Inskriven fyrhörning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 september 2022; kontroller kräver 9 redigeringar .

En inskriven fyrhörning är en fyrhörning vars hörn ligger på samma cirkel . Denna cirkel kallas omskriven . Man brukar anta att fyrhörningen är konvex , men det finns också självkorsande inskrivna fyrhörningar. Formlerna och egenskaperna nedan är endast giltiga för konvexa fyrhörningar.

Alla trianglar har omskrivna cirklar , men inte alla fyrhörningar. Ett exempel på en fyrhörning som inte kan skrivas in i en cirkel är en romb (om det inte är en kvadrat). Avsnittet "Egenskaper" nedan ger de nödvändiga och tillräckliga förutsättningarna för att en cirkel ska kunna omskrivas runt en fyrhörning.

Särskilda tillfällen

Alla kvadrater , rektanglar , likbenta trapezoider eller antiparallelogram kan inskrivas i en cirkel. En deltoid kan inskrivas om och endast om den har två räta vinklar. En bicentrisk fyrhörning är en cyklisk fyrhörning som också är en omskriven fyrhörning, och en externt bicentrisk fyrhörning är en cyklisk fyrhörning som också är en externt avgränsad .

Egenskaper

Det första kriteriet för att en fyrhörning ska skrivas in . En konvex icke-degenererad fyrhörning är inskriven om och endast om , när de fyra mediala perpendicularerna som dras till var och en av sidorna skär varandra vid en punkt [1] .
Det andra kriteriet för att en fyrhörning ska skrivas in . En konvex fyrhörning är inskriven om och endast om summan av de motsatta vinklarna är 180°, dvs [2] . $\displaystyle ABCD$

A+C=B+D=\pi =180^{{\cirkel }}.

En annan variant av det första kriteriet för att en fyrkant ska skrivas in . Teoremet var påstående 22 i bok 3 av Euklids element [3] . På motsvarande sätt är en konvex fyrhörning en inskriven om och endast om den intilliggande vinkeln är lika med den motsatta inre vinkeln.
Det tredje kriteriet för att en fyrhörning ska skrivas in . En cirkel kan omskrivas om en fyrhörning om och endast om något par av dess motsatta sidor är antiparallellt .
Det fjärde kriteriet för att en fyrhörning ska skrivas in . Ett annat kriterium för att en konvex fyrhörning ska inskrivas kräver att vinkeln mellan en sida och en diagonal är lika med vinkeln mellan den motsatta sidan och den andra diagonalen [4] . Till exempel, $\displaystyle ABCD$

\angle ACB=\angle ADB.

Femte kriteriet för att en fyrhörning ska inskrivas . Ptolemaios olikhet säger att produkten av längderna av två diagonaler p och q av en fyrhörning är lika med summan av produkterna från motsatta sidor endast om fyrhörningen är inskriven: [5]

\displaystyle pq=ac+bd.

Det sjätte kriteriet för att en fyrhörning ska skrivas in . En cirkel kan omskrivas runt en fyrhörning om och endast om något par av dess motsatta sidor är antiparallella Om två linjer, varav den ena innehåller segmentet AC , och den andra segmentet BD , skär varandra i en punkt E , då fyra punkter A , B , C , D ligger på cirkeln om och endast om [6]

AE\cdot EC=BE\cdot ED.

Skärningspunkten E kan ligga både innanför och utanför cirkeln. I det första fallet kommer det att vara den inskrivna fyrhörningen ABCD , och i det andra fallet kommer det att vara den inskrivna fyrhörningen ABDC . Om skärningspunkten ligger innanför betyder likhet att produkten av segmenten som punkten E delar en diagonal i är lika med produkten av segmenten i den andra diagonalen. Detta uttalande är känt som korsande ackordssatsen , eftersom diagonalerna på en inskriven fyrhörning är ackorden i den omskrivna cirkeln.

