Rektangulärt koordinatsystem

Rektangulärt koordinatsystem - ett rätlinjigt koordinatsystem med inbördes vinkelräta axlar på ett plan eller i rymden. Det enklaste och därför mest använda koordinatsystemet. Den generaliserar mycket enkelt och direkt till utrymmen av alla dimensioner, vilket också bidrar till dess breda tillämpning.

Relaterade termer: Kartesiskt hänvisas vanligen till som ett rektangulärt koordinatsystem med samma skalor längs axlarna (uppkallat efter René Descartes ), och allmänt kartesiskt koordinatsystem hänvisas till som ett affint koordinatsystem (inte nödvändigtvis rektangulärt).

Historik

René Descartes var den första som introducerade ett rektangulärt koordinatsystem i sin Geometri 1637 . Därför kallas det rektangulära koordinatsystemet också - Kartesiskt koordinatsystem . Koordinatmetoden för att beskriva geometriska objekt lade grunden för analytisk geometri. Pierre Fermat bidrog också till utvecklingen av koordinatmetoden , men hans arbete publicerades först efter hans död [1] . Descartes och Fermat använde koordinatmetoden endast på planet. Den franske prästen Nicholas Oresme använde konstruktioner som liknade kartesiska koordinater långt före Descartes och Fermats tid [2] .

Utvecklingen av det kartesiska koordinatsystemet skulle spela en viktig roll i utvecklingen av kalkyl av Isaac Newton och Leibniz [3] . Beskrivningen av planet med två koordinater generaliserades senare till konceptet vektorrum [4] .

Koordinatmetoden för tredimensionell rymd tillämpades först av Leonhard Euler redan på 1700-talet. Användningen av orts verkar gå tillbaka till Hamilton och Maxwell .

Rektangulärt koordinatsystem på planet

Ett rektangulärt koordinatsystem på ett plan bildas av två inbördes vinkelräta koordinataxlar och . Koordinataxlarna skär varandra i en punkt som kallas origo och varje axel har en positiv riktning. $X'X$ $Y'Y$ $O$

Positionen för en punkt på planet bestäms av två koordinater och . Koordinaten är lika med längden på segmentet , koordinaten är längden på segmentet i de valda enheterna. Segment och definieras av linjer ritade från en punkt parallell med axlarna och respektive. $A$ $x$ $y$ $x$ $OB$ $y$ $OC$ $OB$ $OC$ $A$ $Y'Y$ $X'X$

I det här fallet tilldelas ett minustecken till koordinaten om punkten ligger på strålen (och inte på strålen , som i figuren). Ett minustecken tilldelas koordinaten om punkten ligger på strålen . Således och är de negativa riktningarna för koordinataxlarna (varje koordinataxel behandlas som en reell axel ). $x$ $B$ $OXE'$ $OXE$ $y$ $C$ $OY'$ $OXE'$ $OY'$

Axeln kallas abskissaxel ( lat. abscissus - lit. " avskuren, separerad " [5] ), och axeln kallas ordinataaxel ( lat. ordinatus - lit. " ordnad, satt i en viss ordning " [ 5] ). Koordinaten kallas punktens abskiss , koordinaten är punktens ordinata . $X'X$ $Y'Y$ $x$ $A$ $y$ $A$

Symboliskt står det så här:

A(x,\;y)

eller

A = (x,\;y)

eller ange koordinaternas tillhörighet till en specifik punkt med hjälp av indexet:

x_A, x_B

etc.

I det högra koordinatsystemet väljs axlarnas positiva riktning så att när axeln är riktad uppåt ser axeln åt höger. Det är vanligtvis vanligt att använda högerhänta koordinatsystem (om inget annat anges eller uppenbart - till exempel från en ritning; ibland, av någon anledning, är det mer bekvämt att fortfarande använda ett vänsterhänt koordinatsystem). $Y'Y$ $X'X$
De fyra vinklarna (I, II, III, IV) som bildas av koordinataxlarna och kallas koordinatvinklar , fjärdedelar eller $X'X$ $Y'Y$
<plan> kvadranter (se fig. 1).
- Punkter innanför koordinatvinkeln I har positiva abskissor och ordinater.
- Punkter innanför koordinatvinkeln II har negativ abskiss och positiv ordinater.
- Punkter inuti koordinatvinkel III har negativa abskissor och ordinater
- Punkter innanför koordinatvinkeln IV har positiva abskissor och negativa ordinater.

