Triangel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 8 januari 2022; kontroller kräver 35 redigeringar .

Triangel

revben	3
Schläfli symbol	{3}
Mediafiler på Wikimedia Commons

En triangel (i det euklidiska utrymmet ) är en geometrisk figur som bildas av tre segment som förbinder tre punkter som inte ligger på en rak linje . Dessa tre punkter kallas triangelns hörn , och segmenten kallas triangelns sidor . Den del av planet som avgränsas av sidorna kallas triangelns inre : ofta betraktas triangeln tillsammans med dess inre (till exempel för att definiera begreppet area) [1] .

Sidorna i en triangel bildar tre vinklar i en triangels hörn , så en triangel kan också definieras som en polygon som har exakt tre vinklar [2] , d.v.s. som en del av ett plan som begränsas av tre segment som förbinder tre punkter som inte ligger på en rät linje. Triangeln är en av de viktigaste geometriska figurerna som ofta används inom vetenskap och teknik, så studiet av dess egenskaper har utförts sedan antiken.

Begreppet en triangel medger olika generaliseringar. Du kan definiera det här begreppet i icke-euklidisk geometri (till exempel på en sfär ): på sådana ytor definieras en triangel som tre punkter förbundna med geodetik . I dimensionell geometri är analogen av en triangel den -th dimensionella simplexen . $n$ $n$

Ibland övervägs en degenererad triangel, vars tre hörn ligger på samma räta linje. Om inget annat anges antas triangeln i denna artikel vara icke-degenererad.

Grundläggande element i triangeln

Vertices, sidor, hörn

Traditionellt indikeras hörnen i en triangel med versaler i det latinska alfabetet: , och sidorna mittemot dem - med samma gemener (se figur). En triangel med hörn , och betecknas som . Sidor kan också betecknas med bokstäverna i deras avgränsande hörn: , , . $A,B,C$ $A$ $B$ $C$ $\Delta ABC$ $AB=c$ $BC=a$ $CA=b$

Triangeln har följande vinklar: $\Delta ABC$

vinkel - vinkeln som bildas av sidorna och och mittemot sidan ; $\vinkel A=\vinkel BAC$ $AB$ $AC$ $före Kristus$
vinkel - vinkeln som bildas av sidorna och och mittemot sidan ; $\vinkel B=\vinkel ABC$ $AB$ $före Kristus$ $AC$
vinkel - vinkeln som bildas av sidorna och och mittemot sidan . $\vinkel C=\vinkel ACB$ $före Kristus$ $AC$ $AB$

Värdena på vinklarna vid motsvarande hörn betecknas traditionellt med grekiska bokstäver ( , , ). $\alfa$ $\beta$ $\gamma$

Den yttre vinkeln för en platt triangel vid en given vertex är vinkeln intill triangelns inre vinkel vid denna vertex (se figur). Om den inre vinkeln vid en given vertex av en triangel bildas av två sidor som kommer ut från en given vertex, så bildas den yttre vinkeln av en triangel av en sida som kommer ut från en given vertex och fortsättningen av den andra sidan som kommer ut från densamma vertex. Det yttre hörnet kan ta värden från till . $DCA$ $ABC$ $C$ $ACB$ $0$ $180^{\cirkel }$

Omkretsen av en triangel är summan av längderna av dess tre sidor, och hälften av detta värde kallas semiperimeter .

Klassificering av trianglar

Efter storleken på vinklarna

Eftersom i euklidisk geometri summan av vinklarna i en triangel är , då måste minst två vinklar i triangeln vara spetsig (mindre än ). Det finns följande typer av trianglar [2] . $180^{\cirkel }$ $90^{\cirkel }$

Om alla vinklar i en triangel är spetsiga, kallas triangeln spetsig .
Om en av vinklarna i triangeln är rak (lika ), kallas triangeln rätvinklig . De två sidorna som bildar en rät vinkel kallas benen , och sidan mitt emot den räta vinkeln kallas hypotenusan . $90^{\cirkel }$
Om en av triangelns vinklar är trubbig (större än ) kallas triangeln trubbig . De återstående två vinklarna är uppenbarligen spetsiga (det kan inte finnas trianglar med två trubbiga eller räta vinklar). $90^{\cirkel }$

Med antalet lika sidor

En triangel kallas scalene om alla tre sidorna inte är lika.
En likbent triangel är en där två sidor är lika. Dessa sidor kallas sida , den tredje sidan kallas bas . I en likbent triangel är vinklarna vid basen lika stora.
En liksidig eller rätvinklig triangel kallas, där alla tre sidor är lika. I en liksidig triangel är alla vinklar lika med 60 °, och mitten av de inskrivna och omskrivna cirklarna sammanfaller . En liksidig triangel är ett specialfall av en likbent triangel.

Medianer, höjder, bisektorer

Medianen för en triangel ritad från en given vertex är segmentet som förbinder denna vertex till mittpunkten på den motsatta sidan (basen av medianen). Alla tre medianerna i en triangel skär varandra vid en punkt. Denna skärningspunkt kallas triangelns tyngdpunkt eller tyngdpunkt. Efternamnet beror på det faktum att en triangel gjord av ett homogent material har en tyngdpunkt i skärningspunkten för medianerna. Centroiden delar varje median 1:2 från basen av medianen. En triangel med hörn i mittpunkten av medianerna kallas mediantriangel . Baserna för medianerna i en given triangel bildar den så kallade komplementära triangeln . Längden på medianensänkt åt sidankan hittas av formlerna: $m_{c},$ $c,$

m_{c}={1 \over 2}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }};

liknande för andra medianer.

Höjd i trianglar av olika slag
Höjderna skär varandra vid ortocentret

Höjden på en triangel som dras från en given vertex kallas den vinkelräta som faller från denna vertex till den motsatta sidan eller dess fortsättning. De tre höjderna i en triangel skär varandra vid en punkt, som kallas triangelns ortocentrum . En triangel med hörn i höjdernas baser kallas en ortotriangel .

Längden på höjden sänkt åt sidan kan hittas av formlerna: $h_{c}$ $c$

h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta =c\,{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )))

; liknande för andra höjder.

