Triangelhöjd

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 april 2020; kontroller kräver 142 redigeringar .

Höjden på en triangel är den vinkelräta som faller från triangelns spets till den motsatta sidan (mer exakt, till linjen som innehåller den motsatta sidan). Beroende på typen av triangel kan höjden vara inne i triangeln (för en spetsig triangel), sammanfalla med dess sida (vara ett ben i en rätvinklig triangel) eller passera utanför triangeln i en trubbig triangel.

Egenskaper

Egenskaper för ortocentret

Alla 3 höjderna i en triangel skär varandra vid 1 punkt, som kallas ortocenter . Beviset finns nedan.
Ortocentret är isogonalt konjugerat med mitten av den omskrivna cirkeln .
Ortocentret ligger på samma linje som tyngdpunkten , mitten av den omskrivna cirkeln och mitten av cirkeln av nio pekar (se Euler linje ).
Ortocentrum av en spetsig triangel är mitten av cirkeln inskriven i dess ortotriangel .
I en spetsig triangel ligger ortocentret inuti triangeln; i trubbig - utanför triangeln; i en rektangulär, i spetsen av en rät vinkel.

Egenskaper associerade med den omskrivna cirkeln

Mitten av en cirkel omskriven kring en triangel fungerar som ortocentrum för en triangel med hörn i mitten av sidorna av den givna triangeln. Den sista triangeln kallas en extra triangel med avseende på den första triangeln.
Den sista egenskapen kan formuleras på följande sätt: Cirkelns mitt omskriven kring triangeln fungerar som den extra triangelns ortocentrum .
Punkter som är symmetriska till triangelns ortocentrum med avseende på dess sidor ligger på den omskrivna cirkeln.
Punkter som är symmetriska mot triangelns ortocentrum med avseende på sidornas mittpunkter ligger också på den omskrivna cirkeln och sammanfaller med punkter diametralt motsatta motsvarande hörn.
Om O är mitten av den omskrivna cirkeln ΔABC, då , $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
- $|OH| = \sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$ , där är radien för den omskrivna cirkeln ; är längden på triangelns sidor. $R$ $a,b,c$
Avståndet från triangelns spets till ortocentrum är två gånger avståndet från centrum av den omskrivna cirkeln till motsatt sida.
Varje segment som dras från ortocentret till skärningspunkten med den omskrivna cirkeln halveras alltid av Eulercirkeln . Ortocentret är centrum för homoteten av dessa två cirklar.
Hamiltons teorem . De tre linjesegmenten som förbinder ortocentret med spetsen i den spetsiga triangeln delar upp den i tre trianglar med samma Eulercirkel ( cirkel med nio punkter ) som den ursprungliga spetstriangeln.
Följderna av Hamiltons teorem :
- Tre linjesegment som förbinder ortocentret med spetsarna i en spetsig triangel delar upp den i tre Hamiltontrianglar med lika radier av de omskrivna cirklarna .
- Radierna för de omskrivna cirklarna i de tre Hamiltonska trianglarna är lika med radien för cirkeln omskriven kring den ursprungliga spetsiga triangeln.

Egenskaper för höjder i en likbent triangel

Om i en triangel två höjder är lika, då är triangeln likbent , och den tredje höjden är både medianen och bisektrisen av vinkeln från vilken den kommer ut.
Det omvända är också sant: i en likbent triangel är två höjder lika, och den tredje höjden är både en median och en bisektrik.

Egenskaper för höjder i en liksidig triangel

Vivianis sats _). För vilken punkt P som helst inuti en liksidig triangel är summan av vinkelrätheterna till de tre sidorna lika med triangelns höjd. [ett]

Egenskaper för höjder i en likbent triangel

Vivianis teorem generaliserade till vilken punkt P som helst baserat på en likbent triangel . Summan av avstånden från en godtycklig punkt som ligger på basen av en likbent triangel till laterala (lika) sidor är ett konstant värde lika med höjden sänkt till laterala sidan. [2]

Höjdegenskaper för en godtycklig triangel

Vivianis sats är generaliserad . Om från ändarna av den minsta av de tre sidorna av triangeln för att skjuta upp på de två återstående sidorna samma segment är lika med längden på den minsta av de tre sidorna, då genom att ansluta de två icke-spetsändarna av de uppskjutna segmenten av den räta linjen får vi platsen för punkter som ligger inuti triangeln. För vilken punkt P som helst av denna punkt i triangeln är summan av avstånden till de tre sidorna en konstant. [3]

