Pentagon

Pentagon
Vanlig femteendekagon
Sorts	vanlig polygon
revben	femton
Schläfli symbol	{femton}
Coxeter-Dynkin diagram
Typ av symmetri	Dihedral grupp (D 15 )
Inre hörn	156°
Egenskaper
konvex , inskriven , liksidig , likkantig , isotoxal
Mediafiler på Wikimedia Commons

En femtonsidig polygon är en polygon med femton sidor.

Vanlig hexagon

En vanlig hexagon representeras av Schläfli-symbolen {15}.

En vanlig femkant har inre vinklar på 156 ° . Med sida a har femhörningen en area som ges av formeln

{\begin{aligned}A={\frac {15}{4}}a^{2}\mathrm {ctg} \,{\frac {\pi }{15}}&={\frac { 15}{4}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}}}a^{2}\\&={ \frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5 }}}}\right)\\&\simeq 17.642362910544204\,a^{2}.\end{aligned}}

Användning

En vanlig triangel, en dekagon och en femtonvinkel kan helt täcka en vertex i planet .

Byggnad

Eftersom 15 = 3 × 5 är en produkt av olika Fermat-primtal , kan en vanlig femhörning konstrueras med hjälp av en kompass och rätlinje : Följande konstruktioner av en vanlig femhörning med en given omkrets liknar illustrationen för krav XVI i bok IV av Euklids Element [1] .

Jämförelse av konstruktionen med konstruktionen av Euklid, se figur Pentagon

I konstruktionen för en given omskrivande cirkel: lika med sidan av en liksidig triangel, och lika med sidan av en regelbunden femhörning [2] . Punkten delar radien i proportion till det gyllene snittet : ${\overline {FG}}={\overline {CF}}{\text{,}}\;{\overline {AH}}={\overline {GM}}{\text{,}}\ ;|E_{1}E_{6}|$ $|E_{2}E_{5}|$ $H$ ${\overline {AM}}$ ${\frac {\overline {AH}}{\overline {HM}}}={\frac {\overline {AM}}{\overline {AH}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1 618{\text{.}}$

Jämförelse med den första animationen (med gröna linjer) visas i de följande två figurerna. Två bågar (för vinklar på 36° och 24°) förskjuts moturs. Konstruktionen använder inte segmentet utan istället använder segmentet som radie för den andra bågen (36° vinkel). ${\overline {CG))$ ${\overline {MG}}$ ${\overline {AH))$

Konstruktion med hjälp av en kompass och rätsida för en given sidolängd. Konstruktionen är nästan densamma som för att konstruera en femhörning längs en given sida, den börjar också med skapandet av ett segment som en fortsättning på sidan, här , som är uppdelat i proportion till det gyllene snittet: ${\overline {FE_{2}}}{\text{,}}$

${\frac {\overline {E_{1}E_{2}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{2}F}}{\overline {E_{1}E_{2))))={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1,618033988749895{\text{.}}$

Radie av den omskrivna cirkeln

{\overline {E_{2}M}}=R\;;\;\;

Sidolängd

{\overline {E_{1}E_{2))}=a\;;\;\;

Hörn

DE_{1}M=ME_{2}D=78^{\circ }

${\begin{aligned}R&=a\cdot {\frac {1}{2))\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5))))+{\ sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {8+2\cdot {\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6\cdot {\ sqrt {5))))))\cdot a\\&={\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ )))))\cdot a\approx 2.4048671723720654 \cdot a\end{aligned}}$

Symmetri

En vanlig femhörning har en dihedrisk symmetri av storleksordningen 30 (Dih 15 ), representerad av 15 spegelreflektionslinjer. Dih 15 har 3 dihedriska undergrupper: Dih 5 , Dih 3 och Dih 1 . Och dessutom finns det ytterligare fyra cykliska symmetrier - Z 15 , Z 5 , Z 3 och Z 1 , där Z n representerar π / n rotationssymmetri.