Längderna på höjderna sänkta åt sidorna. kan också hittas med hjälp av formlerna: [3] :s.64

h_{c}={\frac {ab}{2R)),\quad h_{a}={\frac {bc}{2R)),\quad h_{b}={\frac {ca} {2R}}

Bisektrisen ( bisektris ) av en triangel som ritas från en given vertex är ett segment som förbinder denna vertex med en punkt på motsatt sida och delar vinkeln vid den givna vertexen på mitten. En triangels halvled skär varandra i en punkt, och den punkten är densamma som mitten av den inskrivna cirkeln ( incenter ).

Om triangeln är skalenlig (inte likbent), så ligger bisektrisen från någon av dess hörn mellan medianen och höjden från samma vertex. En annan viktig egenskap hos bisektrisen: den delar den motsatta sidan i delar som är proportionella mot sidorna intill den [4] .

Längden på bisektrisen sänkt åt sidan kan hittas av en av formlerna: $l_{c}$ $c$

l_{c}={\frac {\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}}{a+b}}={\frac {2{\sqrt {abp(pc) }}}{a+b}}

, var är halvperimetern för .

sid

l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}={\frac {c\,\sin \alpha \cdot \sin \ beta }{\sin(\alpha +\beta )\cdot \cos {\frac {\alpha -\beta }{2))))

l_{c}={\frac {h_{c)){\cos {\frac {\alpha -\beta}{2))))

; här är höjden.

h_{c}

Höjden, medianen och bisektrisen för en likbent triangel, sänkt till basen, är desamma. Det omvända är också sant: om bisektrisen, medianen och höjden från en vertex är desamma, så är triangeln likbent.

Omskrivna och inskrivna cirklar

Den omskrivna cirkeln (se figuren till höger) är en cirkel som går genom triangelns alla tre hörn. Den omskrivna cirkeln är alltid unik, dess centrum sammanfaller med skärningspunkten för vinkelräta sidor mot triangelns sidor, ritade genom sidornas mittpunkter. I en trubbig triangel ligger detta centrum utanför triangeln [4] .

Den inskrivna cirkeln (se figuren till höger) är en cirkel som tangerar alla tre sidorna av triangeln. Hon är den enda. Mitten av den inskrivna cirkeln kallas incenter , den sammanfaller med skärningspunkten för triangelns bisektrar.

Följande formler låter dig beräkna radierna för de omskrivna och inskrivna cirklarna. $R$ $r$

r={S \over p},

var är arean av triangeln och är dess semiperimeter .

S

sid

{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))))

R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}

R={\frac {abc}{4S}}={\frac {abc}{4{\sqrt {p(pa)(pb)(pc))))))

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_ {c}}}

var är radierna för motsvarande cirklar ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c))$

Ytterligare två användbara förhållanden:

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[5]

2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}

Det finns också Carnot-formeln [6] :

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C})

där , , är avstånden från centrum av den omskrivna cirkeln , respektive till sidorna , , av triangeln, , , är avstånden från ortocentrum , respektive till hörnen , , av triangeln. ${\displaystyle k_{a))$ ${\displaystyle k_{b))$ ${\displaystyle k_{c))$ $a$ $b$ $c$ $d_{A}$ $d_{B}$ $d_{C}$ $A$ $B$ $C$

Avståndet från mitten av den omskrivna cirkeln , till exempel, till sidan av triangeln är: $a$

k_{a}=a/(2\operatörsnamn {tg} A)

;

avståndet från till exempel ortocentrum till triangelns vertex är: $A$

d_{A}=a/\operatörsnamn {tg} A

Tecken på lika trianglar

En triangel på det euklidiska planet kan definieras unikt (upp till kongruens ) av följande tripletter av grundelement: [7]

$a$ , , (likhet på två sidor och vinkeln mellan dem); $b$ $\gamma$
$a$ , , (likhet i sida och två angränsande vinklar); $\beta$ $\gamma$
$a$ , , (jämlikhet på tre sidor). $b$ $c$

Tecken på likhet i räta trianglar:

längs benet och hypotenusan;
på två ben;
längs benet och spetsig vinkel;
hypotenusa och spetsig vinkel.

Ytterligare funktion: trianglar är lika om de har två sidor och en vinkel motsatt den större av dessa sidor [8] .

I sfärisk geometri och i Lobatsjovskijs geometri finns ett tecken på att trianglar är lika i tre vinklar.

Tecken på likhet mellan trianglar

Grundläggande egenskaper för triangelelement

Hörnegenskaper

I vilken triangel som helst ligger en större vinkel mittemot den större sidan och vice versa. Lika vinklar ligger mot lika sidor [8] .

Varje yttre vinkel i en triangel är lika med skillnaden mellan 180° och motsvarande inre vinkel. För en yttre vinkel gäller även triangelns yttre vinkelsats : en yttre vinkel är lika med summan av två andra inre vinklar som inte ligger intill den [8] .

Triangelolikheten

I en icke-degenererad triangel är summan av längderna av dess två sidor större än längden på den tredje sidan, i en degenererad är den lika. Med andra ord är längderna på sidorna i en icke-degenererad triangel relaterade av följande olikheter:

a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b

Ytterligare egenskap: varje sida av triangeln är större än skillnaden mellan de två andra sidorna [8] .

Triangelsummesats

Summan av de inre vinklarna i en triangel är alltid 180°:

\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }

I Lobachevsky-geometrin är summan av vinklarna i en triangel alltid mindre än 180°, medan den på en sfär alltid är större.

Sinussatsen

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R

var är radien på cirkeln omskriven runt triangeln. $R$

Cosinussatsen

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,\quad b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta ,\quad a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

Det är en generalisering av Pythagoras sats .

Anmärkning . cosinussatsen kallas också för följande två formler, lätt härledda från huvudcosinussatsen (se s. 51, f. (1.11-2)) [9] .

a^{2}=(b+c)^{2}-4bc\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2)),\quad a^{2}=(bc)^ {2}+4bc\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2))

Projektionssatsen

Källa: [10] .

c=a\cos \beta +b\cos \alpha ,\quad a=b\cos \gamma +c\cos \beta ,\quad b=c\cos \alpha +a\cos \gamma

Tangentsats

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {\operatörsnamn {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\operatörsnamn {tg } [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}});{\frac {bc}{b+c}}={\frac {\operatörsnamn {tg} [{\frac { 1}{2}}(\beta -\gamma )]}{\operatörsnamn {tg} [{\frac {1}{2}}(\beta +\gamma )]}});{\frac {ac }{ a+c))={\frac {\operatörsnamn {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\gamma )]}{\operatörsnamn {tg} [{\frac {1} {2 }}(\alpha +\gamma )]}}.

