Hörn

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 31 juli 2022; kontroller kräver 15 redigeringar .

Hörn
∠
Dimensionera	dimensionslös
Enheter
SI	radian
Andra enheter	grad, minut, sekund , grad , tusendel

Vinkel är en geometrisk figur som bildas av två strålar ( sidor av en vinkel) som kommer ut från en punkt (som kallas vinkelns spets) [1] .

Allmän information

Planet som innehåller båda sidorna av vinkeln delas av vinkeln i två områden. Vart och ett av dessa områden, i kombination med hörnets sidor, kallas ett platt hörn (eller bara ett hörn, om detta inte orsakar förvirring). Ett av de plana hörnen (vanligtvis det minsta av de två) kallas ibland konventionellt för inre , och det andra som yttre . Punkter i en plan vinkel som inte hör till dess sidor bildar det inre området av en plan vinkel .

I en annan, ekvivalent version av definitionen av en platt vinkel, kallas en del av planet, vilket är föreningen av alla strålar som kommer ut från en given punkt ( vinkelns spets) och skär någon linje som ligger i detta plan (som kallas linjen som understryker den givna plana vinkeln).

Ofta, för korthetens skull, kallas vinkeln också för vinkelmått , det vill säga talet som bestämmer storleken på vinkeln.

Förutom de vanligaste platta vinklarna kan mer generella objekt betraktas som vinklar - figurer bildade av skärande bågar, halvplan och andra figurer både i euklidisk och i andra typer av geometri i metriska utrymmen av olika dimensioner .

Beteckning av hörn

Det finns en allmänt accepterad symbol för att beteckna en vinkel: föreslagen 1634 av den franske matematikern Pierre Erigon . Tecknet är i Unicode ( U+2220 ∠ vinkel ). $\vinkel ,$

I matematiska uttryck betecknas vinklar ofta med små grekiska bokstäver: α, β, γ, θ, φ , etc. Som regel tillämpas dessa beteckningar också på ritningen för att eliminera tvetydighet vid val av det inre området för \u200b \u200bhörnet. För att undvika förväxling med pi används symbolen π i allmänhet inte för detta ändamål. Bokstäverna ω och Ω används ofta för att beteckna heldragna vinklar (se nedan) .

Också ofta betecknas vinkeln med tre symboler för punkter, till exempel i en sådan notation - vertexet, och och - punkterna som ligger på olika sidor av vinkeln. I samband med valet i matematik av riktningen för att räkna vinklar moturs är det vanligt att räkna upp de punkter som ligger på sidorna i vinkelbeteckningen även moturs. Denna konvention tillåter entydighet när det gäller att skilja mellan två plana hörn med gemensamma sidor men olika inre områden. I de fall där valet av det inre området för ett platt hörn är tydligt från sammanhanget, eller anges på annat sätt, kan denna konvention brytas. Se variationer och generaliseringar . $\angle ABC.$ $B$ $A$ $C$

Notationen av raka linjer som bildar sidorna av en vinkel är mindre vanligt förekommande. Till exempel, - här antas det att vi menar den inre vinkeln för triangeln , α , som ska betecknas med . $\angle(bc)$ $\angle BAC$ $\angle(cb)$

Så för figuren till höger betyder posterna γ , och samma vinkel. $\vinkel ACB$ $\angle(ba)$

Ibland används små latinska bokstäver ( a, b, c, ...) och siffror för att beteckna hörn.

På ritningarna är hörnen markerade med små enkel-, dubbel- eller trippelbojor som löper längs insidan av hörnet centrerat i hörnets spets. Vinklarnas likhet kan markeras av samma mångfald av bågar eller av samma antal tvärgående slag på bågen. Om det är nödvändigt att ange riktningen för vinkelavläsningen är den markerad med en pil på bågen. Rätta vinklar markeras inte av bågar, utan av två sammankopplade lika segment anordnade på ett sådant sätt att de tillsammans med sidorna bildar en liten kvadrat, vars ena hörn sammanfaller med vinkelns spets.