Det sjunde kriteriet för att en fyrhörning ska skrivas in . En konvex fyrhörning ABCD är inskriven om och endast om [7]

$\tan {{\frac {A}{2}}}\tan {{\frac {C}{2}}}=\tan {{\frac {B}{2}}}\tan {{\frac { D}{2}}}=1.$

Åttonde kriteriet för att en fyrkant ska skrivas in . Låt en konvex fyrhörning där - skärningspunkten för diagonalerna, - skärningspunkten för sidornas förlängningar och , - skärningspunkten för förlängningarna av sidorna och . Och låt vara omkretsen av triangelns nio punkter . är en cyklisk fyrhörning om och endast om skärningspunkten för dess mittlinjer ligger på cirkeln . [8] [9] [10] (se figur) $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle E$ $\displaystyle F$ $\displaystyle AD$ $\displaystyle BC$ $\displaystyle G$ $\displaystyle AB$ $\displaystyle CD$ $\displaystyle \omega$ $\displaystyle EFG$ $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle \omega$

Det nionde kriteriet för att en fyrkant ska skrivas in . En cirkel kan omskrivas om en fyrhörning om och endast om något par av dess motsatta sidor är antiparallell . I en konvex fyrhörning , låt vara skärningspunkten för diagonalerna, vara skärningspunkten för förlängningarna av sidorna och , och låt vara en cirkel vars diameter är ett segment som bildar Pascal-punkterna och på sidorna och .(se fig.) $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle E$ $\displaystyle F$ $\displaystyle AD$ $\displaystyle BC$ $\displaystyle \omega$ $\displaystyle F$ $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$ $\displaystyle AB$ $\displaystyle CD$

(1) är en cyklisk fyrhörning om och endast om punkterna och är kolinjära med cirkelns centrum . [10] [11] (2) är en cyklisk fyrhörning om och endast om punkterna och är mittpunkterna på sidorna och . [10] [11] . $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$ $\displaystyle O$ $\displaystyle \omega$
$\displaystyle ABCD$ $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$ $\displaystyle AB$ $\displaystyle CD$

Anmärkning . De sjunde och åttonde kriterierna för att inkludera en fyrhörning är mycket lika och deras ritningar är mycket lika. Det är möjligt att detta är samma kriterium för inskriptionen av en fyrhörning, hämtad från olika primära källor. I båda figurerna , och är Pascal poäng. Det finns andra liknande punkter. Även om båda kriterierna formellt låter olika. $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$
Det tionde kriteriet för att en fyrkant ska skrivas in . Villkoret under vilket kombinationen av två trianglar med en lika sida ger en fyrhörning inskriven i en cirkel [12] . Så att två trianglar med tripplar av sidolängder (a, b, f) respektive (c, d, f), när de kombineras längs en gemensam sida med en längd lika med f, ger som ett resultat en fyrhörning inskriven i en cirkel med en sekvens av sidor ( a , b , c , d ), villkoret [13] :84

f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)))

Anmärkning . Det sista villkoret ger ett uttryck för diagonalen f för en fyrkant inskriven i en cirkel i termer av längden på dess fyra sidor ( a , b , c , d ). Denna formel följer omedelbart när man multiplicerar och likställer med varandra de vänstra och högra delarna av formlerna som uttrycker kärnan i Ptolemaios första och andra satser .

Det elfte kriteriet för att en fyrhörning ska skrivas in . En konvex fyrhörning (se figuren till höger) som bildas av fyra givna Miquel-linjer är inskriven i en cirkel om och endast om fyrhörningens Miquel-punkt M ligger på linjen som förbinder två av linjernas sex skärningspunkter (de som är inte hörn på fyrhörningen). Det vill säga när M ligger på EF (se bilden till höger).

