Lemma på den sjätte cirkeln

Det sjätte cirkellemma [1] hävdar följande.

I en fyrhörning inskriven i (första) cirkeln , genom fyra par hörn och , och , och , och rita en cirkel (fyra cirklar till) på ett sådant sätt att punkterna för deras parvisa skärningspunkt ligger inuti den första cirkeln. Lägg dig sedan på en (sjätte) cirkel $ABCD$ $A$ $B$ $B$ $C$ $C$ $D$ $D$ $A$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$ .

Figuren till höger nedan kommer att motsvara det sista påståendet i satsen, om den betecknas med . $Z=A_{1},Y=B_{1},X=C_{1},W=D_{1}$

Notera

Ovanstående sats kallas även Miquels sexcirkelsats utan hänvisning till en specifik fyrhörning (se figuren nedan).) Låt 4 punkter, "A", "B", "C" och "D", och 4 cirklarna skära varandra i par vid dessa punkter, såväl som vid 4 andra punkter W , X , Y och Z . Sedan ligger de sista 4 punkterna på en gemensam cirkel. Denna sats är känd som "sexcirkelsatsen"' [2] (se figur).

Konsekvenser

$ABCD$ är en inskriven fyrhörning. är basen av vinkelrät tappad från vertex till diagonalen ; punkter definieras på liknande sätt . Då ligger punkterna på samma cirkel. Beviset följer av sjätte cirkellemmat. $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$
$ABCD$ är en inskriven fyrhörning. är mitten av den inskrivna cirkeln av triangeln BCD; punkter definieras på liknande sätt . Då är det en rektangel. Beviset följer av sjätte cirkellemmat. Denna följd kallas ibland för den japanska satsen (se fig.). $A_{1}$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$

Låt cirkeln inskriven i en godtycklig triangel tangera sidan vid punkten och excirkeln tangera sidan i punkten . Då ligger punkterna på samma cirkel. Beviset följer av sjätte cirkellemmat. $ABC$ $AC$ $X$ $AC$ $Y$ $A_{1},Y,C_{1},X$
I en triangel , sjunkit baserna av perpendicularerna på bisektrisen av vinkeln från hörnen och, respektive; - höjd, - mitten av sidan . Sedan pekar och ligger på samma cirkel. Dessutom ligger mitten av cirkeln som passerar genom punkterna på den niopunktscirkeln av triangeln ABC. Beviset följer av sjätte cirkellemmat. $ABC$ $A_{1},C_{1}$ $B$ $A$ $C$ $BB_{1}$ $D_{1}$ $AC$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$ $D_{1}$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$

Historik

Detta teorem kallas ibland fyra cirklar-satsen och tillskrivs Jakob Steiner, även om det enda kända publicerade beviset gavs av Miquel [3] .

Wells hänvisar till detta teorem som "Miquels teorem" [4]

Möjliga variationer och generaliseringar

Intressant nog är en ytterligare generalisering av denna sats till Lemma om den sjunde cirkeln omöjlig. Detta indikeras av följande motexempel i form av en figur till höger, hämtad från Miquels punktsektion (se stycket " Miquels sats för en femhörning (för en femuddig stjärna) "). Detta indikeras av följande uppenbara uttalande:

"Om 5 cirklar (de är svarta i figuren) har 5 punkter av sin parvisa skärningspunkt M, N, P, R, Q , liggande på en (blå) cirkel (6 cirklar totalt), så från detta, i det allmänna fall, inte alls följer det att 5 andra (ej nämnda ovan) punkter i deras parvisa skärningspunkt A, B, C, D, E också kommer att ligga på samma cirkel (på den 7:e cirkeln)).» I figuren är detta ganska uppenbart, eftersom femhörningen ABCDE uppenbarligen inte är inskriven i cirkeln (7:e i raden).

Se även

Anteckningar

↑ Runt problemet med Arkimedes. Lemma 4 Arkiverad 29 april 2016 på Wayback Machine , fig. 10, sid. 5
↑ En gymnasielärare på den franska landsbygden (Nantua) enligt Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, sid. 94
↑ En gymnasielärare på den franska landsbygden (Nantua) enligt Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, sid. 352
↑ Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books. pp. 151–152

Litteratur

Coxeter, HSM & Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited , vol. 19, New Mathematical Library , Washington, DC : Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-619-2
Forder, H.G. (1960), Geometry , London: Hutchinson
Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
Pedoe, Dan (1988), Geometry/A Comprehensive Course , Dover, ISBN 0-486-65812-0
Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5:e upplagan), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6