Vinkelmått

Vinkelmåttet , som gör det möjligt att jämföra plana vinklar, kan introduceras enligt följande. Två plana vinklar kallas lika (eller kongruenta ) om de kan kombineras så att deras hörn och båda sidor sammanfaller. Från valfri stråle på planet i en given riktning kan du avsätta en enda vinkel lika med den givna. Om ett hörn kan placeras helt innanför ett annat hörn på ett sådant sätt att vertexen och en av sidorna av dessa hörn sammanfaller, så är det första hörnet mindre än det andra. Låt oss kalla intilliggande två vinklar placerade så att sidan av den ena sammanfaller med sidan av den andra (och därmed hörn sammanfaller), men deras inre regioner skär inte varandra. En vinkel som består av icke sammanfallande sidor av två intilliggande vinklar kallas en sammansättning av dessa vinklar. Varje vinkel kan tilldelas ett nummer (vinkelmått) på ett sådant sätt att:

lika vinklar motsvarar lika vinkelmått;
en mindre vinkel motsvarar ett mindre vinkelmått;
vid en vinkel vars sidor sammanfaller (noll vinkel) är vinkelmåttet noll (detsamma gäller för vinkeln mellan parallella linjer);
varje vinkel som inte är noll har ett visst vinkelmått som är större än noll;
(additivitet) vinkelmåttet för en vinkel är lika med summan av vinkelmåtten för de vinklar som den delas i av en stråle som passerar mellan dess sidor.

I vissa notationssystem, om det finns ett behov av att skilja mellan en vinkel och dess mått, används notationen för vinkeln (geometrisk figur), och för värdet på måttet för denna vinkel, notationen $\angle ABC ,$ $\widehat{ABC}.$

Vinkeln mäts:

i grader, minuter, sekunder ;
i radianer ;
i revolutioner ;
i grader, minuter, sekunder ;
i timmar, minuter och sekunder ;
i tusendelar och divisioner av gradskivan ;
i rumber .

Det vanligaste gradmåttet är grad, minut, sekund , där 1/180 av den expanderade vinkeln tas som 1° (se nedan ), en minut och en sekund . Gradmåttet används i elementär geometri (mätning av vinklar i ritningar med gradskiva ), i geodesi på en karta och på marken (en mycket noggrann anordning används för att mäta vinklar på marken - en kombi / teodolit). $1'=1^{\circ }/60$ $1''=1'/60$

Radianmåttet på en vinkel är förhållandet mellan längden s av den sammandragande bågen och dess radie r . Radianmåttet används i matematisk analys (till exempel som ett numeriskt argument för trigonometriska funktioner och för att bestämma de numeriska (tabellformiga och grafiska ) värdena för inversa bågfunktioner ), i planimetri och mekanik (när man överväger rotation omkring en punkt eller axel och andra processer som beskrivs med hjälp av trigonometriska funktioner, vibrationer, vågor , etc.).

Vinklar kan också mätas i varv . Ett varv är en hel vinkel (det vill säga en vinkel på 360 grader). En godtycklig vinkel sägs vara x varv om x är förhållandet mellan längden s av den båge som förlänger vinkeln till längden L av cirkeln som innehåller denna båge.

Hagelmåttet för att mäta vinklar föreslogs för användning historiskt, för närvarande används det nästan aldrig, eftersom det inte har ersatt den vanligare sexagesimala graden .

Mätningen av vinklar i grader går tillbaka till det antika Babylon , där det sexagesimala talsystemet användes , vars spår har bevarats hos oss i indelningen av tid och vinklar. En grad (1/360 av full vinkel) delas upp i 60 bågminuter (eller bågminuter), i sin tur delas en minut i 60 bågsekunder (bågsekunder). Mindre vinklar mäts i subsekundsenheter, bildade med hjälp av SI-prefix (millisekunder av båge, mikrosekund av båge, etc.).

1 varv = 2 π radianer = 360° = 400 grader .

I SI- systemet är den grundläggande måttenheten för vinkel radianen .

I nautisk terminologi mäts vinklar i punkter . 1 romb är lika med 1⁄ 32 av kompassens hela cirkel (360 grader), dvs 11,25 grader, eller 11°15′ .

Inom astronomi mäts vinkeln för rätt uppstigning och timvinkeln i det ekvatoriala koordinatsystemet i timmar, minuter och sekunder (respektive 1 ⁄ 24 , 1 ⁄ 1440 och 1 ⁄ 86 400 av en hel cirkel); detta beror på vinkelhastigheten för jordens axiella rotation, som är ungefär 1 varv per 24 timmar [2] . Alltså, på en timme (minut, sekund) av tid, "vänder" himmelsfären med ungefär 1 timme (minut, sekund) i vinkelmått. De återstående vinkelstorheterna inom astronomi uttrycks vanligtvis i grader, minuter och bågsekunder. En sekund (minut) av höger uppstigning är lika med 15 sekunder (minuter) av båge.

