Harmonisk fyra

En harmonisk fyrdubbling av punkter är en fyrdubbling av punkter på en projektiv linje vars dubbla förhållande är . I det här fallet säger de också att punkterna och är harmoniskt konjugerade med avseende på och skriva . $(ABCD)=-1$ $C$ $D$ $A,B$ $H(AB,CD)$

En harmonisk fyrdubbling av linjer är en fyrdubbling av linjer i det projektiva planet som passerar genom en punkt för vilken varje fyrdubbling av punkter som ligger på en linje är harmonisk. Skriv i det här fallet . $a,b,c,d$ $S$ $A,B,C,D$ $A\in a,B\in b,C\in c,D\in d$ $H(ab,cd)$

Egenskaper

Om en harmonisk fyra av linjer skärs av en rät linje, så bildas en harmonisk fyra av punkter på denna linje.
På varje sida av en komplett fyra vertex finns en harmonisk fyra av punkter.[ förtydliga ]
På varje diagonal i en komplett fyra-vertex finns en harmonisk fyra av punkter.[ förtydliga ]
Den harmoniska kvaden av punkter på det komplexa planet ligger på samma linje eller cirkel, och tangentparen vid motsatta punkter är samtidiga med diagonalen.

Byggnad

För vilka tre punkter som helst som ligger på samma räta linje, med hjälp av de harmoniska egenskaperna för en komplett fyra vertex, kan du konstruera en fjärde punkt så att du får en harmonisk fyra punkter.
I figuren ovan, skärningspunkterna för två par av motsatta sidor ML och KN , MK och LN för den kompletta fyrhörningen MLNK (respektive de två första punkterna A och B på linjen), samt punkterna D och C för skärningen av diagonalerna LK respektive MN med denna linje (linje AC ), som går genom dessa punkter, bildar en harmonisk fyra punkter A, B, C, D .
Konstruktionen av den sista punkten (se även figuren) är helt duplicerad av följande sats [1] : För en punkt K , Ceva-linjen (till exempel LD ) för triangeln ALB och linjen MN , som förbinder baserna M och N av två andra Ceva-linjer AN och BM , dela den motsatta sidan AB harmoniskt .

Ett exempel på en harmonisk quad av punkter

Halsledarna för de inre och yttre vinklarna vid en av triangelns hörn skär sidan mittemot denna vertex och följaktligen dess fortsättning vid två punkter, som tillsammans med de två ändarna av denna sida bildar en harmonisk fyra av punkter [2 ] .
En punkt som harmoniskt är konjugerad till mitten av en sida av en triangel är på förlängningen av denna sida till oändlighet [3] .

Den harmoniska fyrdubblingen på det utökade euklidiska planet

Om punkten är felaktig , då är fyrdubblingen harmonisk, om det är mittpunkten av segmentet . ${\displaystyle D_{\infty ))$ ${\displaystyle A,B,C,D_{\infty ))$ $C$ $AB$
Om det är en fullständig fyrkant och dess diagonala punkter är felaktiga, så är det ett parallellogram på det utsträckta euklidiska planet , och av dess harmoniska egenskaper följer att skärningspunkten för dess diagonaler halverar dem. $ABCD$ ${\displaystyle P_{\infty },Q_{\infty ))$ $ABCD$
Om - en komplett fyra-vertex, som har en diagonal punkt - olämplig, då på det utökade euklidiska planet - en trapets, och av dess harmoniska egenskaper följer att halverar . $ABCD$ $R_{\infty }=BC\cap AD$ $P=AB\cap CD,Q=AC\cap BD$ $ABCD$ $PQ$ $AD$

Anteckningar

↑ Zetel S. I. Ny geometri för en triangel. En guide för lärare. 2:a upplagan. Moskva: Uchpedgiz, 1962. Sats på sid. 46, 31 §.
↑ Zetel S. I. Ny geometri för en triangel. En guide för lärare. 2:a upplagan. Moskva: Uchpedgiz, 1962. Sats på sid. 46, 30 §.
↑ Zetel S. I. Ny geometri för en triangel. En guide för lärare. 2:a upplagan. M.: Uchpedgiz, 1962. Problem på sid. 46, 30 §.

Litteratur

Bazylev, Dunichev, Ivanitskaya. Geometri, del 2. - M . : Education, 1975.

Efimov N. V. Högre geometri. - 6:e upplagan - M. , 1978.

Pevzner S.L. Projektiv geometri. - M . : Utbildning, 1980.

Postnikov M. M. Analytisk geometri. — 1973.

H.S.M. Coxeter. Riktigt projektivt plan / ed. prof. A. A. Glagoleva. - M. , 1959.