Egenskaper för baserna för höjderna i en triangel

Höjdernas baser bildar den så kallade ortotriangeln , som har sina egna egenskaper.
Cirkeln som beskrivs nära ortotriangeln är Eulercirkeln . Tre mittpunkter på triangelns sidor och tre mittpunkter för de tre segmenten som förbinder ortocentret med triangelns hörn ligger också på denna cirkel.
En annan formulering av den sista egenskapen:
- Eulers sats för cirkeln med nio punkter . Baserna för de tre höjderna av en godtycklig triangel, mittpunkterna på dess tre sidor ( baserna för dess inre medianer) och mittpunkterna för de tre segmenten som förbinder dess hörn till ortocentrum ligger alla på samma cirkel (på cirkeln av nio poäng ).
Teorem . I vilken triangel som helst skär segmentet som förbinder baserna för de två höjderna av triangeln av en triangel som liknar den givna.
Teorem . I en triangel är segmentet som förbinder baserna för två höjder av triangeln som ligger på två sidor antiparallellt med den tredje sidan, med vilken det inte har några gemensamma punkter. Genom dess två ändar, såväl som genom två hörn på den tredje nämnda sidan, är det alltid möjligt att rita en cirkel.

Egenskaper för mittpunkterna för höjderna i en triangel

Schlömilchs sats . År 1860 bevisade Schlömilch ett teorem: tre linjer som förbinder mittpunkterna på sidorna av en triangel med mittpunkterna på dess respektive höjder skär varandra vid en punkt. År 1937 visade den sovjetiske matematikern S. I. Zetel att denna sats inte bara gäller för höjder, utan också för alla andra cevianer .
Ett annat uppenbart teorem . Mittpunkten av höjden av en triangel ligger alltid på mittlinjen av triangeln som skär den.
Rigbys teorem . Om vi ritar en höjd och en cirkel som rör vid den på andra sidan till någon sida av en spetsvinklad triangel , så ligger den senares kontaktpunkt med denna sida, mittpunkten av den nämnda höjden och även mittpunkten på en rak linje. [4] .
Det följer av Rigbys sats att 3 segment som förbinder mittpunkten av var och en av de 3 höjderna i en triangel med kontaktpunkten för en cirkel som dras till samma sida som höjden skär i mitten .
Mittpunkterna X och Y på två höjder av triangeln ABC , samt mittpunkten K på sidan BC , från vars ändar dessa två höjder kommer fram, samt ortocentrum H ligger på samma cirkel , på vilken den femte punkten D - basen för den tredje höjden AD [5] ligger också .
Låt i triangeln ABC O vara centrum för den omskrivna cirkeln. Låt linjen x passera genom mittpunkten av triangelns höjd, tappad från vertex A, och vara parallell med OA. Linjerna y och z definieras på liknande sätt. Dessa 3 linjer skär varandra i en punkt T, som är mitten av Taylor-cirkeln [6] i triangeln ABC. [7] .

Andra egenskaper

Om en triangel är skalenlig ( icke- liksidig ), så ligger dess inre bisektris från vilken vertex som helst mellan den inre medianen och höjden från samma vertex.
Höjden på en triangel är isogonalt konjugerad till diametern (radien) av den omslutna cirkeln ritad från samma vertex.
I en spetsvinklad triangel skär två av dess höjder av 2 par trianglar med 1 gemensam vertex, som är lika.
I en rät triangel delar höjden från spetsen av den räta vinkeln den i två trianglar som liknar den ursprungliga.
Tre delar av höjderna av en given spetsvinklig triangel inuti dess ortotriangel visar sig vara tre bisektorer .

Egenskaper för minimihöjden

Minimihöjden på en triangel har många extrema egenskaper. Till exempel:

Den minsta ortogonala projektionen av en triangel på linjer som ligger i triangelns plan har en längd som är lika med den minsta av dess höjder.
Det minsta raka snittet i planet genom vilket en oflexibel triangulär platta kan dras måste ha en längd som är lika med den minsta av höjderna på denna platta.
Med kontinuerlig rörelse av två punkter längs triangelns omkrets mot varandra kan det maximala avståndet mellan dem under rörelsen från det första mötet till det andra inte vara mindre än längden på den minsta av triangelns höjder.
Den minsta höjden i en triangel är alltid inom den triangeln.