I artilleri- och vapenaffärer används också tusendelar och goniometerdivisioner .

I vissa sammanhang, som att identifiera en punkt i polära koordinater eller beskriva orienteringen av ett objekt i två dimensioner i förhållande till dess basorientering, är vinklar som skiljer sig med ett heltal av hela varv i praktiken ekvivalenta. Till exempel, i sådana fall kan vinklarna 15° och 360015° (= 15° + 360°×1000) anses vara ekvivalenta . I andra sammanhang, som att identifiera en punkt på en spiralkurva, eller beskriva den kumulativa rotationen av ett objekt i två dimensioner kring dess initiala orientering, är vinklar som skiljer sig med ett heltal som inte är noll av fullständiga varv inte ekvivalenta.

Vissa platta hörn har speciella namn. Förutom ovanstående måttenheter (radian, rhumb, grad, etc.), inkluderar dessa:

kvadrant (rät vinkel, 1 ⁄ 4 cirklar);
sextant ( 1 ⁄ 6 cirklar);
oktant ( 1 ⁄ 8 cirkel; dessutom, i stereometri , är en oktant en triedrisk vinkel som bildas av tre inbördes vinkelräta plan),

Ibland mäts vinklar (till exempel en ytas lutningsvinkel ) inte med det faktiska vinkelmåttet, utan med dess tangent (eller sinus ), det vill säga förhållandet mellan stigningen längs det lutande planet och projektionen på horisontalplanet av vägen färdades längs den (eller till denna väg själv). För det vanliga fallet med små lutningsvinklar är detta förhållande ungefär lika med vinkeln uttryckt i radianer ( tan α ≈ sin α ≈ α , för α < 0,1 , är skillnaden mellan dessa värden mindre än 1%). I det här fallet uttrycks förhållandet vanligtvis som en procentandel eller ppm . Till exempel betyder en väglutning på 10 % att för varje 100 meters färd (projicerad på horisontalplanet) stiger vägen 10 m; vinkeln mot horisonten är arktan (10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 radianer. Denna metod för att mäta vinklar är strängt taget inte ett vinkelmått, eftersom det inte har additivitetsegenskapen (se ovan ). Se även approximationer för små vinklar .

Riktning för räknevinklar

Inom matematik och fysik är vanligtvis den positiva riktningen för att räkna vinklar moturs . Vanligtvis börjar vinkeln mätas från strålen , vars ursprung sammanfaller med centrum av koordinatsystemet (SC), och riktningen sammanfaller med abskissaxelns positiva riktning ( i polär SC, cylindrisk SC, sfärisk SC , SC på en trigonometrisk cirkel och andra).

Inom geografi och geodesi tas riktningen "mot norr " som ursprunget till vinklarna i azimut ; vinkeln räknas medurs . Således motsvarar riktningen " österut " en azimutvinkel på 90 °, "till söder " - 180 °, " väster " - 270 °. Inom artilleri är polaxelns riktning " sydlig " och den motsvarande polära vinkeln kallas även azimut (riktningen " väst " motsvarar en azimutvinkel på 90°).

Typer av vinklar

konvexa hörn
Rätt vinkel
full vinkel
Vasst hörn
Trubbig vinkel
Roterad vinkel

Vinklarna namnges efter deras storlek.

Nollvinkel (0°); sidorna av nollvinkeln sammanfaller, dess inre är den tomma uppsättningen .
Akuta hörn (från 0° till 90°, exklusive gränsvärden).
Rätt vinkel (90°); sidorna av en rät vinkel är vinkelräta mot varandra.
Trubbig vinkel (från 90° till 180°, exklusive gränsvärden).
Sned vinkel (någon annan än 0°, 90°, 180° eller 270°).
Utökad vinkel (180°); sidorna av en rät vinkel är två halvlinjer av en rät linje, det vill säga två strålar riktade i motsatta riktningar.
Icke-konvex vinkel (från 0° till 180° inklusive).
Konvex vinkel (från 180° till 360°, exklusive gränsvärden).
Full vinkel (360°) - se varv (enhet) .

Bisector

En vinkels bisektur (av latin bi- "dubbel" och sectio "skärning") är en stråle som kommer ut från vinkelns spets och passerar genom dess inre område, som bildar två lika stora vinklar med sina sidor. Avståndet för någon punkt i bisektrisen från sidorna av vinkeln är detsamma (och omvänt, vilken punkt som helst i det inre området av vinkeln, lika långt från vinkelns sidor, ligger på dess bisektrik).