Område

Arean S av en inskriven fyrhörning med sidorna a , b , c , d ges av Brahmagupta-formeln [14]

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)}}

där p , halvperimetern , är . Påståendet är en konsekvens av Bretschneiders relation , eftersom motsatta vinklar summerar till 180°. Om d \u003d 0 blir den inskrivna fyrhörningen en triangel, och likhet förvandlas till Herons formel . $p={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$

En inskriven fyrhörning har den maximala arean bland alla fyrhörningar med samma sekvens av sidolängder. Detta är en annan konsekvens av Bretschneider-relationen. Påståendet kan bevisas med hjälp av matematisk analys [15] .

Fyra ojämna längder, som var och en är mindre än summan av de andra tre, är sidorna av tre inkongruenta inskrivna fyrhörningar [16] , och enligt Brahmaguptas formel har alla dessa trianglar samma area. Speciellt för sidorna a , b , c och d , kan sida a vara motsatsen till endera sidan b , c eller d . Alla två av dessa tre inskrivna fyrkanter har en diagonal av samma längd [17] .

Arean av en inskriven fyrhörning med på varandra följande sidor a , b , c , d och vinkel B mellan sidorna a och b kan uttryckas med formeln [5]

S={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}

eller [18]

S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }

där θ är valfri vinkel mellan diagonalerna. Om vinkel A inte är rätt kan arean uttryckas med formeln [18]

S={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.

En annan areaformel [19]

S=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }

där R är radien för den omskrivna cirkeln . Den direkta konsekvensen blir [20]

{\displaystyle S\leq 2R^{2))

och olikhet förvandlas till likhet om och endast om fyrhörningen är en kvadrat.

Diagonaler

I en inskriven fyrhörning med hörn A , B , C , D (i den angivna sekvensen) och sidorna a = AB , b = BC , c = CD och d = DA , kan längderna på diagonalerna p = AC och q = BD uttryckas i termer av sidorna [21] [22] [17]

p={\sqrt {{\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd))))

och

q={\sqrt {{\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc))))

vilket ger den ptolemaiska ekvationen

pq=ac+bd.

Enligt Ptolemaios andra sats [21] [22] ,

{\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}

med samma notation som tidigare.

För summan av diagonaler har vi olikheten [23]

p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.

En olikhet blir en likhet om och endast om diagonalerna är lika långa, vilket kan visas med hjälp av olikheten mellan det aritmetiska medelvärdet och det geometriska medelvärdet .

Dessutom [24] ,

(p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.

I en konvex fyrhörning delar två diagonaler upp fyrhörningen i fyra trianglar. I en inskriven fyrhörning är motsatta par av dessa fyra trianglar lika .

Om M och N är mittpunkterna för diagonalerna AC och BD , då [25]

{\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|

där E och F är skärningspunkterna för motsatta sidor.

Om ABCD är en inskriven fyrhörning och AC skär BD i en punkt P , då [26]

{\frac {AP}{CP}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.

Vinkelformler

För en inskriven fyrhörning med sidorna a , b , c , d , semiperimeter p och vinkel A mellan sidorna a och d , är de trigonometriska funktionerna för vinkel A [27]

\cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc))),

\sin A={\frac {2{\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)))}{(ad+bc)))),

\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(pa)(pd)}{(pb)(pc)))}.

För vinkeln θ mellan diagonalerna, [18]

\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pd)}{(pa)(pc)))}.

Om förlängningarna av motsatta sidor a och c skär i en vinkel , då $\phi$

\cos {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pd)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc )}}}

där p är halvperimetern [28]

Formel för Parameshvara

För en inskriven fyrhörning med sidorna a , b , c , d (i den angivna sekvensen) och semiperimeter p , ges radien för den omskrivna cirkeln av formeln [22] [29]

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(pa)(pb)(pc)(pd )}}}.

Formeln utvecklades av den indiske matematikern Vatasseri Paramesvara på 1400-talet.

Med hjälp av Brahmaguptas formel kan Parameswaras formel konverteras till

4SR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)))

där S är arean av den inskrivna fyrhörningen.