Rektangulärt koordinatsystem i rymden

Ett rektangulärt koordinatsystem i rymden (i detta stycke menas tredimensionellt rymd; för fler flerdimensionella rum, se nedan) bildas av tre ömsesidigt vinkelräta koordinataxlar , och . Koordinataxlarna skär varandra i punkten , som kallas origo för koordinater, på varje axel väljs den positiva riktningen som indikeras av pilarna, och måttenheten för segmenten på axlarna. Enheterna är vanligtvis (inte nödvändigtvis [6] ) desamma för alla axlar. - abskissaxel, - ordinataaxel, - applikataxel. $OXE$ $OY$ $uns$ $O$ $OXE$ $OY$ $uns$

Positionen för en punkt i rymden bestäms av tre koordinater och . Koordinaten är lika med segmentets längd , koordinaten är lika med segmentets längd , koordinaten är segmentets längd i de valda måttenheterna. Segment , och bestäms av plan ritade från en punkt parallell med planen , respektive . $A$ $x$ $y$ $z$ $x$ $OB$ $y$ $OC$ $z$ $OD$ $OB$ $OC$ $OD$ $A$ $YOZ$ $XOZ$ $XOY$

Koordinaten kallas punktens abskiss ,

x

A

koordinat - ordinatpunkt ,

y

A

koordinat - applicera ( lat. applicata - angränsande) [7] poäng .

z

A

Symboliskt står det så här:

A(x,\;y,\;z)

eller

A = (x,\;y,\;z)

eller binda en koordinatpost till en specifik punkt med hjälp av ett index:

x_A,\;y_A,\;z_A

etc.

Varje axel betraktas som en tallinje , det vill säga den har en positiv riktning och negativa koordinatvärden är tilldelade punkter som ligger på den negativa strålen (avståndet tas med ett minustecken). Det vill säga, om till exempel punkten inte låg som i figuren - på strålen , utan på dess fortsättning i motsatt riktning från punkten (på den negativa delen av axeln ), så skulle punktens abskiss vara negativ (minus avståndet ). Likadant för de andra två axlarna. $B$ $OXE$ $O$ $OXE$ $x$ $A$ $OB$

Alla rektangulära koordinatsystem i tredimensionellt utrymme är indelade i två klasser - höger (används också termerna positiv , standard ) och vänster . Vanligtvis försöker de som standard använda högerhänta koordinatsystem och när de visas grafiskt placeras de även om möjligt i en av flera vanliga (traditionella) positioner. (Figur 2 visar det högra koordinatsystemet). De högra och vänstra koordinatsystemen kan inte kombineras genom rotationer [8] så att motsvarande axlar (och deras riktningar) sammanfaller. Du kan bestämma vilken klass ett visst koordinatsystem tillhör med hjälp av högerregeln, skruvregeln , etc. (axlarnas positiva riktning väljs så att när axeln roteras 90° moturs så sammanfaller dess positiva riktning med axelns positiva riktning , om denna rotation observeras från sidan av axelns positiva riktning ). $OXE$ $OY$ $uns$

Vilket som helst av de åtta områdena i vilka rymden delas av tre ömsesidigt vinkelräta koordinatplan kallas en oktant .

Rektangulärt koordinatsystem i flerdimensionellt utrymme

Det rektangulära koordinatsystemet kan också användas i ett utrymme av valfri ändlig dimension på samma sätt som det görs för ett tredimensionellt utrymme. Antalet koordinataxlar i detta fall är lika med utrymmets dimension (i det här avsnittet kommer vi att beteckna det som ). $n$

Koordinater betecknas vanligtvis [9] inte med olika bokstäver, utan med samma bokstav med ett numeriskt index. Oftast är det:

x_1, x_2, x_3,\dots x_n.

För att ange en godtycklig koordinat från denna uppsättning, används ett bokstavsindex: $i$

x_{i},

och ofta används notationen också för att beteckna hela uppsättningen, vilket innebär att indexet går igenom hela uppsättningen värden: . $x_{i},$ $i = 1, 2, 3, \dots n$

I alla dimensioner av rymden delas rektangulära koordinatsystem in i två klasser, höger och vänster (eller positiva och negativa). För flerdimensionella rum kallas ett av koordinatsystemen godtyckligt (villkorligt) höger, och resten är höger eller vänster, beroende på om de har samma orientering eller inte [10] .

En generalisering av begreppen en tvådimensionell kvadrant och en tredimensionell oktant för -dimensionell euklidisk rymd är en ortant eller hyperoktant. $n$

Rektangulära vektorkoordinater

För att bestämma de rektangulära koordinaterna för en vektor (används för att representera vektorer av vilken dimension som helst), kan man utgå från det faktum att koordinaterna för en vektor (riktat segment), vars början är vid ursprunget, sammanfaller med koordinaterna för dess slut [11] .