Förhållanden

$h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta =a\,{\frac {\sin \beta \cdot \sin \gamma }{\sin(\beta +\gamma )))$
$h_{a}={\frac {2S}{a}},$ där är arean av triangeln, är längden på sidan av triangeln på vilken höjden sänks . $S$ $a$
$h_{a}^{2}={\frac {1}{2}}(b^{2}+c^{2}-{\frac {1}{2}}(a^{2} }+{\frac {(b^{2}-c^{2})^{2}}{a^{2}}}))$
$h_{a}^{2}={\frac {1}{4a^{2}}}(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b +c)$
$h_{a}={\frac {bc}{2R)),$ där är produkten av sidorna, är radien för den omskrivna cirkeln $före Kristus$ $R$
$h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}} =bc:ac:ab$
${\frac 1{h_{a))}+{\frac 1{h_{b))}+{\frac 1{h_{c))}={\frac {1}{r))$ , var är radien för den inskrivna cirkeln . $r$
$S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a))}+{\frac {1}{h_{b))}+{\frac {1} {h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_ { c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b} } }){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}}) } }}$ var är arean av triangeln. $S$
$a={\frac {2}{h_{a}{\cdot }{\sqrt {({\frac {1}{h_{a))}+{\frac {1}{h_{b} }}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}- {\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1} {ha}}})}}}}}$ , är den sida av triangeln som höjden sjunker till . $a$ $ha}$
Höjden på en likbent triangel sänkt till basen: $h_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}},$

var är basen och är sidan.

c

a

$h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$ är höjden i en liksidig triangel med sida . $a$

Sats om en godtycklig punkt inuti en triangel

Sats om en godtycklig punkt inuti en triangel . Om p a , p b och p c är avstånden (vinkelräta segment) från valfri punkt P i triangeln till dess tre sidor, och h a , h b och h c är längderna av höjderna sänkta till motsvarande sidor (a , b och c), sedan [8]

{\frac {p_{a}}{h_{a}}}+{\frac {p_{b}}{h_{b}}}+{\frac {p_{c}}{h_{c }}}=1.

Följd av satsen . Om punkten P är mitten av den givna triangeln, då p a = p b = p c = . Sedan har vi från den sista satsen: $r$

{\frac 1{h_{a))}+{\frac 1{h_{b))}+{\frac 1{h_{c))}={\frac {1}{r))

, var är radien för den inskrivna cirkeln .

r

Sats om tre godtyckliga cevianer inuti en triangel, varav en är höjden

Teorem . Om två godtyckliga cevianer (inte nödvändigtvis två höjder) inuti en spetsvinklad triangel skär varandra vid en punkt på den tredje cevian, vilket är höjden på denna triangel, då är själva höjden halveringslinjen av vinkeln som bildas av de två linjesegmenten som ritas från basen av den angivna höjden till de två baserna för de angivna cevianerna (upp till två punkters skärningspunkter mellan de två angivna cevianerna med sidor). [9]

Sats om en godtycklig höjdpunkt

Den godtyckliga höjdpunktssatsen . Om E är en godtycklig punkt på höjd AD av någon triangel ABC , då [10] :77–78

AC^{2}+EB^{2}=AB^{2}+CE^{2}.

Satser om höjderna av en rätvinklig triangel

Invers Pythagoras sats

I en rätvinklig triangel 3 är höjderna h a , h b , och h c (varav de första 2 är lika med längderna på sidorna b respektive a i denna triangel) relaterade av relationen, enligt [ 11] [12]

{\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{h_{c} ^{2}}}.

Detta samband är känt som det omvända Pythagoras sats).

