Vinkelräthet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 maj 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Perpendicularitet (från lat. perpendicularis - bokstavligen lod) [1] - ett binärt förhållande mellan olika objekt ( vektorer , linjer , delrum , etc.).

Det finns en allmänt accepterad symbol för vinkelräthet: ⊥, föreslagen 1634 av den franske matematikern Pierre Erigon . Till exempel är vinkelräta linjer och skrivs som . $m$ $n$ $m\perp n$

På planet

Vinkelräta linjer i planet

Två räta linjer i ett plan kallas vinkelräta om de bildar 4 räta vinklar när de skär varandra .

Om en linje vinkelrät mot en linje som dras genom en punkt utanför linjen , säger de att det finns en vinkelrät fall från till . Om punkten ligger på linjen , då säger de att det finns en vinkelrät till återställd från till (den föråldrade termen återställd [2] ). $m$ $\aln$ $P$ $\aln$ $m$ $P$ $\aln$ $P$ $\aln$ $m$ $P$ $\aln$

I koordinater

I ett analytiskt uttryck, raka linjer givna av linjära funktioner

y=a\cdot x+b

och

y=k\cdot x+m

kommer att vara vinkelrät om följande villkor på deras backar är uppfyllt

a\cdot k=-1.

Konstruktion av en vinkelrät

Steg 1: Använd en kompass och rita en halvcirkel centrerad vid punkt P och få punkterna A och B.

Steg 2: Utan att ändra radien, konstruera två halvcirklar centrerade vid punkterna A respektive B som går genom punkt P. Förutom punkten P finns det en annan skärningspunkt för dessa halvcirklar, låt oss kalla den Q .

Steg 3: Anslut punkterna P och Q. PQ är vinkelrät mot linje AB .

Koordinaterna för baspunkten för vinkelrät mot linjen

Låt linjen ges av punkterna och . En vinkelrät sjunker från punkten till linjen . Då kan basen av vinkelrät hittas enligt följande. $A(x_a,y_a)$ $B(x_b,y_b)$ $P(x_p,y_p)$ $O(x_o,y_o)$

Om (vertikalt), då och . Om (horisontell), då och . $x_a = x_b$ $x_o = x_a$ $y_o = y_p$ $y_a = y_b$ $x_o = x_p$ $y_o = y_a$

I alla andra fall:

x_o = \frac{x_a\cdot(y_b-y_a)^2 +x_p\cdot(x_b-x_a)^2 + (x_b-x_a)\cdot(y_b-y_a)\cdot(y_p-y_a)}{(y_b -y_a)^2+(x_b-x_a)^2}

;

y_o = \frac{(x_b-x_a)\cdot(x_p-x_o)}{(y_b-y_a)}+y_p

I 3D-rymden

Vinkelräta linjer

Två linjer i rymden är vinkelräta mot varandra om de respektive är parallella med några andra två inbördes vinkelräta linjer som ligger i samma plan. Två linjer som ligger i samma plan kallas vinkelräta (eller ömsesidigt vinkelräta) om de bildar fyra räta vinklar.

En linjes vinkelräthet mot ett plan

Definition : En linje kallas vinkelrät mot ett plan om den är vinkelrät mot alla linjer som ligger i detta plan.

Tecken : Om en linje är vinkelrät mot två skärande linjer i ett plan, så är den vinkelrät mot detta plan.

Ett plan vinkelrätt mot en av två parallella linjer är också vinkelrätt mot den andra. Genom vilken punkt som helst i rymden går en rät linje vinkelrät mot ett givet plan, och dessutom bara en.

Vinkelräta plan

Två plan sägs vara vinkelräta om den dihedrala vinkeln mellan dem är 90°.

Om ett plan passerar genom en linje vinkelrät mot ett annat plan, så är dessa plan vinkelräta.
Om, från en punkt som hör till ett av två vinkelräta plan, en vinkelrät dras till det andra planet, så ligger denna vinkelrät helt i det första planet.
Om vi i ett av två vinkelräta plan ritar en vinkelrät mot deras skärningslinje, kommer denna vinkelrät att vara vinkelrät mot det andra planet.
Ett plan vinkelrätt mot två skärande plan är vinkelrätt mot deras skärningslinje [3] .