Ett annat namn: Regiomontanus formula .

Cotangenssats

{\frac {pa}{\operatörsnamn {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {pb}{\operatörsnamn {ctg} (\beta /2)))={\frac {st }{\operatörsnamn {ctg} (\gamma /2)}}=r

Mollweides formler

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {AB}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}}},\ quad {\frac {ab}{c}}={\frac {\sin {\frac {AB}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}

Lösa trianglar

Beräkningen av okända sidor, vinklar och andra egenskaper hos en triangel från kända har historiskt kallats " triangellösning ". Detta använder ovanstående allmänna trigonometriska satser, såväl som tecken på likhet och likhet med trianglar .

Arean av en triangel

Därefter använder vi notationen

$\ h_{a},h_{b},h_{c}$ - höjder dragna åt sidorna , $\ a,b,c$
$\m$ - median från spetsen av vinkeln med sidor $\a,b,$
$p={\frac {a+b+c}{2}}$ - semi-perimeter,
$\ p_{m}={\frac {a+b+2m}{2))$ ,
$\r$ är radien för den inskrivna cirkeln ,
${\displaystyle \ r_{a},r_{b},r_{c))$ är radierna för excirkeln som tangerar sidorna , $\ a,b,c$
${\displaystyle \ r_{a},r_{b},r_{c))$
$\R$ är radien för den omskrivna cirkeln .

Arean av en triangel är relaterad till dess huvudelement genom följande relationer.

$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bh_{b}$
$S_{\triangel ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$
$S_{\triangel ABC}={\frac {abc}{4R))$
$S_{\triangel ABC}={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)}}={1 \över 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+ca)(a+cb )(a+bc)}}$ - Herons formel
${\displaystyle S_{\triangle ABC}=(pb)r_{b))$ [elva]
$S_{\triangle ABC}={\sqrt {p_{m}(p_{m}-a)(p_{m}-b)(p_{m}-2m)))$

${\displaystyle S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c))))$ [12]
$S_{\triangel ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }$
$S_{\triangle ABC}={\frac {c^{2}}{2(\operatörsnamn {ctg} \alpha +\operatörsnamn {ctg} \beta )))$
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {CA}}\wedge {\overrightarrow {CB}})={\frac {1}{2}}( x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{C})-{\frac {1}{2}}(x_{B}-x_{C})(y_{A}-y_ {C})$ är det orienterade området av triangeln.
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{\displaystyle {\sqrt {\left({\frac {1}{h_{a))}+{\frac {1}{h_{b ))}+{\frac {1}{h_{c}}}\right)\left({\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{b}}} -{\frac {1}{h_{a}}}\right)\left({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\ frac {1}{h_{b}}}\right)\left({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1 }{h_{c}}}\right)}}}}}$ - se Analoger av Herons formel
$S_{\triangle ABC}=r^{2}\operatörsnamn {ctg} ({\frac {\alpha }{2)))\operatörsnamn {ctg} ({\frac {\beta }{2)) )\operatörsnamn {ctg} ({\frac {\gamma }{2)))$

Speciella fall

$S_{\triangel ABC}={\frac {ab}{2))$ - för en rätvinklig triangel
$S={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ - för en liksidig triangel

Andra formler

Det finns andra formler, som [13]

S={\frac {\operatörsnamn {tg} \alpha }{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})

för hörn . ${\displaystyle \alpha \neq 90^{\circ ))$

År 1885 föreslog Baker [14] en lista med över hundra formler för arean av en triangel. Det inkluderar särskilt:

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c))))

S={\frac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}}

S={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})))

S={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}

Ojämlikheter för arean av en triangel

Följande ojämlikheter gäller för området:

${\sqrt {27}}r^{2}\leqslant S\leqslant {\frac {\sqrt {27}}{4}}R^{2}$ , och båda jämlikheterna uppnås.
$S\leqslant {\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2})$ , där likhet uppnås för en likbent rätvinklig triangel.
Arean av en triangel med omkrets mindre än eller lika med . Jämlikhet uppnås om och endast om triangeln är liksidig ( regelbunden triangel ) [15] [16] :657 . $sid$ $p^{2}/(12{\sqrt {3)))$
Andra gränser för området ges av formlerna [17] :s.290 $S$

4{\sqrt {3}}S\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}

och ,

4{\sqrt {3}}S\leqslant {\frac {9abc}{a+b+c}}

där i båda fallen jämlikhet uppnås om och endast om triangeln är liksidig (regelbunden).

Studiens historia

Egenskaperna hos en triangel som studerats i skolan, med sällsynta undantag, har varit kända sedan tidig antiken. Början av trigonometrisk kunskap kan hittas i de matematiska manuskripten från det antika Egypten , Babylon och det forntida Kina . Den huvudsakliga bedriften av denna period var förhållandet, som senare fick namnet på Pythagoras sats ; Van der Waerden tror att babylonierna upptäckte det mellan 2000 och 1786 f.Kr. e. [arton]

En allmän och ganska komplett teori om trianglars geometri (både platta och sfäriska ) dök upp i antikens Grekland [19] . I synnerhet i den andra boken " Begynnelser " är Euklids sats 12 en verbal analog till cosinussatsen för trubbiga trianglar [20] . Sats 13 efter det är en variant av cosinussatsen för spetsiga trianglar . Egenskaperna för elementen i trianglar (vinklar, sidor, bisektorer, etc.) efter Euklid behandlades av Arkimedes , Menelaos , Claudius Ptolemaios , Pappus av Alexandria [21] .

Under IV-talet, efter nedgången av antik vetenskap, flyttade centrum för utveckling av matematik till Indien. Indiska matematikers ( siddhantas ) skrifter visar att deras författare var väl förtrogna med grekiska astronomers och geometrars verk [22] . Indianerna var lite intresserade av ren geometri, men deras bidrag till tillämpad astronomi och beräkningsaspekterna av trigonometri är mycket betydande.

På 800-talet bekantade sig forskare från länderna i Nära och Mellanöstern med verk av antika grekiska och indiska matematiker och astronomer. Deras astronomiska avhandlingar, analoga med de indiska siddhantas, kallades " ziji "; en typisk zij var en samling av astronomiska och trigonometriska tabeller, försedda med en guide till deras användning och (inte alltid) en sammanfattning av den allmänna teorin [23] . Jämförelse av zijs från perioden 8-13-talen visar den snabba utvecklingen av trigonometrisk kunskap. De tidigaste bevarade verken tillhör al-Khwarizmi och al-Marvazi (800-talet).