Sats om höjden av en rätvinklig triangel

Om höjden i en rätvinklig triangel med längden ritad från spetsen på den räta vinkeln delar hypotenusan med längden i segment och motsvarar benen och , då är följande likheter sanna: $ABC$ $h$ $c$ $m$ $n$ $b$ $a$

$h^{2}=mn$
$a^{2}=cn$ ; $b^{2}=cm$
$ch=ab$

Projektionssatsen

Se sid. 51, f. (1.11-4) [13] . Projektionssatsen: . Det följer av projektionssatsen att den utelämnade höjden, till exempel, från spetsen delar den motsatta sidan i två delar och , räknat från spetsen till . $c=a\cos \beta +b\cos \alpha ;\ a=b\cos \gamma +c\cos \beta ;\ b=c\cos \alpha +a\cos \gamma$ $C$ $c$ $a\cos \beta$ $b\cos \alpha$ $A$ $B$

Historik

Påståendet: "Alla tre höjderna i en triangel skär varandra vid en punkt", som nu kallas ortocentrum , saknas från Euklids element . Vissa historiker tillskriver detta uttalande Arkimedes och kallar det Arkimedes sats [14] . Ortocentret användes för första gången i grekisk matematik i Arkimedes Lemmas bok , även om Arkimedes inte gav uttryckliga bevis för att ortocentret fanns.
I en indirekt form och uttryckligen finns detta uttalande ("Alla tre höjderna i en triangel skär varandra vid en punkt") i Proclus (410-485) - Euklids kommentator [15] .
Men fram till mitten av artonhundratalet kallades ortocentret ofta Arkimedeiska punkten [16] .
Andra matematikhistoriker anser att William Chapple (lantmätare) är författaren till det första beviset.) ( Miscellanea Curiosa Mathematica , 1749) [17] .
Själva termen ortocenter användes först av W. H. Besant ( WH Besant) i "Conic Sections Investigated Geometrically (1869)" ( [18] ) [19] .

Två komponenter av höjd: pre -height och post- höjd [20]

På fig. till höger i triangeln ABC genom punkt O 3 ritas höjder: AD , BE och CF. Sedan delar skärningspunkten O för 3 höjder upp varje höjd i 2 linjesegment, ett av dem (som börjar vid spetsen och slutar vid skärningspunkten O ) kallar vi upheight eller preheight , och det andra av dem (som börjar vid skärningspunkten O , och slutar vid skärningspunkten med sidan mitt emot spetsen) kallar vi posthöjden .
Dessa två termer introduceras i analogi med loopoperatorer , med hänsyn till deras representation på flödesscheman inom datavetenskap. Det finns begrepp om en cykel, respektive, med ett för- och eftertillstånd , beroende på om detta tillstånd är före eller efter cykelns kropp. I vårt fall är slingkroppen punkten O för skärningspunkten mellan höjder, och villkoret är den första eller andra änden av segmentet som introduceras som ett koncept för en av de två delarna av höjden.
Med hjälp av dessa 2 begrepp formuleras några geometrisatser ganska enkelt.

Till exempel, i vilken triangel som helst (skärp, rät och trubbig) är de tre produkterna av pre- och postheights desamma [21] . För spetsiga och rätvinkliga trianglar är detta påstående lätt bevisat. Det är också sant för vilken trubbig triangel som helst, vilket är förvånande, eftersom 2 av 3 höjder i en sådan triangel inte ens ligger inuti själva triangeln.

Kommentar. På detta fig. till höger i triangeln ABC är cevian inte höjder. På nästa fig. till höger i triangeln ABC finns tre höjder: $AH_{a},BH_{b},CH_{c}$

Variationer på ett tema. Höjd i en fyrhörning

Sats [22] . Låt - en inskriven fyrhörning, - basen av vinkelrät ( höjd ), sänkt från spetsen till diagonalen ; punkter definieras på liknande sätt . Då ligger punkterna på samma cirkel. $ABCD$ $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$

Detta uttalande är en följd av sjätte cirkellemmat .

