Olikhet om det aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 februari 2022; kontroller kräver 6 redigeringar .

Det aritmetiska medelvärdet, det geometriska medelvärdet och det harmoniska medelvärdesolikheten säger att för alla icke-negativa tal är olikheten sann: $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$

{\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }\geqslant {\bar {x}}_{\mathrm {aritm} }\geqslant {\bar {x}}_{\mathrm {geom } }\geqslant {\bar {x}}_{\mathrm {harmon} },

och jämlikhet uppnås om och endast om . ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n))$

Denna ojämlikhet är ett specialfall av medelojämlikheten (Cauchys ojämlikhet).

Definitioner

Uttryck

{\bar {x}}_{\mathrm {aritm} }={\frac {1}{n}}\summa _{i=1}^{n}{x_{i}}={\ frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}

kallas det aritmetiska medelvärdet av tal . $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$

Uttryck

{\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={ \sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}

kallas det geometriska medelvärdet av tal . $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$

Uttryck

{\bar {x}}_{\mathrm {harmon} }={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}} ))}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{x_ {n}}}}}

kallas det harmoniska medelvärdet av tal . $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$

Uttryck

{\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }={\sqrt ({\frac {1}{n}}\summa _{i=1}^{n}{x_{i} ^{2))))={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}{n}}}

kallas rotmedelkvadraten av tal . $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$

Relaterade resultat

Olikheten mellan det aritmetiska medelvärdet och det geometriska medelvärdet är ett specialfall av medelolikheten .
Cauchys ojämlikhet i en generaliserad form utgjorde grunden för geometrisk programmering .
Carlemans ojämlikhet .

Historik

Ett bevis på denna ojämlikhet publicerades av Cauchy i hans lärobok om kalkyl 1821 [1] .

Bevis

För n = 2

Antalet bevis för denna ojämlikhet är för närvarande jämförbart, kanske bara med antalet bevis för Pythagoras sats. Vi ger ett vackert geometriskt bevis för fallet . Låt oss ges två segment av längd och . Sedan konstruerar vi en cirkel med en diameter (se fig. 1). Markera en punkt på avstånd från en av ändarna av diametern . Låt oss rita en vinkelrät mot diametern genom denna punkt; den resulterande linjen skär cirkeln vid två punkter, och . Tänk på det resulterande ackordet. Triangeln är rätvinklig, eftersom vinkeln är inskriven i en cirkel och baserad på dess diameter, vilket betyder att det är en rät linje. Så är höjden på triangeln , och höjden i en rätvinklig triangel är det geometriska medelvärdet av de två segmenten av hypotenusan . Så . På samma sätt får vi från triangeln att , därför . Eftersom är ackordet av en cirkel med diameter , och ackordet inte överstiger diametern, får vi att , eller . Observera att likheten blir när ackordet sammanfaller med diametern, det vill säga när . $n=2$ $a$ $b$ $a+b$ $M$ $a$ $C$ $C_{1}$ $ABC$ $C$ $CENTIMETER$ $ABC$ $CM={\sqrt {ab}}$ $ABC_{1}$ $C_{1}M={\sqrt {ab))$ $CC_{1}=2CM=2C_{1}M=2{\sqrt {ab))$ $CC_{1}$ $a+b$ $2{\sqrt {ab}}\leqslant a+b$ ${\sqrt {ab}}\leqslant {\frac {a+b}{2}}$ $a=b$

Det algebraiska beviset kan konstrueras enligt följande:

{\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}\;\Leftrightarrow \;(a+b)^{2}\geqslant 4ab\;\Leftrightarrow \;(ab )^{2}\geqslant 0

Observera att den första övergången är likvärdig på grund av att och inte är negativa . $a$ $b$

För n = 4

Det räcker att sätta , liksom . Det är lätt att se, i kraft av det som har bevisats, att $\alpha ={\frac {a_{1}+a_{2}}{2}},\;\beta ={\frac {a_{3}+a_{4}}{2}}$ $\alpha '={\sqrt {a_{1}a_{2}}},\;\beta '={\sqrt {a_{3}a_{4}}}$

{\frac {\alpha +\beta }{2))\geqslant {\sqrt {\alpha \beta ))\geqslant {\sqrt {\alpha '\beta '))\;\Leftrightarrow \;{ \frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\geqslant {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3} a_{4}}}