Platta hörn

Termen platt vinkel används som en synonym för termen vinkel , definierad i början av artikeln, för att särskilja den från begreppet rymdvinkel som används i stereometri (inklusive en dihedral, trihedral eller polyhedral vinkel).

Egenskaperna för platta vinklar förstås ofta som förhållandet mellan vinklarna (intilliggande, ytterligare, intilliggande, vertikal - se nedan) i fallet när vinklarna ligger i samma plan (för planimetri är detta underförstått av sig självt, men för solid geometri, förtydligande är nödvändigt, annars sker inte förhållandena nedan, och själva vinklarna, om de inte ligger i samma plan, kallas inte angränsande eller intilliggande (vertikal ligger alltid i samma plan automatiskt).

Vertikala och angränsande vinklar

vertikala hörn. Två par av vinklar (A och B, C och D) är parvis lika
angränsande hörn. Värdet på vinkeln som bildas av deras yttre (inte vanliga) sidor är lika med summan av deras värden (α + β)
Komplementära vinklar a och b (komplementerar varandra upp till en rät vinkel). Båda komplementära vinklarna är spetsiga
Intilliggande vinklar - i denna figur, spetsig (α) och trubbig (β) - bildar en rak vinkel (α + β)
Konjugerade vinklar - bilda en hel vinkel (360 °); i denna figur ett speciellt exempel: 150° + 210° = 360°

Vertikala vinklar - 2 vinklar på ett plan som bildas när 2 icke-parallella linjer skär varandra. Dessa 2 hörn har inte gemensamma sidor (det vill säga sidorna av det ena hörnet är en förlängning av sidorna på det andra). Deras huvudsakliga egenskap: vertikala vinklar är lika .
Integralvinklar är 2 vinklar i ett plan som delar 1 vertex och 1 av 2 sidor, men som inte skär varandra internt. Värdet på vinkeln som bildas av 2 externa (inte vanliga ) sidor av de inkluderade vinklarna är lika med summan av värdena för de inkluderade vinklarna själva (i figuren α + β).

Specialfall av angränsande vinklar.

Om de ingående vinklarna är lika, då är deras gemensamma sida en bisektrik .

Komplementära vinklar är två vinklar med en gemensam vertex på planet, vars ena sidor är gemensam, och de återstående sidorna bildar en rät vinkel. Summan av de komplementära vinklarna är 90°. Sinus , tangent och sekant för en vinkel är lika med respektive cosinus , cotangens och cosecans för den komplementära vinkeln.

Intilliggande vinklar - 2 vinklar med 1 gemensam vertex på planet, varav 1 av 2 sidor är gemensamma , och de återstående 2 sidorna ligger på 1 rak linje (inte sammanfallande). Summan av 2 intilliggande vinklar är 180°. Det vill säga, 2 angränsande vinklar på planet är 2 angränsande vinklar , vilket ger totalt 180°.

Konjugerade vinklar - 2 vinklar på planet, som har gemensamt 1 vertex och 2 sidor, längs vilka de gränsar till varandra, men skiljer sig i inre områden; föreningen av sådana 2 vinklar är hela planet, och som inkluderade vinklar bildar de en total vinkel; summan av deras magnituder är 360°.

Plana hörn med (anti)parallella sidor

Vinklar vars sidor är parvis parallella och samriktade (eller parvis parallella och motsatt riktade) är lika med varandra. Ett par vinklar där ett par sidor är parallella och samriktade mot varandra, och det andra paret sidor är parallella och motsatt riktade, summeras till en rät vinkel, sedan 180° (se figur) - eftersom de kan omvandlas till intilliggande vinklar genom parallell translation ( "limning" av de samriktade sidorna).

Vinklar med inbördes vinkelräta sidor

Två vinklar med inbördes vinkelräta sidor är lika om de båda är spetsiga eller båda trubbiga.

Externt hörn av en triangel

Triangelns yttre vinkelsats . Den yttre vinkeln på en triangel är lika med summan av de två återstående vinklarna i triangeln som inte gränsar till den yttre vinkeln.

Polygonvinklar

Summan av inre vinklar α i för en godtycklig n -gon utan självskärningar är $\sum_{i=1}^n \alpha_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} .$

Så,

summan av de inre vinklarna i en triangel är 180°,
fyrhörning - 360 °,
femhörning - 540 ° och så vidare.