Thabit ibn Qurra (800-talet) och al-Battani (900-talet) var de första som upptäckte den grundläggande sinussatsen för specialfallet med en rätvinklig sfärisk triangel . För en godtycklig sfärisk triangel hittades beviset (på olika sätt och förmodligen oberoende av varandra) av Abu-l-Vafa , al-Khujandi och ibn Irak i slutet av 900-talet [24] . I en annan avhandling formulerade och bevisade ibn Irak sinussatsen för en platt triangel [25] .

Den grundläggande presentationen av trigonometri (både platt och sfärisk) gavs av den persiske matematikern och astronomen Nasir ad-Din at-Tusi 1260 [26] . Hans "Treatise on the complete quadripartite" innehåller praktiska metoder för att lösa typiska problem, inklusive de svåraste, lösta av at-Tusi själv [27] . Sålunda, i slutet av 1200-talet, upptäcktes de grundläggande satser som var nödvändiga för praktiskt arbete med trianglar.

I Europa blev utvecklingen av trigonometrisk teori extremt viktig i modern tid, främst för artilleri , optik och navigering på långväga havsresor. År 1551 dök 15-siffriga trigonometriska tabeller av Rheticus , en elev av Copernicus , upp med ett steg på 10 " [28] . Behovet av komplexa trigonometriska beräkningar orsakade upptäckten av logaritmer i början av 1600-talet , och John Napiers första logaritmiska tabeller innehöll endast logaritmerna för trigonometriska funktioner.

Studiet av triangeln fortsatte på 1600-talet: Desargues teorem (1636) bevisades, Torricelli-punkten upptäcktes (1640) och dess egenskaper studerades. Giovanni Ceva bevisade sin transversala teorem (1678). Leibniz visade hur man beräknar avståndet från en triangels tyngdpunkt till dess andra anmärkningsvärda punkter [21] . På 1700-talet upptäcktes Eulerlinjen och cirkeln med sex punkter (1765).

I början av 1800-talet upptäcktes Gergonne-punkten . År 1828 bevisades Feuerbachs teorem . I slutet av 1800-talet tillhör Emile Lemoines , Henri Brocards , Joseph Neubergs verk . Cirkeln med nio punkter utforskades av Poncelet , Brianchon och Steiner . Tidigare okända geometriska samband och bilder upptäcktes - till exempel Brocard-cirkeln , Steiner- och Tarry- punkter . År 1860 bevisade Schlömilch ett teorem: tre linjer som förbinder mittpunkterna på sidorna av en triangel med mittpunkterna på dess respektive höjder skär varandra vid en punkt. År 1937 visade den sovjetiske matematikern S. I. Zetel att denna sats inte bara gäller för höjder, utan också för alla andra cevianer . Studierna av de ovan listade geometrarna gjorde triangelns geometri till en oberoende gren av matematiken [29] .

Ett betydande bidrag till triangelns geometri gjordes i slutet av 1800-talet och början av 1900-talet av Frank Morley . Han bevisade att platsen för centrum av kardioiden inskriven i en triangel består av nio raka linjer, som, tagna i tre, är parallella med de tre sidorna av en liksidig triangel. Dessutom är de 27 punkterna där dessa nio linjer skär skärningspunkterna för två trisektorer i triangeln som hör till samma sida av triangeln. Det mest kända är ett specialfall av detta teorem: de inre trisektorerna av vinklarna i en triangel som gränsar till samma sida skär parvis vid tre hörn av en liksidig triangel. En generalisering av dessa verk publicerades av Henri Lebesgue (1940), han introducerade -sektorerna i en triangel och studerade deras placering i en allmän form [30] . $n$

Från 1830 -talet trilinjära punktkoordinater blev allmänt använda i triangelgeometri . Teorin om transformationer utvecklades aktivt - projektiv , isogonal , isotom och andra. Idén att överväga problemen med teorin om trianglar på det komplexa planet visade sig vara användbar . [29] .

Ytterligare information

Alla fakta i detta avsnitt hänvisar till euklidisk geometri .

Linjesegmentet som förbinder en vertex till en punkt på motsatt sida kallas en ceviana . Vanligtvis förstås en cevian inte som ett sådant segment, utan som ett av tre sådana segment som dras från tre olika hörn i en triangel och som skär varandra vid en punkt . De uppfyller villkoren för Cevas sats . Cevians som förbinder spetsen av en triangel med punkter på motsatt sida, åtskilda i ett givet förhållande från dess ändar, kallas nedians . ${\frac {1}{n}}$
Mittlinjen i en triangel är linjesegmentet som förbinder mittpunkterna på triangelns två sidor. De tre medianlinjerna i en triangel delar upp den i fyra lika stora trianglar, 4 gånger mindre i area än den ursprungliga triangelns area.
De vinkelräta bisektrarna (mediatriserna) till sidorna av triangeln skär också vid en punkt, som sammanfaller med mitten av den omskrivna cirkeln .
Cevianer som ligger på linjer som är symmetriska till medianerna med avseende på bisektrarna kallas symmedianer . De passerar genom en punkt - Lemoine-punkten .
Cevianer som ligger på linjer som konjugerar isotomiskt till bisektorerna med avseende på baserna av medianerna kallas antibisektorer . De passerar genom en punkt - mitten av antibisektorer .
En triangels fock är ett segment, vars ena spets är i mitten av en av triangelns sidor, den andra spetsen är på en av de två återstående sidorna, medan focken delar omkretsen på mitten.

Vissa punkter i triangeln är "parade". Till exempel finns det två punkter från vilka alla sidor är synliga antingen i en vinkel på 60° eller i en vinkel på 120°. De kallas Torricelli-punkter . Det finns också två punkter vars projektioner på sidorna ligger i hörnen på en regelbunden triangel. Detta är Apollonius poäng . Poäng och sådant kallas Brokars poäng . $P$ $F$ $\angle ABP=\angle BCP=\angle CAP$ $\angle BAP=\angle CBP=\angle ACP$

Några underbara raka trianglar

I vilken triangel som helst ligger tyngdpunkten , ortocentret , mitten av den omskrivna cirkeln och Eulercirkelns mitt på samma räta linje, kallad Euler-linjen .
I vilken triangel som helst, ligger tyngdpunkten , mitten av cirkeln inskriven i den ( mitten ), dess Nagelpunkt och cirkelns mittpunkt inskriven i den komplementära triangeln (eller Spiekers centrum) på samma räta linje, kallas den andra Euler-linjen (Nagel-linjen) $A'B'C'$
Den räta linjen som går genom mitten av den omskrivna cirkeln och Lemoine-punkten kallas Brocards axel . Apollonius-punkter ligger på den .
Torricelli-punkterna och Lemoine-punkten ligger också på samma raka linje .
Om vi tar en punkt på en triangels omslutande cirkel, kommer dess projektioner på triangelns sidor att ligga på en rät linje, kallad Simson-linjen för den givna punkten. Simsons linjer med diametralt motsatta punkter i den omskrivna cirkeln är vinkelräta.