Således är till exempel koordinaterna i fig. 1 vektorns koordinater . $(x,y)$ $\vec{OA}$

För vektorer (riktade segment) vars ursprung inte sammanfaller med ursprunget kan rektangulära koordinater bestämmas på ett av två sätt:

Vektorn kan flyttas så att dess ursprung sammanfaller med ursprunget). Därefter bestäms dess koordinater på det sätt som beskrivs i början av stycket: koordinaterna för en vektor översatt så att dess ursprung sammanfaller med ursprunget är koordinaterna för dess ände.
Istället kan du helt enkelt subtrahera från koordinaterna för slutet av vektorn (riktat segment) koordinaterna för dess början.

För rektangulära koordinater sammanfaller konceptet med en vektorkoordinat med konceptet med en ortogonal projektion av en vektor på riktningen för motsvarande koordinataxel.

I rektangulära koordinater skrivs alla operationer på vektorer mycket enkelt:

Addition och multiplikation med en skalär:

\mathbf a + \mathbf b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \dots, a_n + b_n)

eller

(\mathbf a + \mathbf b)_i = a_i + b_i,

c\ \mathbf a = (c\ a_1, c\ a_2, c\ a_3, \dots, c\ a_n)

eller

(c\ \mathbf a)_i = c\ a_i.

och därav subtraktionen och divisionen med en skalär:

\mathbf a - \mathbf b = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3, \dots, a_n - b_n)

eller

(\mathbf a - \mathbf b)_i = a_i - b_i,

\frac{\mathbf a}{\lambda} = \Big(\frac{a_1}{\lambda}, \frac{a_2}{\lambda}, \frac{a_3}{\lambda}, \dots, \frac {a_n}{\lambda}\Big)

eller

\Big(\frac{\mathbf a}{\lambda}\Big)_i = \frac{a_i}{\lambda}.

(Detta gäller för alla dimensioner n och jämnt, tillsammans med rektangulära koordinater, för sneda koordinater).

Punktprodukt :

\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \dots + a_n b_n

eller

\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i,

(Endast i rektangulära koordinater med enhetsskala på alla axlar).

Genom den skalära produkten kan du beräkna längden på vektorn

|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}

och vinkeln mellan vektorerna

\angle{(\mathbf a, \mathbf b)} = \mathrm{arccos}\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|}

Externt arbete :

(\mathbf a \and \mathbf b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i

för alla dimensioner av utrymme,

Vektorprodukt (endast för samma tredimensionella utrymme som den är definierad på):

(\mathbf a \times \mathbf b)_x = a_y b_z - a_z b_y

(\mathbf a \times \mathbf b)_y = a_z b_x - a_x b_z

(\mathbf a \times \mathbf b)_z = a_x b_y - a_y b_x

Uppenbarligen tillåter allt detta, om nödvändigt, att reducera alla operationer på vektorer till ganska enkla operationer på siffror.

Horts

Ett rektangulärt koordinatsystem [12] (av vilken dimension som helst) beskrivs också [13] av en uppsättning orts (enhetsvektorer) som är samriktade med koordinataxlarna. Antalet orter är lika med koordinatsystemets dimension, och de är alla vinkelräta mot varandra. Sådana orts utgör en bas , dessutom ortonormala [14] .

I det tredimensionella fallet betecknas sådana vektorer vanligtvis

\mathbf{i}

, och

\mathbf {j}

\mathbf {k}

eller

\mathbf{e}_x

, och .

\mathbf{e}_y

\mathbf{e}_z

Pilnotation ( , och eller , och ) eller annan notation i enlighet med det vanliga sättet att notera vektorer i en eller annan litteratur kan också användas. $\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ $\vec{e}_z$

Dessutom, i fallet med ett högerkoordinatsystem, är följande formler med vektorprodukter av vektorer giltiga:

$[\mathbf{i}\,,\mathbf{j}]=\mathbf{k};$
$[\mathbf{j}\,,\mathbf{k}]=\mathbf{i};$
$[\mathbf{k}\,,\mathbf{i}]=\mathbf{j}.$

För dimensioner högre än 3 (eller för det allmänna fallet när dimensionen kan vara vilken som helst) är det vanligt att enhetsvektorer istället använder notationen med numeriska index, ganska ofta [15 ]

\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3,\dots \mathbf{e}_n,

där n är rummets dimension.