Anteckningar

↑ Zetel S. I. Ny geometri för en triangel. En guide för lärare. 2:a upplagan. M.: Uchpedgiz, 1962. S. 139, s. 128, Konsekvens
↑ Zetel S. I. Ny geometri för en triangel. En guide för lärare. 2:a upplagan. M.: Uchpedgiz, 1962. S. 138, s. 127
↑ Zetel S. I. Ny geometri för en triangel. En guide för lärare. 2:a upplagan. M.: Uchpedgiz, 1962. S. 137, s. 126. Problem, helvete. 106
↑ Ross Honsberger . Episoder i 1800- och 1900-talets euklidiska geometri . Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390 . sid. 30, figur 34, §3. En osannolik kolinearitet.
↑ Ross Honsberger . Episoder i 1800- och 1900-talets euklidiska geometri . Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390 . sid. 33, figur 40, §Övning 3.2
↑ Taylor Circle// https://deru.abcdef.wiki/wiki/Taylor-Kreis
↑ Myakishev A. Går i cirklar: från Euler till Taylor // Matematik. Allt för läraren! nr 6 (6). juni 2011. sid. 3, uppgift 2, fig. 3// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
↑ Johnson, 2007 , sid. 74, 103c §
↑ Zetel S. I. Ny geometri för en triangel. 2:a uppl. M.: Uchpedgiz, 1962. sid. 85, s. 70. helvete. 62
↑ Posamentier AS, Salkind. CT Challenging Problems in Geometry , Dover Publishing Co., andra reviderade upplagan, 1996.
↑ Voles, Roger, "Integer solutions of ," Mathematical Gazette 83, juli 1999, 269–271. $a^{{-2}}+b^{{-2}}=d^{{-2}}$
↑ Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, juli 2008, 313–317.
↑ Korn G.A., Korn T.M. Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer . - M . : " Nauka ", 1974. - 832 sid.
↑ Efremov D. Ny geometri för en triangel. Odessa, 1902, s. 9, s. 16. En triangels höjder. Arkimedes sats.
↑ Nathan Altshiller-Court. "Högskolegeometri. En introduktion till triangelns och cirkelns moderna geometri". andra upplagan. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. S. 298, §175.
↑ Maureen T. Carroll, Elyn Rykken. Geometri: Linjen och cirkeln . Tillträdesdatum: 10 april 2020. (obestämd)
↑ Bogomolny, Alexander, A Possibly First Proof of Concurrence of Altitudes , < https://www.cut-the-knot.org/triangle/Chapple.shtml > . Hämtad 17 november 2019. Arkiverad 7 maj 2021 på Wayback Machine
↑ Koniska sektioner behandlade geometriskt, 1869. Ref: 1895: Koniska sektioner behandlade geometriskt Arkiverade 18 april 2018 på Wayback Machine från Cornell University Historical Math Monographs.
↑ Nathan Altshiller-Court. "Högskolegeometri. En introduktion till triangelns och cirkelns moderna geometri". andra upplagan. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. S. 298, §176
↑ Starikov V.N. 10:e studien i geometri (§ Pre-(pre-)- och Post-Cevians). Vetenskaplig peer-reviewed elektronisk tidskrift för MSAU "Science and Education". 2020. Nr 1. 7 p.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/1604 Arkivexemplar daterad 29 juni 2020 på Wayback Machine
↑ Nathan Altshiller-Court. "Högskolegeometri. En introduktion till triangelns och cirkelns moderna geometri". andra upplagan. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. S. 94, §177. Sats.
↑ Runt problemet med Arkimedes. Ex. 7, fig. 11, följd, sid. 5 Arkiverad 29 april 2016 på Wayback Machine .

Litteratur

Johnson, Roger A. Avancerad euklidisk geometri. - Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-46237-0 .

Länkar

Katalog: Trianglar

Se även

Triangel
Typer av trianglar	Rektangulär Likbent Liksidig Likbent rektangulär
Underbara linjer i en triangel	Median Höjd Bisektris Mittvinkelrät mittlinje Omskrivna och inskrivna cirklar Simsons raka linje Euler linje Simediana Cheviana
Anmärkningsvärda punkter i triangeln	Ortocenter Centroid I mitten Brocard punkt Vecten punkt Peka Gergonne Lemoine punkt Miquel pekar Nagel poäng Napoleon pekar Torricellis punkter Niopunkts cirkelcentrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centers
Grundläggande satser	triangelojämlikhet Tecken på likhet av trianglar Lösa trianglar Triangelns yttre vinkelsats Triangelsummans sats Pythagoras sats Cosinussats Sinussats Projektionssatsen Herons formel
Ytterligare satser	Van Obels teorem Menelaos sats Reuschles (Terkema) sats Stewarts teorem Tangentsats Cotangenssats Cevas sats Mollweide formler
Generaliseringar	sfärisk triangel hyperbolisk triangel Simplex