I flerdimensionella utrymmen

Vinkelräthet hos plan i 4-dimensionell rymd

Vinkelrätheten hos plan i fyrdimensionell rymd har två betydelser: plan kan vara vinkelräta i 3-dimensionell mening om de skär varandra i en rät linje (och därför ligger i samma hyperplan ), och den dihedrala vinkeln mellan dem är 90°.

Plan kan också vara vinkelräta i 4-dimensionell mening om de skär varandra i en punkt (och därför inte ligger i samma hyperplan), och alla två linjer som ritas i dessa plan genom deras skärningspunkt (varje linje i sitt eget plan) är vinkelrät.

I ett 4-dimensionellt rum kan exakt 2 ömsesidigt vinkelräta plan i 4-dimensionell mening dras genom en given punkt (därför kan det 4-dimensionella euklidiska rummet representeras som en kartesisk produkt av två plan). Om vi kombinerar båda typerna av vinkelräthet, är det genom denna punkt möjligt att rita 6 ömsesidigt vinkelräta plan (vinkelräta i något av de två ovan nämnda värdena).

Existensen av sex inbördes vinkelräta plan kan förklaras med följande exempel. Låt systemet med kartesiska koordinater x yzt ges . För varje par av koordinatlinjer finns det ett plan som inkluderar dessa två linjer. Antalet sådana par är : xy , xz , xt , yz , yt , zt , och de motsvarar 6 plan. De av dessa plan som inkluderar axeln med samma namn är vinkelräta i 3-dimensionell mening och skär i en rät linje (till exempel xy och xz , yz och zt ), och de som inte inkluderar axlarna för samma namn är vinkelräta i 4-dimensionell mening och skär varandra i punkt (till exempel xy och zt , yz och xt ). $\tbinom{4}{2}=6$

Vinkelräthet för en linje och ett hyperplan

Låt ett n-dimensionellt euklidiskt utrymme (n>2) och det vektorutrymme som är associerat med det ges , och linjen l med det vägledande vektorutrymmet och hyperplanet med det vägledande vektorrummet (där , ) hör till rummet . $\mathbb {R} ^{n}$ $W^n$ $L^1$ $\Pi_{k}$ $L^{k}$ $L_1\delmängd W^n$ $L^k \delmängd W^n,\ k < n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Linjen l kallas vinkelrät mot hyperplanet om delrummet är ortogonalt mot delrummet , dvs. $\Pi_{k}$ $L_{1}$ $L^{k}$ $(\forall \vec a \in L_1)\ (\forall \vec b \in L_k)\ \vec a \vec b=0$

Variationer och generaliseringar

I teorin om inversion introduceras: en cirkel eller en rät linje, vinkelrät mot cirkeln . $\Gamma$
I teorin om cirklar och inversion sägs två cirklar som skär varandra i räta vinklar vara ortogonala ( vinkelräta ). Cirklar kan betraktas som ortogonala om de bildar en rät vinkel med varandra. Vanligtvis är vinkeln mellan kurvorna vinkeln mellan deras tangenter ritade vid skärningspunkten.
I inversionsteorin är en linje vinkelrät mot en cirkel om den passerar genom mitten av den senare. $\Gamma$

Se även

Anteckningar

↑ Ordbok över främmande ord. - M .: " Ryskt språk ", 1989. - 624 sid. ISBN 5-200-00408-8
↑ A. P. Kiselev . Elementär geometri / redigerad av N. A. Glagolev . — 1938.
↑ Alexandrov A.D. , Werner A.L., Ryzhik V.I. Stereometri. Geometri i rymden . - Visaginas: Alfa, 1998. - S. 46 . — 576 sid. - (Studentbibliotek). — ISBN 9986582539 .