Dicyklisk grupp

I gruppteorin är den dicykliska gruppen Dic n en icke-kommutativ grupp av ordningen 4n (där n>=2), som är en förlängning av den cykliska gruppen av ordningen 2n . Denna grupp kallas även den generaliserade kvartjongruppen och betecknas Q 4 n .

Det finns en exakt sekvens :

vilket betyder att Dic n innehåller en normal undergrupp H isomorf till C 2n . Faktorgruppen Dicn / H är isomorf till C2 .

Definition

En dicyklisk grupp kan definieras som den grupp som genereras av elementen a och b av relationerna

• a 2n =1,
• b 2 \u003d a n ,
• b -1 ab = a -1 .

Det följer av dessa relationer att varje element i Dic n unikt kan skrivas som a k b j , där 0 ≤ k < 2 n , j = 0 eller 1. Därför är ordningen för gruppen 4n .

Egenskaper

Mitten av den dicykliska gruppen Z(Dic n ) består av två element a n och 1. Dess kommutant är den undergrupp som genereras av elementet a 2 och isomorf till C n .

Dicyklisk grupp och dihedrisk grupp

Det finns en likhet mellan den dicykliska gruppen och den dihedriska gruppen Dih 2n . Dessa grupper har en cyklisk undergrupp A = <a>=C 2n och en inre automorfism , som verkar på C 2n som en "reflektion": int b (a) = a -1 .

Att ersätta relationen b 2 = 1 (för den dihedriska gruppen) med b 2 = a n leder till ett antal skillnader. Alla element som inte tillhör undergruppen < a > har ordning 2 i den dihedriska gruppen och ordning 4 i den dicykliska gruppen. Till skillnad från den dihedriska gruppen är den dicykliska gruppen Dic n inte en halvdirekt produkt av A och < b >, eftersom skärningspunkten A ∩ < b > inte är trivial .

En dicyklisk grupp har exakt ett element av ordning 2, nämligen x = b 2 = a n . Detta element tillhör mitten av gruppen Dic n . Om vi ​​adderar relationen b 2 = 1 får vi den dihedrala gruppen Dih n . Således är faktorgruppen Dic n /<b 2 > isomorf till den dihedriska gruppen Dih n som innehåller 2n element.

Gruppnamn

I det matematiska uppslagsverket är en quaternion-grupp ett specialfall där gruppens ordning är en potens av 2. I det här fallet är gruppen nilpotent .

Fallet med två grupper

I en generaliserad quaterniongrupp är vilken abelian undergrupp som helst cyklisk [1] . Det kan visas att en ändlig p-grupp med denna egenskap (vilken som helst abeliaansk undergrupp är cyklisk) är antingen cyklisk eller en generaliserad kvartjongrupp [2] . Om en finit p -grupp har en enda undergrupp av ordningen p , så är den antingen cyklisk eller en generaliserad kvartjongrupp (med ordning lika med en potens av två) [3] . Speciellt för ett ändligt fält F med udda karakteristik är 2-Sylow-undergruppen SL 2 ( F ) inte abelian och har bara en undergrupp av ordning 2, så denna 2-Sylow-undergrupp måste vara en generaliserad kvarterniongrupp [4] . Om pr är ordningen av F , där p är primtal, så är ordningen för 2-Sylow-undergruppen SL2 ( F ) 2n , där n = ord 2 ( p 2-1 ) + ord 2 ( r ) .

Se även

• Kvaterniongrupp#Generaliserad kvaterniongrupp

Anteckningar

1. ↑ Brown, 1982 , sid. 101, övning 1.
2. ↑ Cartan, Eilenberg, 1999 , sid. 262, sats 11.6.
3. ↑ Brown, 1982 , sid. 99, sats 4.3.
4. ↑ Gorenstein, 1980 , sid. 42.

Litteratur

• Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Fundamentals of group theory, Nauka Publishing House, 1972.
• Kenneth S. Brown. Kohomologi av grupper. - Springer-Verlag, 1982. - ISBN 978-0-387-90688-1 .
• Henri Cartan, Samuel Eilenberg. Homologisk algebra . - Princeton University Press, 1999. - ISBN 978-0-691-04991-5 .
• D. Gorenstein. Finita grupper. - New York: Chelsea, 1980. - ISBN 978-0-8284-0301-6 .