Carlemans ojämlikhet

Den Carlemanska ojämlikheten är en matematisk ojämlikhet uppkallad efter den svenske matematikern Thorsten Carleman , som publicerade och bevisade denna ojämlikhet 1923 [1] . Carlemans ojämlikhet kan ses som en variation på den klassiska ojämlikheten mellan det aritmetiska medelvärdet och det geometriska medelvärdet . Carleman använde denna ojämlikhet för att bevisa Denjoy-Carlemans sats om kvasianalytiska funktioner [2] [3] .

Formulering

Låta vara en sekvens av icke-negativa reella tal . Då gäller följande ojämlikhet: ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3}\dots \))$

\sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\dots a_{n))}\leqslant e\sum _{n= 1}^{\infty }a_{n}.

Koefficienten e (Eulertal) i olikheten är optimal, det vill säga att olikheten inte alltid är uppfylld om e ersätts med ett mindre tal. Ojämlikheten blir strikt (med tecknet "mindre än", inte "mindre än eller lika med"), om åtminstone en inte är lika med noll [4] . $en$

Integral version

Carlemans ojämlikhet har en integrerad version som är lämplig för alla icke-negativa funktioner : $f(x)$

\int \limits _{0}^{\infty }\exp \left\{{\frac {1}{x}}\int \limits _{0}^{x}\ln f(t) dt\right\}dx\leqslant e\int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx

Carlesons ojämlikhet

1954 föreslog Lennart Carleson en generalisering av Carlemans integrala ojämlikhet [5] :

Låt vara en konvex funktion , och sedan gäller följande olikhet för vilket tal som helst: $g(x)$ $g(0)=0.$ $p>-1$

\int \limits _{0}^{\infty }x^{p}e^{-g(x)/x}dx\leqslant e^{p+1}\int \limits _{0} ^{\infty }x^{p}e^{-g'(x)}dx.

Carlemans ojämlikhet erhålls från Carlesons ojämlikhet för $p=0.$

Bevis

Det elementära beviset beskrivs nedan. Låt oss tillämpa den klassiska olikheten mellan det aritmetiska medelvärdet och det geometriska medelvärdet på sekvensen : $1\cdot a_{1},2\cdot a_{2},3\cdot a_{3}\dots$

M_{geom}(a_{1},\dots ,a_{n})=M_{geom}(1a_{1},2a_{2},\dots,na_{n})(n!)^ {-1/n}\leqslant M_{aritm}(1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^{-1/n}

var är det geometriska medelvärdet och är det aritmetiska medelvärdet . Därefter skriver vi ut ojämlikheten som erhålls från Stirlingformeln : $M_{geom}$ $M_{aritm}$

n!\geqslant {\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}e^{-n}

eller genom att ersätta med : $n$ $n+1$

(n!)^{-1/n}\leqslant {\frac {e}{n+1))

för vem som helst

n\geqslant 1.

Härifrån:

M_{geom}(a_{1},\dots,a_{n})\leqslant {\frac {e}{n(n+1)))\,\summa _{1\leq k\leq n}ka_{k}\,,

eller:

\sum _{n\geqslant 1}M_{geom}(a_{1},\dots,a_{n})\leqslant \,e\,\sum _{k\geqslant 1}{\bigg ( }\sum _{n\geqslant k}{\frac {1}{n(n+1)}}{\bigg )}\,ka_{k}=\,e\,\sum _{k\geqslant 1 }\,a_{k}\,,

vilket kompletterar beviset.

Man kan också härleda Carlemans ojämlikhet från Hardys ojämlikhet :

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{ p}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}

för icke-negativa tal och ; för att göra detta måste vi ersätta med och tendera mot oändligheten. $en$ $p>1$ $en$ ${\displaystyle a_{n}^{1/p))$ $sid$

Anteckningar

↑ T. Carleman . Sur les fonctions quasi-analytiques, Conférences faites au cinquième congres des mathématiciens Scandinaves, Helsingfors (1923), 181-196.
↑ Duncan, John. Carlemans ojämlikhet (engelska) // Amer. Matematik. Månatlig : dagbok. - 2003. - Vol. 110 , nr. 5 . - s. 424-431 . - doi : 10.2307/3647829 .
↑ Pecaric, Josip. Carlemans ojämlikhet: historia och nya generaliseringar // Aequationes Mathematicae : journal. - 2001. - Vol. 61 , nr. 1-2 . - S. 49-62 . - doi : 10.1007/s000100050160 .
↑ Hardy, Littlewood, Poya 2006 , sats 334.
↑ Carleson, L. Ett bevis på en ojämlikhet hos Carleman // Proc . amer. Matematik. soc. : journal. - 1954. - Vol. 5 . - s. 932-933 . - doi : 10.1090/s0002-9939-1954-0065601-3 .

Litteratur

Xapdy G. G. , Littlewood D. E. , Polia D. Ojämlikheter = Ojämlikheter. - M. : KomKniga, 2006. - 458 sid. — ISBN 5-484-00363-6 .
Rassias, Thermistokles M., redaktör. Undersökning om klassiska ojämlikheter (neopr.) . - Kluwer Academic , 2000. - ISBN 0-7923-6483-X . CS1 underhåll: Extra text: författarlista (länk) Rassias, Thermistokles M., redaktör. Undersökning om klassiska ojämlikheter (neopr.) . - Kluwer Academic , 2000. - ISBN 0-7923-6483-X .
Hormander, Lars. Analysen av linjära partiella differentialoperatorer I : distributionsteori och Fourieranalys, 2nd ed . — Springer, 1990. - ISBN 3-540-52343-X .

Länkar

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Carleman inequality , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4