Saccheri fyrsidig

En Saccheri-fyrhörning är en fyrhörning med två lika sidor vinkelräta mot basen. Uppkallad efter Girolamo Saccheri , som använde den i sin Euclid Cleansed of All Stains ( Euclides ab omni naevo vindicatus , publicerad först 1733). Saccheri försökte i detta arbete bevisa det femte postulatet genom att använda metoden " genom motsägelse ".

Tidigare, i slutet av XI-talet, betraktades Sakkeri-fyrkanten också av Omar Khayyam [1] .

I en Saccheri-fyrhörning är sidorna och lika långa och vinkelräta mot basen . Vinklarna vid och kallas övre vinklar , de andra två vinklarna kallas lägre .

En användbar egenskap hos Saccheri-fyrhörningen är att typen av planet som innehåller den bestäms unikt av svaret på bara en fråga:

Är de övre hörnen rätta, trubbiga eller spetsiga?

Det visar sig att när de övre vinklarna är rätt så är det femte postulatet tillfredsställt på planet , när de är skarpa är planet hyperboliskt och när de är trubbiga är planet elliptiskt (med förbehåll för några ytterligare förändringar av postulaten [ 2] ).

Saccheri hoppades att fallen av trubbiga och spetsiga vinklar ledde till en motsägelse med Euklids axiom. Han visade detta i fallet med trubbiga vinklar, och, som det tycktes honom, även i fallet med skarpa (vilket uppenbarligen var fel) [3] .

Historik

Sakkeri-fyrhörningen betraktades först av Omar Khayyam i slutet av 1000-talet [1] . Till skillnad från många före och efter honom, försökte inte Khayyam bevisa det femte postulatet som sådant, han förlitade sig på motsvarande postulat från "filosofens principer" ( Aristoteles ):

Två konvergerande räta linjer skär varandra, och det är inte möjligt för två konvergerande räta linjer att divergera i den riktning de tidigare konvergerade [4] .

Khayyam övervägde alla tre möjligheterna för de övre hörnen av Saccheri-fyrhörningen och bevisade ett antal satser. Han motbevisade (korrekt) de trubbiga och akuta fallen på grundval av sitt postulat och härledde från detta Euklids klassiska postulat.

600 år senare använde Giordano Vitale Saccheri-fyrhörningen för att bevisa att om tre punkter är lika långt från basen och toppen , så är de på samma avstånd överallt.

Saccheri själv , i sitt långa bevis på postulatet, föreslog att de övre vinklarna är spetsiga, varefter han, utan att misstänka det, härledde från dessa många satser i Lobatsjovskijs geometri . I slutet av boken gjorde han ett misstag och kom till en imaginär motsägelse, av vilken han drog slutsatsen att han kunde bevisa det femte postulatet.

Egenskaper

Låta vara en Saccheri fyrhörning med bas . Följande egenskaper är sanna i vilken hyperbolisk geometri som helst [5] :

Formel

I ett hyperboliskt plan med konstant krökning kan översidan i en Saccheri-fyrhörning uttryckas i form av sidan och basen med hjälp av formeln

[6]

Exempel

Det hyperboliska planet tillåter plattsättningar av vissa Saccheri-fyrhörningar:


Symmetri *3322
Symmetri *∞∞22

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 Boris Abramovich Rozenfelʹd. A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space  . — Abe Shenitzer översättning. - Springer, 1988. - S. 65. - ISBN 0-387-96458-4 .
  2. ↑ Coxeter, 1998 , sid. elva.
  3. ↑ Faber, 1983 , sid. 145.
  4. ↑ Boris A Rosenfeld, Adolf P Youschkevitch (1996), Geometry, sid. 467 i Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the history of Arabic science , Routledge, ISBN 0-415-12411-5 .
  5. ↑ Faber, 1983 , s. 146-147.
  6. ↑ P. Buser och H. Karcher.

Litteratur