Konsekvens

Låt oss kalla den yttre vinkeln β i (uppmärksamhet, detta är inte den vanliga definitionen av en yttre vinkel) vinkeln som kompletterar den inre vinkeln α i till en hel vinkel: β i = 360° − α i .

Summan av de yttre vinklarna för en godtycklig n -gon utan självskärningar är $\sum_{i=1}^n \beta_i = n\cdot 360^{\circ} - \sum_{i=1}^n \alpha_i = (n+2)\cdot 180^{\circ} .$

Central och inskriven vinkel

Vilken speciell cirkelbåge som helst kan associeras med en enda central och ett oändligt antal inskrivna vinklar.

Centrala hörnet
Inskriven vinkel

En central vinkel är en vinkel med en vertex i mitten av cirkeln . Värdet på den centrala vinkeln är lika med gradmåttet för den båge som är innesluten mellan sidorna av denna vinkel.
En inskriven vinkel är en vinkel vars spets ligger på en cirkel och vars sidor skär cirkeln. Värdet på en inskriven vinkel är lika med halva gradmåttet för den båge som begränsas av dess sidor. Alla inskrivna vinklar som täcker samma båge är lika.

Värdet på den inskrivna vinkeln är lika med halva värdet av den centrala vinkeln , baserat på basen på cirkeln på samma båge (se fig.).

Variationer och generaliseringar

Värdet på den orienterade vinkeln mellan de räta linjerna och (notation: ) är värdet på vinkeln med vilken den räta linjen måste roteras moturs så att den blir parallell med den räta linjen . I det här fallet, vinklar som skiljer sig med n 180 ° ( n är ett heltal) anses lika. Den orienterade vinkeln mellan linjerna och är inte lika med den orienterade vinkeln mellan linjerna och (de summerar till 180° eller, enligt konvention, samma sak, 0°). Orienterade vinklar har följande egenskaper: a) b) c) punkter som inte ligger på samma räta linje tillhör samma cirkel om och endast om $AB$ $CD$ $\angle(AB,CD)$ $AB$ $CD.$ $CD$ $AB$ $AB$ $CD$ $\angle(AB,BC)=-\angle(BC,AB);$ $\angle(AB,CD)+\angle(CD,EF)=\angle(AB,EF);$ $A,B,C,D$ $\angle(AB,BC)=\angle(AD,DC).$

Ett antal praktiska problem leder till att det är lämpligt att betrakta vinkeln som en figur som erhålls genom att rotera en fixerad stråle runt punkten O (från vilken strålen utgår) till en given position. I detta fall är vinkeln ett mått på strålens rotation. En sådan definition tillåter oss att generalisera begreppet en vinkel genom att utöka dess definitionsdomän till hela tallinjen : vinklar större än 360 ° introduceras, beroende på rotationsriktningen, särskiljs positiva och negativa vinklar . Inom trigonometri tillåter sådan övervägande en att studera trigonometriska funktioner för alla värden i argumentet. $(-\infty ; +\infty)$

Begreppet vinkel är generaliserat till den rymdvinkel som betraktas i stereometri .

Hel vinkel

En generalisering av en plan vinkel till stereometri är en solid vinkel - en del av rymden, som är föreningen av alla strålar som kommer från en given punkt ( vinkelns spets) och skär någon yta (som kallas ytan som täcker given rymdvinkel).

Hela vinklar mäts i steradianer (en av de grundläggande SI-enheterna), såväl som i enheter utanför systemet - i delar av en hel sfär (det vill säga en hel rymdvinkel på 4 π steradianer), i kvadratgrader, kvadratminuter och kvadratsekunder.

Hela vinklar är i synnerhet följande geometriska kroppar:

dihedral vinkel - en del av rymden som begränsas av två korsande plan;
trihedrisk vinkel - en del av rymden som begränsas av tre korsande plan;
polyedrisk vinkel - en del av rymden som begränsas av flera plan som skär varandra vid en punkt.

En dihedrisk vinkel kan kännetecknas av både en linjär vinkel (vinkeln mellan planen som bildar den) och en hel vinkel (vilken som helst punkt på dess kant , den direkta skärningen av dess ytor, kan väljas som en vertex). Om den linjära vinkeln för en dihedrisk vinkel (i radianer) är φ , då är dess rymdvinkel (i steradianer) 2 φ .