Trilinjära triangelpolärer

Den trilinjära polaren för en punkt (pol) med avseende på en icke-degenererad triangel är en rät linje som definieras av följande konstruktion. Om vi fortsätter sidorna av den ceviantriangeln för någon punkt och tar deras skärningspunkter med motsvarande sidor, kommer de resulterande skärningspunkterna att ligga på en rät linje, kallad startpunktens trilinjära polar (figuren visar konstruktionen av trilinjär polar av den röda punkten ). $P$ $EDF$ $Y$
Centroidens trilinjära pol är den räta linjen i oändligheten - (se fig.)

Lemoine - punktens trilinjära pol är Lemoine- axeln (se fig.)

Alla tre baser och tre yttre bisectors, respektive , och de yttre vinklarna av triangeln ligger på en rät linje, kallad axeln för externa bisectors eller den antiortiska axeln (se figur). Denna axel är också den trilinjära polar av incirkelns centrum ( incenter ). $D$ $E$ $F$ $AD$ $CE$ $BF$ $ABC$ $DEF$

Orthic axel - trilinjär polär av ortocenter (se fig.) $DEF$
De trilinjära polarna av pekar som ligger på den omskrivna koniska skärningen vid en punkt (för den omskrivna cirkeln är detta Lemoine-punkten , för den omskrivna Steiner-ellipsen är det tyngdpunkten ).

Inskrivna och omskrivna figurer för en triangel

Transformationer

3 typer av transformationer beskrivs nedan: 1) Isogonal konjugation, 2) Isotomisk konjugering, 3) Isocialär transformation.

Isogonal konjugation

Om linjerna som går genom hörnen och någon punkt som inte ligger på sidorna och deras förlängningar reflekteras med avseende på motsvarande bisektrar, kommer deras bilder också att skära varandra i en punkt, som kallas den isogonalt konjugerade initiala (om punkt lägg på den omskrivna cirkeln, då blir de resulterande linjerna parallella ).
Många par av anmärkningsvärda punkter är isogonalt konjugerade :
- Centrum för den omskrivna cirkeln och ortocentrum (skärningspunkten för höjderna),
- Centroid (skärningspunkt för medianer ) och Lemoine point (skärningspunkt för simedianer ),
- Mitten av de nio pekar och Kosnita-punkten i triangeln som är associerad med Kosnita-satsen [31] ;
- Två Brocard-poäng ;
- Apollonius poäng och Torricelli poäng .
Gergonne-punkten och mitten av den negativa homoteten av de inskrivna och omskrivna cirklarna.
Nagels punkt och mitten av den positiva homoteten av incircle och circumcircle ( Verrier point ).
De omskrivna cirklarna av subdermala trianglar med isogonalt konjugerade punkter sammanfaller.
Fokus för de inskrivna ellipserna är isogonalt konjugerade.
En isogonal konjugation har exakt fyra fasta punkter (det vill säga punkter som är konjugerade till sig själva): mitten av den inskrivna cirkeln och mitten av triangelns excirklar [32] .
Om vi för någon inre punkt i en triangel konstruerar tre punkter som är symmetriska till den med avseende på sidorna, och sedan ritar en cirkel genom de tre sista, då är dess centrum isogonalt konjugerat med startpunkten [33] .

Isogonala konjugationer av triangellinjer

Under verkan av isogonal konjugation går linjer in i omskrivna koner och omskrivna koner till raka linjer.
Så, isogonalt konjugera:
- Kiepert-hyperbeln och Brocards axel ,
- Enzhabeks hyperbel och Eulers linje ,
- Feuerbach-hyperbolen och centrumlinjen för de inskrivna och omskrivna cirklarna.
Vissa välkända kuber - till exempel Thomson-kuben - är isogonalt självadjoint i den meningen att när alla deras punkter i en triangel är isogonalt konjugerade, erhålls kuber igen.

Isotomy konjugation

Om vi istället för en symmetrisk cevian tar en cevian vars bas är så långt från mitten av sidan som basen på den ursprungliga, kommer sådana cevianer också att skära varandra vid en punkt. Den resulterande transformationen kallas isotomisk konjugation . Den kartlägger också linjer till omskrivna koner .

Följande punkter är isotomiskt konjugerade :
- Gergonne och Nagel pekar ,
- skärningspunkten för halvledarna ( i mitten ) och skärningspunkten för halvledarna ,
- Lemoine- punkten (skärningspunkten för symmedianerna) i en triangel är isotomiskt konjugerad med dess Brocard-punkt ,
- Centroiden (skärningspunkten för medianerna) är isotomiskt konjugerad till sig själv.

Under affina transformationer övergår isotomiskt konjugerade punkter till isotomiskt konjugerade. Med isotomikonjugering kommer den beskrivna Steinerellipsen att gå till linjen i oändligheten .

Sammansättning av en isogonal (eller isotomisk ) konjugation och en trilinjär polär

Sammansättningen av en isogonal (eller isotomisk ) konjugation och en trilinjär polär är en dualitetsomvandling . Detta betyder att om punkten isogonalt ( isotomiskt ) konjugerat med punkten ligger på punktens trilinjära polär , så ligger den trilinjära polären av punkten isogonalt ( isotomiskt ) konjugerat till punkten på punktens trilinjära polar . $X$ $Y$ $Y$ $X$
Punktens trilinjära polar är isogonalt konjugerat med triangelns punkt kallas centrumlinjen för punkten [34] [35] . $Y$ $X$ $X$

Icirkulär transformation

Om i segmenten avskurna av triangelns sidor från den omskrivna cirkeln, är cirklar inskrivna som berör sidorna vid basen av cevian dras genom en viss punkt, och sedan är kontaktpunkterna för dessa cirklar anslutna till de omskrivna cirkel med motsatta hörn, då kommer sådana linjer att skära varandra vid en punkt. Transformationen av planet, som jämför utgångspunkten med den resulterande, kallas den iscirkulära transformationen [36] . Sammansättningen av de isogonala och isotomiska konjugationerna är sammansättningen av den isocirkulära transformationen med sig själv. Denna komposition är en projektiv transformation som lämnar triangelns sidor på plats och översätter axeln för de yttre bisektrarna till en rät linje i oändligheten.