Genom induktion med ett steg bakåt

Uppenbarligen innebär övergången från 2 till 4 genom induktion giltigheten av ojämlikheten för , och för den vi är intresserade av finns . Om vi antar att ojämlikheten är sann för , kommer vi att bevisa dess giltighet för . För att göra detta räcker det med att sätta $N=2^{k}$ $n$ $k:N\geqslant n$ $N$ $N-1$ ${\displaystyle a_{N}={\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1))))$

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{N}}{N}}\geqslant {\sqrt[{N}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N}} }\;\Leftrightarrow \;

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{N-1}+{\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1)) }}{N}}\geqslant {\sqrt[{N}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1}{\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1}}}}}\;\Leftrightarrow \;

a_{1}+\ldots +a_{N-1}\geqslant (N-1){\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1 }}}\;\Leftrightarrow \;

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{N-1}}{N-1}}\geqslant {\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \ cdot a_{N-1}}}

Genom induktionsprincipen gäller ovanstående bevis även för . $n$

Direkt bevis

{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n))}\leqslant {\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_ {n}}{n}}}

Låt oss dela båda sidor av ojämlikheten med och göra förändringen . Då är det under förutsättningarna nödvändigt att bevisa att (1). ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n))))$ $y_{i}={\frac {x_{i}}{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n))))$ $y_{1}>0,y_{2}>0,...,y_{n}>0;\quad y_{1}y_{2}...y_{n}=1$ $1\leqslant {\frac {y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{n}}$

Låt oss använda metoden för matematisk induktion .

Vi måste bevisa att om , då . Vi använder olikhet (1), som vi, genom det induktiva antagandet, anser vara bevisat för . Låt , och välj från sekvensen ( ) två termer så att , (dessa exakt existerar, eftersom ). Då är båda villkoren uppfyllda och ojämlikheten eller antas vara bevisad . Låt oss nu ersätta med . Detta kan göras på grund av det faktum att eller , vilket uppenbarligen gäller, eftersom . Därmed är ojämlikheten bevisad. $m_{1}>0,m_{2}>0,...,m_{n+1}>0;\quad m_{1}m_{2}...m_{n+1}= ett$ $m_{1}+m_{2}+...+m_{n+1}\geq n+1$ $n$ $y_{1}=m_{1},y_{2}=m_{2},...,y_{n}=m_{n}m_{n+1}$ $mi$ $m_{n}\geq 1$ $m_{n+1}\leq 1$ $m_{i}>0,m_{1}*m_{2}*...*m_{n+1}=1$ $y_{1}>0,y_{2}>0,...,y_{n}>0;\quad y_{1}y_{2}...y_{n}=1$ $y_{1}+y_{2}+...+y_{n}\geq n$ $m_{1}+m_{2}+...+m_{n}m_{n+1}\geq n$ $m_{n}m_{n+1}$ $m_{n}+m_{n+1}$ $m_{n}+m_{n+1}\geq m_{n}m_{n+1}+1$ $m_{n}+m_{n+1}-m_{n}m_{n+1}-1\geq 0$ $m_{n}(1-m_{n+1})-(1-m_{n+1})=(m_{n}-1)(1-m_{n+1})\geq 0$

Reflektion i kultur

Avsnittet med beviset att det aritmetiska medelvärdet är större än det geometriska medelvärdet finns i en av scenerna i filmen " Fyra hjärtan " 1941.

Anteckningar

↑ Cauchy, Augustin-Louis. Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique. Premiärfest. Analysera algebrik . - Paris, 1821. - S. 457-459 . Arkiverad från originalet den 15 mars 2017.

Litteratur

Solovyov Yu Augustin Louis Cauchy och matematisk induktion // Kvant . - 1991. - Nr 3 . - S. 13-14 .

Betyda
Matte	Effektmedelvärde ( viktad ) harmoniskt medelvärde viktad geometriskt medelvärde viktad Medel viktad effektivvärdet Genomsnittlig kubik glidande medelvärde Aritmetiskt-geometriskt medelvärde Funktion Mean Kolmogorov menar
Geometri	geometriskt centrum Barycenter
Sannolikhetsteori och matematisk statistik	Winsorized medelvärde provmedelvärde Förväntat värde Median Mode standardavvikelse Trunkerat medelvärde Villkorlig förväntan
Informationsteknologi	Medoid k-median metod
Satser	Första medelsatsen Andra medelsatsen Olikhet om det aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdet
Övrig	Mätvärden för distributionscenter