Anticenter och kollinearitet

Fyra linjesegment som är vinkelräta mot ena sidan av den inskrivna fyrhörningen och som går genom mittpunkten på den motsatta sidan skär varandra vid en punkt [30] [31] . Denna skärningspunkt kallas anticentrum . Anticentret är symmetriskt till mitten av den omskrivna cirkeln med avseende på "vertexcentroiden" . Sålunda, i en inskriven fyrhörning, ligger mitten av den omskrivna cirkeln, "vertexcentroiden" och anticentrum på samma räta linje [31] .

Om diagonalerna för en inskriven fyrhörning skär i punkten P och diagonalernas mittpunkter är V och W , så är fyrhörningens anticentrum ortoscentrum för triangeln VWP , och vertexcentroiden är i mitten av segmentet som förbinder diagonalernas mittpunkter [31] .

I en inskriven fyrhörning ligger "områdets tyngdpunkt" G a , "centrumpunkten" G v och skärningspunkten P för diagonalerna på samma räta linje. Avstånden mellan dessa punkter uppfyller jämställdheten [32]

PG_{a}={\tfrac {4}{3}}PG_{v}.

Andra egenskaper

Monges sats om ortocentrum för en inskriven fyrhörning. 4 räta linjesegment (4 antimedatriser ) ritade från mittpunkterna på 4 sidor av en inskriven fyrkant vinkelrät mot motsatta sidor skär varandra vid ortocentrum H i denna fyrkant. [33] , [34]

Japansk inskriven fyrsidig teorem . I den inskrivna fyrhörningen ABCD är mitten av incirklarna i trianglarna ABC , BCD , CDA och DAB rektangelns hörn . Detta är en av de satser som kallas den japanska satsen . Ortocenterna i samma fyra trianglar är hörn i en fyrkant lika med ABCD . Centroiderna i dessa fyra trianglar är hörn på en annan inskriven fyrhörning [4] .

Följd av den inskrivna vinkelsatsen . I en inskriven fyrhörning ABCD med centrum O , låt P vara skärningspunkten för diagonalerna AC och BD . Då är vinkel APB det aritmetiska medelvärdet av vinklarna AOB och COD . Detta är en direkt följd av den inskrivna vinkelsatsen och triangelns yttre vinkelsats .

Satsen om vinkelrätheten av de inre bisectors av vinklarna vid hörnen E och F, som bildas vid skärningspunkterna mellan två par motsatta sidor av en inskriven fyrhörning . Om de motsatta sidorna av den inskrivna fyrhörningen sträcker sig till skärningspunkten vid punkterna E och F , då är de inre bisektorerna av vinklarna vid E och F vinkelräta [16] .

Sats om 4 projektioner av 4 hörn av en inskriven fyrhörning . Låta vara en inskriven fyrhörning, vara basen av den vinkelräta tappade från spetsen till diagonalen ; punkter definieras på liknande sätt . Då ligger punkterna på samma cirkel. [35] $ABCD$ $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$

Talfyrkantsatsen . Det finns inga inskrivna fyrhörningar med rationell area och ojämlika rationella sidor som bildar en aritmetisk eller geometrisk progression [36] .

Talfyrkantsatsen . Om en inskriven fyrhörning har sidolängder som bildar en aritmetisk progression , då är fyrhörningen också externt omskriven .

Quadrangles of Brahmagupta

Brahmagupta-fyrhörningen [37] är en inskriven fyrhörning med heltalssidalängder, heltalsdiagonala längder och heltalsarea. Alla Brahmagupta-fyrkanter med sidorna a, b, c, d , diagonalerna e, f , area S och radien R i den omskrivna cirkeln kan erhållas genom att ta bort nämnaren i följande uttryck (med rationella parametrar t , u och v ):

a=[t(u+v)+(1-uv)][u+vt(1-uv)]

b=(1+u^{2})(vt)(1+tv)

c=t(1+u^{2})(1+v^{2})

d=(1+v^{2})(ut)(1+tu)

e=u(1+t^{2})(1+v^{2})

f=v(1+t^{2})(1+u^{2})

S=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2} )]

4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).