Trigonometriska identiteter med endast vinklar

Tre positiva vinklar , och , var och en mindre än , är vinklar i en triangel om och endast om någon av följande relationer gäller: $\alfa$ $\beta$ $\gamma$ $180^{\cirkel }$

\operatörsnamn {tg} \alpha +\operatörsnamn {tg} \beta +\operatörsnamn {tg} \gamma =\operatörsnamn {tg} \alpha \operatörsnamn {tg} \beta \operatörsnamn {tg} \gamma

( första identiteten för tangenter )

Anmärkning . Ovanstående relation gäller endast när ingen av vinklarna är 90° (i vilket fall är tangentfunktionen alltid definierad).

\operatörsnamn {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operatörsnamn {tg} {\frac {\beta }{2}}+\operatörsnamn {tg} {\frac {\beta }{2 }}\operatörsnamn {tg} {\frac {\gamma }{2}}+\operatörsnamn {tg} {\frac {\gamma }{2}}\operatörsnamn {tg} {\frac {\alpha }{2} }=1

, [37]

( andra identitet för tangenter )

\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma

( första identiteten för sines )

\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2))+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2))+\sin ^{2}{\frac {\ gamma }{2))+2\sin {\frac {\alpha }{2))\sin {\frac {\beta }{2))\sin {\frac {\gamma }{2))=1

, [37]

( andra identitet för sines )

\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma =1

, [5]

( identitet för cosinus )

{\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma } {2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1

( identitet för förhållande mellan radier )

Anmärkning . När båda delarna av den andra identiteten för tangenter divideras med produkten , erhålls en identitet för cotangenter : $\operatörsnamn {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operatörsnamn {tg} {\frac {\beta }{2}}\operatörsnamn {tg} {\frac {\gamma }{2} }$

\operatörsnamn {ctg} {\frac {\alpha }{2}}+\operatörsnamn {ctg} {\frac {\beta }{2}}+\operatörsnamn {ctg} {\frac {\gamma }{ 2}}=\operatörsnamn {ctg} {\frac {\alpha }{2}}\operatörsnamn {ctg} {\frac {\beta }{2}}\operatörsnamn {ctg} {\frac {\gamma }{2 }}

i form (men inte till innehåll) mycket lik den första identiteten för tangenter .

Olika förhållanden

Metriska förhållanden i en triangel ges för : $\triangel ABC$

${\frac {a}{b}}={\frac {a_{L}}{b_{L}}}$
$l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}} \över {a+b}}={\sqrt {ab-a_{L}b_{L ))}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}$
$m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={\frac {1 }{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }}$
$h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta ={\frac {2S}{c))$
$d^{2}=R(R-2r)$ - Eulers formel
${\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma } {2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=4S(\operatörsnamn {ctg} \alpha +\operatörsnamn {ctg} \beta +\operatörsnamn {ctg} \gamma )=2R^ {2}(3-(\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma ))$
${\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2} +m_{c}^{2}$ [3] :s.70

Var:

$a$ , och är sidorna av triangeln, $b$ $c$
$a_{L}$ , är de segment i vilka bisektrisen delar sidan , $b_{L}$ $l_{c}$ $c$
$m_{a}$ , , är medianerna utdragna respektive åt sidorna , och , $m_{b}$ $m_{c}$ $a$ $b$ $c$
$ha}$ , , är höjderna sänkta respektive på sidorna , och , $h_{b}$ $h_{c}$ $a$ $b$ $c$
$r$ är radien för den inskrivna cirkeln ,
$R$ är radien för den omskrivna cirkeln ,
$p={\frac {a+b+c}{2}}$ - semi -perimeter ,
$S$ - område ,
$d$ är avståndet mellan mitten av de inskrivna och omskrivna cirklarna.
För varje triangel vars sidor är relaterade till olikheter och vars area är , är längderna på mittperpendicularerna eller mediatriserna inneslutna inuti triangeln, släppta till motsvarande sida (markerade med en nedsänkt), [38] :Corollaries 5 och 6 $a\geqslant b\geqslant c$ $S$

{\displaystyle p_{a}={\frac {2aS}{a^{2}+b^{2}-c^{2))))

, och .

{\displaystyle p_{b}={\frac {2bS}{a^{2}+b^{2}-c^{2))))

{\displaystyle p_{c}={\frac {2cS}{a^{2}-b^{2}+c^{2))))

Formler för arean av en triangel i kartesiska koordinater på planet

Notation

$\ (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})$ är koordinaterna för triangelns hörn.

Den allmänna formeln för arean av en triangel i kartesiska koordinater på planet

S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_ {C}&1\end{vmatrix}}={\frac {\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+ x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|}{2}}={\frac {\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{ A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})\right|}{2}}

I synnerhet om vertex A är vid origo (0, 0), och koordinaterna för de andra två hörnen är B = ( x B , y B ) och C = ( x C , y C ) , då kan arean vara beräknas som 1 ⁄ 2 av determinantens absoluta värde

T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right| ={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.

Den sista formeln för arean av en triangel i engelsk litteratur kallas formeln för det område som är inneslutet av en bruten spets sträckt över spikar ( skosnörsformel ), eller den geodetiska formeln ( lantmätarens formel [39] ), eller Gaussområdet formel.