En vektor av valfri dimension sönderdelas enligt basen (koordinater fungerar som expansionskoefficienter):

\mathbf a = a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2 + a_3\mathbf e_3 + \dots + a_n\mathbf e_n

eller

\mathbf a = \sum\limits_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,

och för ortonormal basis är koordinaterna också mycket lätta att hitta genom skalära produkter med orts:

a_i = \mathbf a \cdot \mathbf e_i.

Se även

Anteckningar

↑ Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. Analytisk geometri . Encyclopædia Britannica . Hämtad 6 augusti 2017. Arkiverad från originalet 6 augusti 2017. (obestämd)
↑ Kent, Alexander J. Routledge-handboken för kartläggning och kartografi : [ eng. ] / Alexander J. Kent, Peter Vujakovic. — Routledge, 2017-10-04. — ISBN 9781317568216 . Arkiverad 24 november 2021 på Wayback Machine
↑ A Tour of the Calculus, David Berlinski
↑ Axler, Sheldon. Linjär algebra gjort rätt - Springer. - 2015. - P. 1. - ISBN 978-3-319-11079-0 . - doi : 10.1007/978-3-319-11080-6 .
↑ 1 2 Ordbok över främmande ord. — M.: Rus. yaz., 1989. - 624 sid. ISBN 5-200-00408-8
↑ Ibland är det helt enkelt fundamentalt omöjligt om värden av olika fysiska dimensioner plottas längs axlarna; dock ur geometrisk synvinkel är denna anmärkning inte särskilt betydelsefull, eftersom man då kan anse skalorna längs axlarna vara villkorligt lika (till exempel skalor så att enheterna sammanfaller när de avbildas på ett geometriskt plan).
↑ Ordbok över främmande ord. - M .: " Ryskt språk ", 1989. - 624 sid. ISBN 5-200-00408-8
↑ Du kan förvandla ett höger koordinatsystem till ett vänster och vice versa med hjälp av spegling.
↑ Men inte nödvändigtvis: frågan om notation bestäms i slutändan av den speciella tillämpningen.
↑ Detta kan utrönas utifrån om det är möjligt att genom vissa rotationer (och översättningar, om ursprunget för koordinater inte sammanfaller) kombinera ett givet koordinatsystem med ett vars orientering är högerhänt per definition. Om ja, då anses detta system vara höger, om inte, då vänster. Det är ännu lättare tekniskt att ta reda på det genom tecknet för determinanten för transformationsmatrisen från rätt bas till den givna.
↑ Slutet av det riktade segmentet är en punkt; rektangulära koordinater för en punkt diskuteras i artikeln ovan.
↑ I detta stycke menar vi det vanliga kartesiska koordinatsystemet, det vill säga ett rektangulärt koordinatsystem med samma skala längs alla axlar; övervägande av koordinatsystem med olika skalor längs olika axlar skulle här medföra omotiverade formella komplikationer med en ganska liten vinst i innehåll.
↑ Denna beskrivning är uppenbarligen helt likvärdig med den vanliga inställningen av koordinataxlarna, du behöver bara ange ursprunget för koordinaterna (det senare är ofta självklart som standard).
↑ Om du vägrar villkoret för lika skala för koordinataxlarna - bara en ortogonal bas .
↑ Andra bokstäver kan dock ofta användas istället för bokstaven e . Detta anges i regel uttryckligen.

Länkar

V. I. Gervids. Kartesisk koordinatsystemsmodell (blixt). NRNU MEPhI (10.03.2011). Hämtad: 3 maj 2011. (obestämd)

Koordinatsystem
Namn på koordinater	Abskissa Ordinera Applikation
Typer av koordinatsystem	Rättlinjigt koordinatsystem Krökt koordinatsystem
2D-koordinater	Biangulära koordinater Bicentriska koordinater Hyperboliska koordinater Polära koordinater Bipolära koordinater Paraboliska koordinater Elliptiska koordinater Tetracykliska koordinater Trilinjära koordinater
3D-koordinater	Cylindriska koordinater Sfäriska koordinater Bisfäriska koordinater Toroidformade koordinater Cylindriska paraboliska koordinater Bicylindriska koordinater Ellipsoidala koordinater Koniska koordinater Pentasfäriska koordinater Dipolärt koordinatsystem
$n$ -dimensionella koordinater	kartesiska koordinater Affina koordinater Projektiva koordinater Plücker-koordinater barycentriska koordinater
Fysiska koordinater	Rindler koordinater Födda koordinater Himmelskt koordinatsystem Geografiska koordinater Huvudortodromt koordinatsystem
Relaterade definitioner	Koordinatmetod Ursprung Koordinataxel Vektor Orth referenssystem Benchmark Lama koefficienter Metrisk tensor