Vinkel mellan kurvor

Både i planimetri och solid geometri, såväl som i ett antal andra geometrier, är det möjligt att bestämma vinkeln mellan släta kurvor vid skärningspunkten: per definition är dess värde lika med vinkeln mellan tangenterna till kurvorna vid skärningspunkt.

Vinkel och punktprodukt

Begreppet en vinkel kan definieras för linjära rum av godtycklig natur (och godtyckliga, inklusive oändlig dimension), på vilka en positiv bestämd skalär produkt mellan två element av rymden introduceras axiomatiskt och Den skalära produkten tillåter oss också att definiera den so- kallas norm (längd) av ett element som kvadratroten av produktelementet på sig själv Från skalärproduktens axiom, följer Cauchy-Bunyakovsky (Cauchy-Schwartz) olikhet för skalärprodukten: därav följer att värdet tar värden från −1 till 1, och extremvärdena uppnås om och endast om elementen är proportionella ( kollinjära ) mot varandra (geometriskt sett är deras riktningar desamma eller motsatta). Detta gör att relationen kan tolkas som cosinus för vinkeln mellan elementen och I synnerhet sägs elementen vara ortogonala om punktprodukten (eller cosinus för vinkeln) är noll. $(x,y)$ $x$ $y.$ $||x||=\sqrt{(x,x)}.$ $|(x,y)|\leqslant ||x||\cdot||y||,$ $\frac {(x,y)} {||x||\cdot ||y||}$ $\frac {(x,y)} {||x||\cdot ||y||}$ $x$ $y.$

I synnerhet kan man introducera begreppet en vinkel mellan funktioner kontinuerligt på ett visst intervall , om vi introducerar standardskalärprodukten så definieras funktionsnormerna som Då definieras vinkelns cosinus på standardsättet som förhållandet mellan den skalära produkten av funktioner till deras normer. Funktioner kan också kallas ortogonala om deras punktprodukt (integralen av deras produkt) är noll. $[a,b]$ $(f,g)=\int^b_a f(x) g(x) dx,$ $||f||^2=\int^b_a f^2(x)dx.$

I Riemannsk geometri kan man på liknande sätt bestämma vinkeln mellan tangentvektorer med hjälp av den metriska tensorn . Den skalära produkten av tangentvektorer och i tensornotation kommer att ha formen: respektive vektorernas normer - och Därför kommer vinkelns cosinus att bestäms av standardformeln för förhållandet mellan den angivna skalära produkten och normerna för vektorer: $g_{ij}.$ $u$ $v$ $(u,v)=g_{ij}u^iv^j,$ $||u||=\sqrt{|g_{ij}u^iu^j|}$ $||v||=\sqrt{|g_{ij}v^iv^j|}.$ $\cos \theta = \frac {(u,v)} {||u||\cdot ||v||} = \frac {g_{ij}u^iv^j} { \sqrt{|g_{ij }u^iu^j|\cdot |g_{ij}v^iv^j|} }.$

Vinkel i metriskt utrymme

Det finns också ett antal verk där begreppet en vinkel mellan element i ett metriskt utrymme introduceras.

Låt vara ett metriskt utrymme . Låt vidare vara delar av detta utrymme. $(X,\rho)$ $x,y,z$

K. Menger introducerade konceptet med en vinkel mellan hörn och med en vertex vid en punkt $y$ $z$ $x$ som ett icke-negativt tal som uppfyller tre axiom: $\widehat{yxz}$

$\widehat{yxz}=\widehat{zxy}$
$\widehat{yxz}=0$ om och endast om $\rho(y,z)=|\rho(x,y)-\rho(x,z)|$
$\widehat{yxz}=\pi$ om och endast om $\rho(y,z)=\rho(x,y)+\rho(x,z)$

1932 betraktade Wilson följande uttryck som en vinkel:

$\widehat{yxz}_w = \arccos \frac{\rho^2(x,y)+\rho^2(x,z)-\rho^2(y,z)}{2\rho(x,y )\rho(x,z)}$

Det är lätt att se att det införda uttrycket alltid är vettigt och uppfyller Mengers tre axiom.

Dessutom har Wilsonvinkeln egenskapen att den i det euklidiska rummet är ekvivalent med vinkeln mellan element och i betydelsen euklidiskt rum. $yx$ $zx$

Mäta vinklar

Ett av de vanligaste verktygen för att konstruera och mäta vinklar är en gradskiva (liksom en linjal - se nedan); som regel används det för att konstruera en vinkel av en viss storlek. Många verktyg har utvecklats för att mäta vinklar mer eller mindre exakt:

goniometer ;
goniometer - en anordning för laboratoriemätning av vinklar;
kipregel är ett geodetiskt goniometriskt verktyg.