Egenskaper för ortodiagonala inskrivna fyrhörningar

Area och radie för den omskrivna cirkeln

Låt oss för en inskriven fyrhörning, som också är ortodiagonal (d.v.s. har vinkelräta diagonaler), skärningen av diagonalerna delar en diagonal i segment med längden p 1 och p 2 , och delar den andra i segment med längden q 1 och q 2 . Sedan [38] (den första likheten är Proposition 11 i Archimedes ' Lemmas )

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^ {2}=b^{2}+d^{2}

där D är diametern på den omskrivna cirkeln . Jämlikhet gäller på grund av att diagonalerna är vinkelräta ackord i cirkeln . Detta innebär att radien för den omskrivna cirkeln R uppfyller likheten

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2 }}}

eller genom sidorna av fyrhörningen

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+ d^{2}}}.

Av detta följer också att

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Således, enligt Eulers formel , kan radien uttryckas i termer av diagonalerna p och q och avståndet x mellan diagonalernas mittpunkter

R={\sqrt {{\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}}.

Formeln för arean K för en inskriven ortodiagonal fyrhörning kan erhållas direkt i termer av sidorna genom att kombinera Ptolemaios sats (se ovan) och formeln för arean av en ortodiagonal fyrhörning. Som ett resultat får vi

S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).

Andra egenskaper

I en inskriven ortodiagonal fyrhörning sammanfaller anticentrum med diagonalernas skärningspunkt [39] .

Brahmaguptas sats säger att i en inskriven fyrhörning, som också är ortodiagonal, delar en vinkelrät från vardera sidan genom skärningspunkten för diagonalerna den motsatta sidan [39] .

Om den inskrivna fyrhörningen också är ortodiagonal, är avståndet från centrum av den omskrivna cirkeln till vardera sidan halva längden av den motsatta sidan [39] .

I en inskriven ortodiagonal fyrhörning är avståndet mellan diagonalernas mittpunkter lika med avståndet mellan den omskrivna cirkelns centrum och diagonalernas skärningspunkt [39] .

Se även

Fjärilssats
Omskriven cirkel
Graden av en punkt i förhållande till en cirkel
Ptolemaios ackordtabell
Robbins Pentagon
Oomskriven fyrhörning
Fyrsidig