Beräkna arean av en triangel i rymden med hjälp av vektorer

Låt triangelns hörn vara vid punkterna , , . $\ \mathbf {r} _{A}(x_{A},y_{A},z_{A})$ $\ \mathbf {r} _{B}(x_{B},y_{B},z_{B})$ $\ \mathbf {r} _{C}(x_{C},y_{C},z_{C})$

Låt oss introducera areavektorn . Längden på denna vektor är lika med arean av triangeln, och den är riktad längs normalen till triangelns plan: $\ \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}[\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A},\mathbf {r} _{C}-\mathbf {r}_{A}]$

\mathbf {S} ={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x_{B}-x_{A} &y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\\x_{C}-x_{A}&y_{C}-y_{A}&z_{C}-z_{A}\end{ vmatrix}}

Låt , där , , är projektionerna av triangeln på koordinatplanen. Vart i $\mathbf {S} =S_{x}\mathbf {i} +S_{y}\mathbf {j} +S_{z}\mathbf {k}$ $S_{x}$ ${\displaystyle S_{y))$ ${\displaystyle S_{z))$

S_{x}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\\y_{C}-y_{A} &z_{C}-z_{A}\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}1&y_{A}&z_{A}\\1&y_{B}&z_{B} \\1&y_{C}&z_{C}\end{vmatrix}}

och likaså

S_{y}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&1&z_{A}\\x_{B}&1&z_{B}\\x_{C}&1&z_{C}\ end{vmatrix}},\qquad S_{z}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\ \x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}

Arean av triangeln är . $S={\sqrt {S_{x}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2))}$

Ett alternativ är att beräkna längderna på sidorna (enligt Pythagoras sats ) och vidare med hjälp av Heron-formeln .

Beräkna arean av en triangel med hjälp av de komplexa kartesiska koordinaterna för dess hörn

Om vi betecknar de komplexa kartesiska koordinaterna (på det komplexa planet) för triangelns hörn, respektive med , och och betecknar deras komplexa konjugerade punkter med , respektive , då får vi formeln: $a=x_{A}+y_{A}i$ $b=x_{B}+y_{B}i$ $c=x_{C}+y_{C}i$ ${\bar {a}}$ ${\bar {b}}$ ${\bar {c}}$

T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c} }&1\end{vmatrix}}

vilket är ekvivalent med formeln för området inneslutet innanför den streckade linjen på skosnöret sträckt över naglarna ( skosnörsformeln ), eller den geodetiska formeln ( inspektörens formel [39] ), eller Gauss areaformeln.

Triangel i icke-euklidiska geometrier

På sfären

Egenskaper för en triangel med sidor , , och vinklar , , . $a$ $b$ $c$ $A$ $B$ $C$

Summan av vinklarna i en (icke-degenererad) triangel är strikt större än . $180^{\cirkel }$

Alla liknande trianglar är kongruenta.

Sinussats (hädanefter mäts sidan av en sfärisk triangel vanligtvis inte med ett linjärt mått, utan med värdet på den centrala vinkeln baserat på den ):

{\frac {\sin A}{\sin a))={\frac {\sin B}{\sin b))={\frac {\sin C}{\sin c))

Cosinussatser:

\cos c=\cos a\cos b-\sin a\sin b\cos C

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c

På Lobachevsky-planet

För en triangel med sidor , , och vinklar , , . $a$ $b$ $c$ $A$ $B$ $C$

Summan av vinklarna i en (icke-degenererad) triangel är strikt mindre än . $180^{\cirkel }$

Liksom på en sfär är alla liknande trianglar kongruenta.

Sinussats

{\frac {\sin A}{\operatörsnamn {sh} a}}={\frac {\sin B}{\operatörsnamn {sh} b}}={\frac {\sin C}{\operatörsnamn {sh}c}}

Cosinussatser

\operatörsnamn {ch} c=\operatörsnamn {ch} a\operatörsnamn {ch} b-\operatörsnamn {sh} a\operatörsnamn {sh} b\cos C

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\operatörsnamn {ch} c

Förhållandet mellan summan av vinklar och arean av en triangel

Värdet för summan av vinklarna i en triangel i alla tre fallen (Euklidiskt plan, sfär, Lobatsjovsky-plan) är en konsekvens av Gauss-Bonnet-formeln

\int \limits _{\Omega }K\,d\sigma +\sum _{i}\varphi _{i}=2\pi \chi

I fallet med en triangel är Euler-karaktäristiken . Hörnen är de yttre hörnen av triangeln. Värdet på kvantiteten (gaussisk krökning) är för euklidisk geometri, för en sfär, för Lobachevsky-planet. $\chi =1$ $\varphi _{i}$ $K$ $K=0$ $K=1$ $K=-1$

Triangel i Riemannsk geometri

Beteckning

Symbol	Unicode	namn
△	U+25B3	vit uppåtriktad triangel

Se även

Ytterligare artiklar om triangelgeometri finns i kategorierna:

Kategori:Triangelgeometri .
Kategori:Satser för euklidisk geometri
Kategori:Planimetri
Kategori:Planimetriens satser