Vinkelavståndet (eller helt enkelt vinkeln) mellan två objekt för observatören är måttet på vinkeln överst på vilken observatören befinner sig, och objekten ligger på sidorna. Handen kan användas för att grovt uppskatta vinklarna mellan två avlägsna objekt. På armlängds avstånd motsvarar ett vinkelavstånd på 1 grad (1°) lillfingrets bredd (se även nedan; långfingrets vinkelbredd på armlängds avstånd är ca 2°), en vinkel på 10 grader mot bredden på en knuten näve placerad horisontellt (eller diametern handflatan), en vinkel på 20 grader (eller cirka 15 ° ÷ 17 ° ÷ 20 °) - avståndet mellan spetsarna på den frånskilda tummen och pekfingret ( span ), och den vinkelformade avståndet från slutet av lillfingret till slutet av tummen är ungefär en fjärdedel av rät vinkel . Dessa är genomsnittliga data. Det rekommenderas att förfina dem för din egen hand.

Olika metoder och anordningar för att mäta vinklar kännetecknas av vinkelupplösning , det vill säga den minsta vinkel som kan mätas med denna metod. Den bästa vinkelupplösningen har olika interferometriska metoder, som i vissa fall gör det möjligt att mäta vinklar på flera mikrosekunders båge (~10 −11 radianer).

Exempel på praktiska trigonometriska mätningar

Att lösa problem på ett enkelt sätt

Hur man mäter en vinkel (till exempel på en karta ) med hjälp av sidorna av en triangel (till exempel i avsaknad av en teknisk/trigonometrisk kalkylator (och tabeller ) och ingen dator ( MS Office Excel ) för att beräkna cos) och improviserade betyder - linjaler med millimeterindelningar?
På hörnets sidor, lägg åt sidan segment på 60 mm och anslut ändarna med en rak linje. Längden på denna linje i millimeter kommer att ge det ungefärliga värdet på vinkeln i grader. På så sätt kan spetsiga vinklar upp till 60° mätas med tillräcklig (acceptabel) noggrannhet. Om vinkeln är större än 60°, mät dess komplement till 90°, 180, 270° eller 360°. För att mäta tillägget till 90 ° eller 270 ° från vinkelns spets, konstrueras en vinkelrät mot en av sidorna med hjälp av en triangel (i en likbent triangel - medianen är bisektrisen , det är också höjden ).

Hur mäter man vinkeln med en linjal (för visuell orientering på marken ... och jämför vinkeln på kartan - se punkt 1)?
Placera en linjal med millimetersdelningar framför dig på ett avstånd av 57 cm ( högst 60 cm ) från ögat. I det här fallet kommer en delning på 1 cm att motsvara en betraktningsvinkel på 1°. Du kan enkelt verifiera giltigheten av denna metod om du kommer ihåg att bågen för den centrala vinkeln på 1 ° är ungefär 1/57 av radien. Noggrannheten för att mäta vinklar med en linjal (liksom med fingrar; se nedan) beror på noggrannheten i linjalens (eller fingrarnas) position på erforderligt avstånd från ögat. Detta kan snabbt tränas med hjälp av en tråd, vars längd motsvarar avståndet från ögat till fingrarna på den utsträckta handen.

Hur kan vinklar mätas och plottas på marken utan att använda goniometrar?
Detta kan göras enklast genom att jämföra den uppmätta vinkeln med en rät vinkel. Du kan lägga åt sidan en rät vinkel med händernas riktningar, varav den ena sträcker sig längs axlarna, och den andra med en upphöjd tumme riktas så att högerhands finger är framför höger öga (respektive, fingret på vänster hand är framför vänster öga). En rät vinkel kan visuellt delas upp i två eller tre lika delar, som var och en motsvarar 45 ° eller 30 °.
Mindre vinklar kan läggas åt sidan eller mätas på marken på följande sätt. Först och främst, mät bredden på de tre stängda fingrarna på din hand med en linjal: index, mitten och ring. Om du har det lika med 6 cm, med din arm utsträckt 60 cm, kommer betraktningsvinkeln på dem att vara cirka 6 °. Följaktligen kommer betraktningsvinkeln för var och en av dessa tre fingrar att vara lika med i genomsnitt 2°. Om du får bredden på tre fingrar, till exempel 5 cm, så måste handen sträckas ut med 50 cm för att betraktningsvinklarna ska vara desamma.