Anteckningar

↑ Usiskin, 2008 , sid. 63–65, kapitel 10. Cykliska fyrhörningar.
↑ Usiskin, 2008 , sid. 63–65.
↑ Joyce, 1997 , sid. Bok 3, proposition 22.
↑ 1 2 Andreescu, Enescu, 2004 , sid. 2.3 Cykliska fyrhjulingar.
↑ 1 2 Durell, Robson, 2003 , sid. 25.
↑ Bradley, 2007 , sid. 179.
↑ Hajja, 2008 , sid. 103–6.
↑ Fraivert, David. Nya punkter som hör till niopunktscirkeln // The Mathematical Gazette : journal. - 2019. - Juli ( vol. 103 , nr 557 ). - S. 222-232 . - doi : 10.1017/mag.2019.53 .
↑ Fraivert, David. Nya tillämpningar av metoden för komplexa tal i geometrin för cykliska fyrhörningar (engelska) // International Journal of Geometry : journal. - 2018. - Vol. 7 , nr. 1 . - S. 5-16 .
↑ 1 2 3 Fraivert, David; Sigler, Avi & Stupel, Moshe (2020), Nödvändiga och tillräckliga egenskaper för en cyklisk quadrilateral , International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , < https://doi.org/10.1080/0020739X.2019.1683772 > Arkiverad 10 juni 2020 kl. Wayback- maskinen
↑ 1 2 Freivert, D. M. (2019), A New Topic in Euclidean Geometry on the Plane: Theory of "Pascal Points" Formed by a Circle on the Sides of a Quadrilateral , Mathematical Education: State of the Art and Perspectives: Proceedings of the International Scientific Conference , < http ://libr.msu.by/handle/123456789/9675 > Arkiverad 10 november 2019 på Wayback Machine
↑ Se underavsnittet "Diagonaler" i artikeln " Inskriven fyrhörning "
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. co., 2007
↑ Durell och Robson 2003 , sid. 24.
↑ Peter, 2003 , sid. 315–6.
↑ 1 2 Coxeter, Greitzer, 1967 , sid. 57, 60.
↑ 12 Johnson , 2007 , sid. 84.
↑ 1 2 3 Durell och Robson, 2003 , sid. 26.
↑ Prasolov, 2006 , sid. 86, uppgift 4.44.
↑ Alsina, Nelsen, 2009 , sid. 64.
↑ 1 2 Durell, Robson, 2003 , sid. 25,.
↑ 1 2 3 Alsina, Nelsen, 2007 , sid. 147–9.
↑ Crux, 2007 , sid. 123, #2975.
↑ Crux, 2007 , sid. 64, #1639.
↑ ABCD är en cyklisk fyrhörning. Låt M , N vara mittpunkterna för diagonalerna AC , BD respektive... . Konsten att lösa problem (2010). (obestämd)
↑ A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles , [1] Arkiverad 28 maj 2019 på Wayback Machine , tillgänglig 18 mars 2014.
↑ Siddons, Hughes, 1929 , sid. 202.
↑ Durell och Robson 2003 , sid. 31.
↑ Hoehn, 2000 , sid. 69–70.
↑ Altshiller-Court, 2007 , sid. 131.
↑ 1 2 3 Honsberger, 1995 , sid. 35–39, 4.2 Cykliska fyrhörningar.
↑ Bradley, 2011 .
↑ Anmärkningsvärda punkter och linjer av fyrkanter// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf
↑ Monges teorem// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264
↑ Runt problemet med Arkimedes. Arkiverad 29 april 2016 på Wayback Machine 7, fig. 11, följd, sid. 5
↑ Buchholz, MacDougall, 1999 , sid. 263–9.
↑ Sastry, 2002 , sid. 167–173.
↑ Posamentier, Salkind, 1970 , sid. 104–5.
↑ 1 2 3 4 Altshiller-Court, 2007 , sid. 131,137-8.