Det finns 8 olika symmetrier i en femhörning. John Conway märkte symmetrier med bokstäver, med symmetriordningen efter bokstaven [3] . Han betecknade med r30 den fulla symmetrin av reflektioner Dih 15 , med d (diagonal = diagonal) reflektioner om linjer som passerar genom hörn, med p reflektioner över linjer som passerar genom kanternas mittpunkter (vinkelrät = vinkelrät) och för en femhörning med en udda antal hörn han använde bokstaven i (för speglar genom spetsen och mitten av kanten) och bokstaven g för cyklisk symmetri. Symbol a1 betyder ingen symmetri.

Dessa låga symmetrigrader bestämmer frihetsgraderna för att definiera oregelbundna femhörningar. Endast undergruppen g15 har inga frihetsgrader, men kan anses ha riktade kanter .

Pentadekagram

Det finns tre vanliga stjärnor : {15/2}, {15/4}, {15/7} på samma 15 hörn av en vanlig femhörning, men sammankopplade genom en, tre eller sex hörn.

Det finns också tre vanliga stjärnformer : {15/3}, {15/5}, {15/6}, den första består av tre femhörningar , den andra består av fem regelbundna trianglar och den tredje består av tre pentagram .

Den sammansatta figuren {15/3} kan ses som den tvådimensionella motsvarigheten till en tredimensionell sammansättning av fem tetraedrar .

bild	{15/2}	{15/3} eller 3{5}	{15/4}	{15/5} eller 5{3}	{15/6} eller 3{5/2}	{15/7}
Innerhörn	132°	108°	84°	60°	36°	12°

Djupare trunkationer av en regelbunden femhörning och pentadekagram kan ge isogonala ( vertextransitiva ) mellanliggande stjärnpolygoner som bildas av lika åtskilda hörn och två kantlängder [4] .

Vertex transitiva funktioner på en femhörning
Kvasiregelbundet	Likvärdig	Kvasiregelbundet
t{15/2}={30/2}		t{15/13}={30/13}
t{15/7} = {30/7}		t{15/8}={30/8}
t{15/11}={30/22}		t{15/4}={30/4}

Petrie polygoner

En vanlig pentagon är en Petrie -polygon för någon högdimensionell polytop som erhålls genom ortogonal projektion :

14-simplex (14D)

Det är också Petrie-polygonen för den stora 120-cellen och den stora 120-cellen .

Anteckningar

↑ Dunham, 1991 , sid. 65.
↑ Kepler, 1939 , sid. 44.
↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , sid. 275-278.
↑ Grünbaum, 1994 .

Litteratur

William Dunham. Resa genom Genius - Matematikens stora satser . — Penguin, 1991. University of Kentucky College of Arts & Sciences Mathematics
Johannes Kepler. WELT-HARMONIK / översatt och initierad av MAX CASPAR 1939. - Google Books, 1939.
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Kapitel 20, Generaliserade Schaefli-symboler, Typer av symmetri för en polygon // . - The Symmetries of Things, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Branko Grünbaum . Metamorphoses of polygons // The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History. — 1994.

Länkar

Weisstein, Eric W. Pentadecagon (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Polygoner

Efter antal sidor

Monogon
Bigon
Triangel
Fyrsidig
Pentagon
Sexhörning
Heptagon
Oktogon
femhörning
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretton
tetradekagon
Pentagon
Sexhörning
Sjutton
oktogon
Nittonagon
Dodecagon
Tjugoensidig
Twenty-two-angle
Twentytrigon
Tjugofyrkantig
Tjugo femhörning
Tjugooktagon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrtio kvadratisk
Forty Bicagon
Pentecostal
Pentecostal
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ sv
Millagon
Tiotusen-gon
Hundratusendel
Milliogon
oändlighet

Korrekt

konvex	Triangel Fyrkant Pentagon Sexhörning Heptagon Oktogon femhörning tetradekagon Sjutton 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stellate	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trianglar

Fyrhörningar

se även