Excircle

Excirkeln av en triangel är en cirkel som tangerar ena sidan av triangeln och förlängningarna av de andra två sidorna. Varje triangel har tre cirklar (i motsats till en enda cirklar ).

Existensen och det unika hos en excirkel beror på det faktum att bisektrisen för två yttre vinklar i en triangel och bisekturen för en inre vinkel som inte gränsar till dessa två skär varandra i en punkt, som är centrum för en sådan cirkel.

Egenskaper

Följande notation används här: - radier av cirklar med centrum , tangent respektive sidorna av triangeln; - triangelns halvomkrets ; - radien för den inskrivna cirkeln ; är radien för den omskrivna cirkeln . ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c))$ ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C))$ $a,b,c$ $sid$ $r$ $R$

Längden på segmentet av tangenten som dras till excirkeln från den motsatta vertexen är lika med triangelns halva omkrets.
Arean av en triangel är den sista ekvationen med Herons formel . [ett] $S=r_{a}(pa)=r_{b}(pb)=r_{c}(pc)={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}} ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}},$
${\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_ {c}}}$
$4R=r_{a}+r_{b}+r_{c}-r$
Den ursprungliga triangeln är ortotriangeln för triangeln ${\displaystyle \Delta I_{1}I_{2}I_{3))$
barycentriska koordinater $J_{A}=(-a,b,c)$
Eulers sats för excirklar: , där O är centrum för den omskrivna cirkeln. ${\displaystyle OI_{i}^{2}=R^{2}+2Rr_{i))$
$r_{a}r_{b}=p(pc);rr_{a}=(pb)(pc)$
Det radikala mitten av excirklarna är Spiekercentrum (centrum för den inskrivna cirkeln i mediantriangeln).
Mitten av de inskrivna och excirklarna är de fasta punkterna för den isogonala konjugationen .
Mitten av cirkeln som passerar genom cirkelns mittpunkter är Bevan-punkten .
De tre mittpunkterna för de tre excirklarna i en given triangel bildar en triangel med tre yttre bisectors .
Tre vinkelräta mot sidorna av en triangel, ritade i punkterna för deras skärningspunkt med tre excirklar, skär varandra i en punkt (en följd av satserna om hörnen i en subdermal triangel [2] ).
På en rät linje som går genom kontaktpunkterna för två cirklar i en triangel med dess sidor, skär dessa cirklar av lika segment.
Det senare kan formuleras enligt följande. Om 2 excirklar av en triangel vidrör 2 av dess olika sidor och 2 av deras förlängningar vid 4 tangentpunkter, så är fyrkanten som bildas av de sista 4 punkterna som hörn en likbent trapets med 2 laterala sidor lika, och även 2 diagonaler (tangenter till 2 cirklar).

Notera

I engelsk litteratur kallas 4 centra av 4 cirklar: 1 inskriven respektive 3 cirklar med centra, som rör respektive 3 olika sidor av triangeln eller deras förlängningar, 4 tritangent centers of the triangle ( de tritangent centers ) [3] . Det finns många satser om 4 tretangenscentrum i en triangel : ${\displaystyle I,J_{A},J_{B},J_{C))$ $a,b,c$
Triangelns 4 tretangenta centra bildar ett ortocentriskt system av punkter .
Triangelns 4 tretangenscentrum ligger på triangelns inre halvled eller på deras förlängningar. Samtidigt delar 2 tretangentcentra harmoniskt upp bisekturen på vilken de är belägna och på dess fortsättning. [4] . Det vill säga, den harmoniska fyran bildas av 4 punkter: , där är basen av den inre bisektrisen dras från spetsen på triangelns vinkel . $A,I,A',J_{A}$ $A'$ $A$ $ABC$
Feuerbach-punkten för en given inskriven eller omkrets (tretangent cirkel - på engelska "en tritangent cirkel") är skärningspunkten för 2 Simson-linjer , byggda för ändarna av diametern på den omslutna cirkeln som går genom motsvarande centrum av den inskrivna eller excircle. Således kan Feuerbach-punkterna konstrueras utan att använda motsvarande incirkel eller excirkel och Eulercirkeln som tangerar den [5] .

Konstruktion av en triangels excirkel

För att konstruera en triangels cirkel behöver du [6] :

Konstruera yttre hörn för hörnen i en triangel
Rita halvledarna för de konstruerade yttre vinklarna till skärningspunkten. Skärningspunkten för halvledarna kommer att vara mitten av cirkeln.
Konstruera cirkelns radie. För att göra detta, rita en vinkelrät från skärningspunkten för bisektorerna till fortsättningen av en av sidorna.
Rita en cirkel centrerad i skärningspunkten för bisektrarna och med en radie lika med längden på den konstruerade vinkelrät.

Excirkeln av en fyrhörning

Oomskriven fyrhörning

En oomskriven fyrhörning är en konvex fyrhörning vars förlängningar av alla fyra sidor tangerar cirkeln (utanför fyrhörningen) [7] . Cirkeln kallas excirkel . Mitten av cirkeln ligger i skärningspunkten mellan sex bisektrar.
Anmärkning . Inskriven , omskriven , samt excirkel kan ritas inte för varje fyrhörning. Om de motsatta sidorna av en konvex fyrhörning ABCD skär varandra i punkterna E och F , så är villkoret för att dess out-of-beskrivning är något av de två villkoren nedan:

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

Litteratur

Geometri enligt Kiselyov , §144.
Ponarin Ya. P. Elementär geometri. I 2 volymer - M . : MTSNMO , 2004. - S. 44-48. — ISBN 5-94057-170-0 .
Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. Ett villkor att en tangentiell fyrhörning också är en kordal // Mathematical Communications. - 2007. - Utgåva. 12 .

Anteckningar

↑ Pathan, Alex och Tony Collyer, "Area egenskaper hos trianglar återbesökt," Mathematical Gazette 89, november 2005, 495-497.
↑ Zetel S.I. Ny triangelgeometri. En guide för lärare. 2:a upplagan .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 137-138, s. 126, sats.
↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. Tritangentcentra. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkiverad 30 juni 2020 på Wayback Machine
↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §120. Sats (fig. 51). P.74-75// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkiverad 30 juni 2020 på Wayback Machine
↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Anmärkning. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkiverad 30 juni 2020 på Wayback Machine
↑ Excirklar. Byggnad . Matvoks. Encyclopedia of Mathematics . mathvox.ru. Hämtad 6 november 2018. Arkiverad från originalet 7 november 2018. (obestämd)
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , sid. 33-52.