Litteratur

Claudi Alsina, Roger Nelsen. When Less is More: Visualisera grundläggande ojämlikheter, Kapitel 4.3 Cykliska, tangentiella och bicentriska fyrhörningar. - Mathematical Association of America, 2009. - ISBN 978-0-88385-342-9 .
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. På diagonalerna av en cyklisk fyrhörning // Forum Geometricorum. - 2007. - T. 7 .
Nathan Altshiller-Court. College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. — 2:a. - Courier Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2 . (org. 1952)
=Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Matematisk Olympiad Treasures. - Springer, 2004. - ISBN 978-0-8176-4305-8 .
Christopher Bradley. Tre Centroider skapade av en cyklisk fyrhörning. — 2011.
Christopher J. Bradley. Geometrins algebra: kartesiska, areella och projektiva koordinater. - Highperception, 2007. - ISBN 1906338000 .
RH Buchholz, JA MacDougall. Hägerfyrhörningar med sidor i aritmetisk eller geometrisk progression // Bulletin of the Australian Mathematical Society. - 1999. - T. 59 , nr. 2 . - doi : 10.1017/S0004972700032883 .
Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Geometri återbesökt. 3.2 Cykliska fyrkanter; Brahmaguptas formel. - Mathematical Association of America, 1967. - ISBN 978-0-88385-619-2 . Översatt av G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Nya möten med geometri. 3.2 Inskrivna fyrkanter; Brahmaguptas sats. - Moskva: "Nauka", 1978. - (Library of the Mathematical Circle).
Crux Mathematicorum. Ojämlikheter föreslagna i Crux Mathematicorum . – 2007.
D. Fraivert. Teorin om en inskrivbar fyrhörning och en cirkel som bildar Pascal-punkter // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 42 . — S. 81–107. - doi : 10.18642/jmsaa_7100121742 .
C.V. Durell, A. Robson. avancerad trigonometri. - Courier Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8 . (orig. 1930)
Mowaffaq Hajja. Ett villkor för att en omskrivbar fyrhörning ska vara cyklisk // Forum Geometricorum. - 2008. - T. 8 .
Larry Hoehn. Circumradius av en cyklisk fyrhörning // Mathematical Gazette. - 2000. - T. 84 , nr. 499 mars . — .
Ross Honsberger. Avsnitt i 1800- och 1900-talets euklidiska geometri. - Cambridge University Press, 1995. - V. 37. - (New Mathematical Library). - ISBN 978-0-88385-639-0 .
Roger A. Johnson. Avancerad euklidisk geometri. — Dover Publ, 2007. (orig. 1929)
Thomas Peter. Maximera arean av en fyrhörning // The College Mathematics Journal. - 2003. - T. 34 , nr. 4 september . — .
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Utmanande problem i geometri. — 2:a. - Courier Dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1 . Kapitel: Lösningar: 4-23 Bevisa att summan av kvadraterna av måtten på segmenten som görs av två vinkelräta ackord är lika med kvadraten på måttet på diametern på den givna cirkeln.

, < http://students.imsa.edu/~tliu/Math/planegeo.pdf > Arkiverad 21 september 2018 på Wayback Machine Översatt från den ryska utgåvan av V.V. Prasolov. Problem i planimetri. Handledning. - 5:a. - Moskva: MTSNMO OAO "Moscow textbooks", 2006. - ISBN 5-94057-214-6 .
KRS Sastry. Brahmagupta quadrilaterals // Forum Geometricorum. - 2002. - T. 2 .
A.W. Siddons, R.T. Hughes. trigonometri. — Cambridge University Press, 1929.
Zalman Usiskin, Jennifer Griffin, David Witonsky, Edwin Willmore. Klassificeringen av fyrhörningar: En studie av definition. - IAP, 2008. - (Forskning inom matematikundervisning). - ISBN 978-1-59311-695-8 .
D.E. Joyce. Euklids element . — Clark University, 1997.
D. Fraivert. Pascal-points fyrhörningar inskrivna i en cyklisk fyrhörning // The Mathematical Gazette. - 2019. - T. 103 , nr. 557 .

Externa länkar

Härledning av formel för området med cyklisk fyrhörning
Incentrerar sig i cyklisk fyrhörning vid cut-the-knoten
Fyra samtidiga linjer i en cyklisk fyrhörning vid cut-the-knoten
Weisstein, Eric W. Cyclic quadrilateral (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Euler centrum och maltituder av cyklisk fyrhörning vid Dynamic Geometry Sketches , interaktiv dynamisk geometriskiss.

Polygoner

Efter antal sidor

Monogon
Bigon
Triangel
Fyrsidig
Pentagon
Sexhörning
Heptagon
Oktogon
femhörning
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretton
tetradekagon
Pentagon
Sexhörning
Sjutton
oktogon
Nittonagon
Dodecagon
Tjugoensidig
Twenty-two-angle
Twentytrigon
Tjugofyrkantig
Tjugo femhörning
Tjugooktagon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrtio kvadratisk
Forty Bicagon
Pentecostal
Pentecostal
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ sv
Millagon
Tiotusen-gon
Hundratusendel
Milliogon
oändlighet

Korrekt

konvex	Triangel Fyrkant Pentagon Sexhörning Heptagon Oktogon femhörning tetradekagon Sjutton 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stellate	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trianglar

Fyrhörningar

se även