Kraftmedel

D -potensmedelvärdet (eller helt enkelt potensmedelvärdet ) är ett slags medelvärde . För en uppsättning positiva reella tal definieras som $x_{1},\ldots ,x_{n}$

A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{d}]{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{ i}^{d}}{n}}}.

Samtidigt, enligt principen om kontinuitet med avseende på indikatorn d , bestäms följande värden:

A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to 0}A_{d}(x_{1},\ldots,x_{n})= {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}};

A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to +\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{ n})=\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\};

A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to -\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{ n})=\min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.

Kraftmedelvärdet är ett specialfall av Kolmogorovmedelvärdet .

Tillsammans med begreppet "effektmedelvärde" används också det viktade effektmedelvärdet för vissa storheter.

Andra titlar

Eftersom medeltalet av grad d generaliserar de gamla (så kallade arkimediska) medelvärdena, kallas det ofta för generaliserat medelvärde .

I samband med Minkowskis och Hölders ojämlikheter har maktmedelvärdet även namn: Hölders medelvärde och Minkowskis medelvärde .

Specialfall

Genomsnittliga grader 0, ±1, 2 och har sina egna namn: $\pm\infty$

$A_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=m={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$ kallas det aritmetiska medelvärdet ;

(med andra ord: det aritmetiska medelvärdet av n tal är deras summa dividerat med n )

$A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=g={\sqrt[ {n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n))}$ kallas det geometriska medelvärdet ;

(med andra ord: det geometriska medelvärdet av n tal är den n :e roten av produkten av dessa tal)

$A_{{-1))(x_{1},\ldots ,x_{n})=h={\frac {n}({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1 }{x_{2))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n))))}$ kallas det harmoniska medelvärdet .

(med andra ord: det harmoniska medelvärdet av tal är det reciproka av det aritmetiska medelvärdet av deras reciproka)

$A_{{2}}(x_{1},\ldots,x_{n})=s={\sqrt {{\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ cdots +x_{n}^{2}}{n}}}}$ kallas medelkvadrat (kvadrat) , även känd under förkortningen RMS (root-mean-square).
I statistisk praxis används också maktlagsmedelvärden av tredje och högre ordningen. De vanligaste av dessa är de genomsnittliga kubikvärdena och de genomsnittliga biquadratiska värdena.
Det maximala och lägsta antalet från en uppsättning positiva tal uttrycks som medelvärdet av potenserna för dessa tal: $+\infty$ $-\infty$

\operatörsnamn {max}\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{{+\infty }}(x_{1},\ldots,x_{n});

\operatörsnamn {min}\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{{-\infty }}(x_{1},\ldots ,x_{n}).

Ojämlikhet om medel

Den genomsnittliga ojämlikheten säger att för någon $d_{1}>d_{2}$

A_{{d_{1}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq A_{{d_{2}}}(x_{1},\ldots,x_{n})

dessutom uppnås jämlikhet endast om alla argument är lika . $x_{1}=\ldots=x_{n}$

För att bevisa medelolikheten räcker det att visa att den partiella derivatan med respekt är icke-negativ och försvinner först vid (till exempel med Jensen-olikheten ), och sedan tillämpa den finita inkrementformeln . $A_{d}(x_{1},\ldots,x_{n})$ $d$ $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Olikhet om det aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdet

Ett specialfall av olikheten om medel är olikheten om det aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdet

\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\geq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq \left(x_{1} \cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{{1/n}}\geq {\frac {n}({\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}\geq \min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\},

där var och en av ojämlikheterna blir en jämlikhet endast för . $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Se även

Schweitzers ojämlikhet

Länkar

I. I. Zhogin. Om medelvärden // Matematisk utbildning . Andra serien. - 1961. - Utgåva. 6 . - S. 217-226 .

Betyda
Matte	Effektmedelvärde ( viktad ) harmoniskt medelvärde viktad geometriskt medelvärde viktad Medel viktad effektivvärdet Genomsnittlig kubik glidande medelvärde Aritmetiskt-geometriskt medelvärde Funktion Mean Kolmogorov menar
Geometri	geometriskt centrum Barycenter
Sannolikhetsteori och matematisk statistik	Winsorized medelvärde provmedelvärde Förväntat värde Median Mode standardavvikelse Trunkerat medelvärde Villkorlig förväntan
Informationsteknologi	Medoid k-median metod
Satser	Första medelsatsen Andra medelsatsen Olikhet om det aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdet
Övrig	Mätvärden för distributionscenter