Med armen utsträckt är betraktningsvinkeln på tummen och pekfingret, utspridda i rät vinkel, ungefär 15°. Hur kan jag kontrollera och verifiera detta?
Först och främst, lägg märke till ett landmärke på marken och avsätt en 90 ° vinkel från det. Detta kan göras med den teknik som beskrivs i föregående problem. Sedan, från landmärket, avsätt sex vinklar på 15 ° genom att titta på tummen och pekfingret, spridda isär i rät vinkel. Den sista avsättningen av vinkeln ska bilda en rät vinkel på marken. Om detta inte fungerade exakt måste du upprepa avsättningarna, hålla den utsträckta handen lite närmare eller längre från ögat (ca 60 cm). Detta kommer att avgöra avståndet du behöver för att sträcka ut din arm för att skapa en 15° vinkel [3] .

Vinklar kan också beräknas (beräknas) med olika mätinstrument och fixturer - med hjälp av trigonometri på en räknelinjal , en teknisk kalkylator (inklusive en miniräknare (Windows) ), med MS Office Excel -tabellfunktioner : (1) cos , (2) sedan arccos , och (3) konvertera, även med funktioner , värdet av radianer till grader (°) (om du har en PC; det finns också onlineberäkningar av vinklarna för en triangel längs givna sidor); Det finns också speciella trigonometriska tabeller: sin, cos, såväl som arccos, arcsin, den senare, förresten, kan (inklusive oftast) omvandlas till grader.

I analytisk geometri ges vinkeln mellan linjer i koordinatplanet till exempel av ekvationen:

\alpha ={\mathrm {arctg}}\,\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|

(se Linjär funktion ; se även #Vinkel och punktprodukt )

Anteckningar

↑ Sidorov L. A. Angle // Mathematical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - Stb. 467-468. - 1248 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.
↑ Faktum är att den verkliga perioden för jordens rotation i förhållande till fixstjärnorna är cirka 4 minuter kortare än 24 timmar, se siderisk tid .
↑ Kuprin A. M. På marken och på kartan. - M. Nedra, 1982. - 112 sid.

Se även

Azimuth (astronomi)
Azimuth (geodesi)
Antiparallella linjer
bländarvinkel
Astronomisk brytning
Dihedral vinkel
Riktningsvinkel
isogon
Castor (hörn)
Magnetisk azimut
Polygon
Lutning , sluttning
Ortogonalitet
Parallella linjer
Rotationsvinkel
Positionsvinkel och vinkelavstånd ( polära koordinater )
polygonometri
Lösa trianglar
Rumb
Syngony
Deklination (astronomi) och timvinkel ( himmelska koordinatsystem )
Gedigen vinkel
triedrisk vinkel
Triangulering
Trigonometrisk parallax & parallaxvinkel
Trigonometri
Vinkelhastighet (& CAV )
hörnfrekvens
Vinkelupplösning
Vinkelacceleration
Lutning ( linjär )
Vinkelstorlek
Euler vinklar
höjdvinkel
Betraktningsvinkel
Linsens synfältsvinkel
glidvinkel
Kategori: Hörn

Litteratur

Barabanov O. O. Beginnings of the history of a right angle // History of science and technology. - 2015. - Nr 1 . - S. 16-27 . '
Pogorelov A. V. Geometry: en lärobok för årskurserna 7-11 i gymnasiet . - M . : Education , 1992. - 383 sid. — ISBN 9785090038546 .
Sidorov L. A. Angle // Mathematical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - Stb. 467-468. - 1248 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.
Dihedral vinkel // Matematisk uppslagsverk : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1979. - T. 2: D - Koo. - Stb. 50. - 1104 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.
Ponarin Ya. P. Elementär geometri. I 2 volymer - M .: MTsNMO , 2004. - S. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0 .
Goniometrar / Vinkel (platt) // Stora sovjetiska encyklopedin (i 30 volymer) / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : "Sovjetisk uppslagsverk", 1977. - T. XXVI. — S. 459‒460. — 624 sid.
Weisstein, Eric W. Line Bisector (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Angle (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Polygon (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
K. Menger. New Fondations of Euclidean Geometry // THE AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS 53: tidskrift. - 1931. - S. 721-745 .
W.A. Wilson. Om vinklar i vissa metriska utrymmen (engelska) // Bulletin of American Mathematical Society 39. - 1932. - P. 580‒588 .