime med n ). Vilken automorfism som är intern och vilken som är extern beror på pariteten för n . $k(2\pi /n)$

För udda n har den dihedriska gruppen inget centrum, så vilket element som helst definierar en icke-trivial inre automorfism. För jämn n är rotation med 180° (reflektion kring koordinatcentrum) ett icke-trivialt element i centrum.
För udda n har den inre automorfismgruppen ordningen 2 n, och för jämn n har den ordningen n.
För udda n är alla reflektioner konjugerade, för jämna delas de in i två klasser (de som passerar genom två hörn och de som passerar genom sidornas mittpunkter), och dessa två klasser är associerade med en yttre automorfism, som kan vara representeras som en rotation med (halva vinkeln för minsta rotation). $\pi /n$
Rotationerna ger en normal undergrupp. Reflexionskonjugationen vänder om tecknet (riktningen) för rotationen, men förblir i övrigt oförändrad. En automorfism som multiplicerar vinklar med k (samprima med n ) är yttre om inte $k=\pm1.$

Exempel på gruppautomorfismer

Dih 9 har 18 interna automorfismer . Som en 2D-isometrigrupp har D 9 reflektioner med 20° intervall. 18 interna automorfismer ger rotationer av reflektioner med en multipel av 20° och reflektioner. Som isometrigrupper är de alla automorfismer. Det finns dessutom 36 yttre automorfismer , till exempel multiplicerar rotationsvinkeln med 2.

Generaliseringar

Det finns flera viktiga generaliseringar av dihedriska grupper:

En oändlig dihedrisk grupp är en oändlig grupp med en algebraisk struktur som liknar den för finita dihedriska grupper. Det kan ses som symmetrigruppen av heltal .
Den ortogonala gruppen O (2), d.v.s. cirkelsymmetrigruppen , har egenskaper som liknar dem för ändliga dihedriska grupper
Familjen av generaliserade dihedriska grupper inkluderar ovanstående förlängningar, såväl som många andra.
Kvasiedriska grupper är en familj av ändliga grupper med egenskaper som liknar dem för ändliga dihedriska grupper.

Se även

Anteckningar

↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstrakt algebra (obestämd) . — 3:a. - John Wiley & Sons , 2004. - ISBN 0-471-43334-9 .

Länkar

Dihedral Group n of Order 2n av Shawn Dudzik, Wolfram Demonstrations Project .
Dihedral grupp på Groupprops
Miller W., symmetrigrupper och deras tillämpningar. Academic Press, 1972.
Patterns of Symmetry = Patterns of Symmetry / Ed. M. Seneschal, J. Fleck. — M .: Mir, 1980. — 271 sid.
Aminov L. K. Symmetry Theory (föreläsningsanteckningar och problem). - M .: Mn-t of data research, 2002. - 192 sid.
Weil G. Symmetri = Symmetri. — M .: Nauka, 1968. — 152 sid.
Wigner E. Etudes on Symmetry = Symmetrier and Reflections: Scientific Essays. — M .: Mir, 1971. — 320 sid.
Golod P. I., Klimyk A. U. Mathematical foundations of theory of symmetries = Mathematical foundations of theory of symmetry. - Izhevsk: RHD, 2001. - 528 sid.
Poklonsky N. A. Punktsymmetrigrupper: Proc. Ersättning - Minsk: BGU, 2003. - ISBN 985-445-965-9
Smirnov E. Yu. Reflektionsgrupper och vanliga polyedrar. — M.: MTsNMO, 2009. — 48 sid. — ISBN 978-5-94057-525-2
Flurry R. Symmetry Groups: Teori och kemiska tillämpningar. — M .: Mir, 1983. — 400 sid.