Anteckningar

↑ Triangel // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M . : Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5.
↑ 1 2 Handbok i elementär matematik, 1978 , sid. 218.
↑ 1 2 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ 1 2 Handbok i elementär matematik, 1978 , sid. 221.
↑ 1 2 Longuet-Higgins, Michael S., "On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle", Mathematical Gazette 87, mars 2003, 119-120.
↑ Zetel S.I. Ny triangelgeometri. En guide för lärare. 2:a upplagan. M.: Uchpedgiz, 1962. problem på sid. 120-125. paragraf 57, s.73.
↑ Geometri enligt Kiselyov Arkiverad 1 mars 2021 på Wayback Machine , § 41.
↑ 1 2 3 4 Handbok i elementär matematik, 1978 , sid. 219.
↑ Korn G., Korn T. Handbok i matematik, 1973 .
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , f. 1.11-4.
↑ Sa'ndor Nagydobai Kiss, "A Distance Property of the Feuerbach Point and its Extension", Forum Geometricorum 16, 2016, 283-290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf Arkiverad 24 oktober 2018 på Wayback Machine
↑ Pathan, Alex och Tony Collyer, "Area egenskaper hos trianglar återbesökt," Mathematical Gazette 89, november 2005, 495-497.
↑ Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 93, juli 2009, 306-309.
↑ Baker, Marcus, "En samling formler för arean av en plan triangel," Annals of Mathematics , del 1 i vol. 1(6), januari 1885, 134-138; del 2 i vol. 2(1) ), september 1885, 11-18 Formlerna som ges här är #9, #39a, #39b, #42 och #49.
↑ Chakerian, GD "A Distorted View of Geometry." Kap. 7 i matematiska plommon (R. Honsberger, red.). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
↑ Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; och Wulf, Daniel B. "Heron triangles and moduli spaces", Mathematics Teacher 101, maj 2008, 656-663.
↑ Posamentier, Alfred S., och Lehmann, Ingmar, Trianglarnas hemligheter , Prometheus Books, 2012.
↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometri och algebra i antika civilisationer . - Springer, 1983. - ISBN 3-540-12159-5 .
↑ Glazer G.I., 1982 , sid. 77.
↑ Glazer G.I., 1982 , sid. 94-95.
↑ 1 2 Ur triangelgeometrins historia, 1963 , sid. 129.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 40-44.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 51-55.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 92-96.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 111.
↑ Tusi Nasiruddin . En avhandling om den fullständiga fyrhörningen. Baku, Ed. AN AzSSR, 1952.
↑ Rybnikov K. A. Matematikens historia i två volymer. - M. : Ed. Moscow State University, 1960. - T. I. - S. 105.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 320.
↑ 1 2 Ur triangelgeometrins historia, 1963 , sid. 130-132.
↑ Från triangelgeometrins historia, 1963 , sid. 132-133.
↑ Rigby, John (1997), Korta anteckningar om några bortglömda geometriska satser. Mathematics and Informatics Quarterly, volym 7, sidorna 156-158 (som citeras av Kimberling).
↑ V. V. Prasolov. Brocard-punkter och isogonal konjugation. - M . : MTsNPO, 2000. - (Bibliotek "Mathematical Education"). — ISBN 5-900916-49-9 .
↑ Matematik i uppgifter. Samling av material från besökande skolor i Moskva-laget för den allryska matematiska olympiaden. Redigerad av A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov och A. V. Shapovalov. Moskva: MTSNMO, 2009.
↑ Kimberling, Clark. Centrala punkter och centrala linjer i en triangels plan // Mathematics Magazine : magazine . - 1994. - Juni ( vol. 67 , nr 3 ). - S. 163-187 . - doi : 10.2307/2690608 .
↑ Kimberling, Clark. Triangelcentra och centraltrianglar . - Winnipeg, Kanada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - s. 285. Arkiverad 10 mars 2016 på Wayback Machine
↑ Myakishev A.G. Element av triangelgeometri (Serie: "Library" Mathematical Education "") M.: MTSNMO, 2002. s. 14-17
↑ 1 2 Vardan Verdiyan & Daniel Campos Salas, "Simple trigonometric substitutions with breda results", Mathematical Reflections no 6, 2007.
↑ Mitchell, Douglas W. (2013), "Perpendicular Bisectors of Triangle Sides", Forum Geometricorum 13, 53-59.
↑ 1 2 Bart Braden. The Surveyor's Area Formula // The College Mathematics Journal :tidskrift. - 1986. - Vol. 17 , nr. 4 . - s. 326-337 . - doi : 10.2307/2686282 . Arkiverad från originalet den 6 april 2015.

Litteratur

Hadamard J. Elementär geometri. Del 1: Planimetri. Ed. 4:e, Moskva: Uchpedgiz, 1957. 608 sid.
Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik. — M .: Nauka, 1978.
- Återutgivning: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 sid.
Efremov Dm. Ny triangelgeometri . Odessa, 1902.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nya möten med geometri. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Library of the Mathematical Circle).
Korn G., Korn T. Handbok i matematik (för forskare och ingenjörer) . - M . : Nauka, 1973. - 720 sid.
Myakishev A.G. Element av triangelgeometri . — M. : MTsNMO, 2002.
Ponarin Ya. P. Elementär geometri. I 2 volymer - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .

Berättelse

Gaiduk Yu. M., Khovansky AM Från historien om en triangels geometri // Frågor om fysikaliska och matematiska vetenskapers historia. - M . : Högre skola, 1963. - S. 129-133. — 524 sid.
Glazer G.I. Matematikens historia i skolan. VII-VIII klasser. En guide för lärare. - M . : Utbildning, 1982. - S. 76-95. — 240 s.
Matematikens historia, redigerad av A. P. Yushkevich i tre volymer, M .: Nauka.
- Matematikens historia. Från antiken till början av den nya tiden // Mathematics historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
- 1600-talets matematik // Matematikens historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
- 1700-talets matematik // Matematikens historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Matvievskaya G.P. Essäer om trigonometrins historia: antikens Grekland. Medeltida öst. Sen medeltid. - Ed. 2:a. - M. : Librokom, 2012. - 160 sid. - (Fysisk-matematiskt arv: matematik (matematikens historia)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .

Länkar

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska Stor norsk Stor ryss Brockhaus och Efron Litet Brockhaus och Efron Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 11946969k J9U : 987007548775205171 LCCN : sh85137407 NKC : ph126753

Triangel
Typer av trianglar	Rektangulär Likbent Liksidig Likbent rektangulär
Underbara linjer i en triangel	Median Höjd Bisektris Mittvinkelrät mittlinje Omskrivna och inskrivna cirklar Simsons raka linje Euler linje Simediana Cheviana
Anmärkningsvärda punkter i triangeln	Ortocenter Centroid I mitten Brocard punkt Vecten punkt Peka Gergonne Lemoine punkt Miquel pekar Nagel poäng Napoleon pekar Torricellis punkter Niopunkts cirkelcentrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centers
Grundläggande satser	triangelojämlikhet Tecken på likhet av trianglar Lösa trianglar Triangelns yttre vinkelsats Triangelsummans sats Pythagoras sats Cosinussats Sinussats Projektionssatsen Herons formel
Ytterligare satser	Van Obels teorem Menelaos sats Reuschles (Terkema) sats Stewarts teorem Tangentsats Cotangenssats Cevas sats Mollweide formler
Generaliseringar	sfärisk triangel hyperbolisk triangel Simplex

Polygoner

Efter antal sidor

Monogon
Bigon
Triangel
Fyrsidig
Pentagon
Sexhörning
Heptagon
Oktogon
femhörning
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretton
tetradekagon
Pentagon
Sexhörning
Sjutton
oktogon
Nittonagon
Dodecagon
Tjugoensidig
Twenty-two-angle
Twentytrigon
Tjugofyrkantig
Tjugo femhörning
Tjugooktagon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrtio kvadratisk
Forty Bicagon
Pentecostal
Pentecostal
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ sv
Millagon
Tio tusen gon
Hundratusendel
Milliogon
oändlighet

korrekt

konvex	Triangel Fyrkant Pentagon Sexhörning Heptagon Oktogon femhörning tetradekagon Sjutton 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stellate	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trianglar

Fyrhörningar

se även