Schweitzers ojämlikhet

Schweitzers ojämlikhet säger följande

För alla reella tal som hör till intervallet , där , gäller följande olikhet: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $[m;M]\;$ $M\geqslant m>0$

\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2} .

Dessutom, om det är udda, då $\;n$

\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2} -{\frac {(mM)^{2}}{4mM}}.

Historik

Denna ojämlikhet publicerades 1914 i en artikel [1] av den ungerske matematikern Miklós Schweitzer . Det finns en engelsk översättning av denna artikel i bilagan till [2] . Eftersom få personer var bekanta med Schweitzers artikel innan den engelska översättningen dök upp, förknippas ojämlikheten (dess andra del) vanligtvis [3] med namnet Alexandru Ioan Lupaš , som bevisade [4] denna ojämlikhet nästan 60 år senare än Schweitzer.

Ekvivalenta ojämlikheter

( V. Sierpinski [5] ) För alla positiva tal , $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$

\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant \left({\frac {A}{G}}\right)^{n}n^{2} ,

där A och G betecknar det aritmetiska medelvärdet respektive det geometriska medelvärdet . $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$

Konsekvenser

( O. Shisha [6] ) För alla reella tal som hör till segmentet , där , är olikheten sann: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $[m;M]$ $0<m\leqslant M$

{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}-{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}} +{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq (Mm)^{2}.

(Z.-C. Hao). De reella talen tillhör intervallet där . Under villkoret och följande ojämlikhet gäller: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $[m;M]$ $0<m\leqslant M$ $0<q\leqslant p<1$ $p+q=1$

\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)^{p}\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{q}\leqslant {\frac {n(pM+qm)}{m^ {q}M^{q}}}.

Generaliseringar

Kantorovichs

Anteckningar

↑ Schweitzer P. Egy egyenlőtlenség az arithmetikai középértékről (neopr.) // Math. es. Phys. Lapok.. - 1914. - T. 23 . - S. 257-261 . (Hung.) ("Ojämlikhet som innehåller det aritmetiska medelvärdet")
↑ Watson GS, Alpargu G., Styan GPH Några kommentarer om sex olikheter förknippade med ineffektiviteten hos vanliga minsta kvadrater med en regressor // Linjär algebra och dess appl. : journal. - 1997. - Vol. 264 . - S. 13-54 . - doi : 10.1016/S0024-3795(97)00228-0 .
↑ Mitrinović DS, Pečarić JE, Fink AM Klassiska och nya ojämlikheter i analys. Matematik och dess tillämpningar . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group , 1993. - Vol. 61. - (East European Series).
↑ Lupaş A. En anmärkning om ojämlikheterna i Schweitzer och Kantorovich (neopr.) // Publ. Elek. Fak. Univ. Beograd Ser. Matta. i Fiz .. - 1972. - T. 381-409 . - S. 13-15 .
↑ Sierpiński W. Über eine auf das aritmetische, geometrische und harmonische Mittel sich beziehende Ungleichung (tyska) // Warsch. Sitzungsber. : affär. - 1909. - Bd. 2 . - S. 354-367 . (Tysk)
↑ Shisha O. Ojämlikheter I. - New York-London, 1967. - S. 293-308.

Källa

A. Khrabrov. Schweitzers ojämlikhet // I lör. Uppgifter för St. Petersburg Olympiaden för skolbarn i matematik, 2005. Nevskij-dialekt, 2005. - S. 89--96 .. Arkiverad den 20 maj 2006.