Omvända trigonometriska funktioner

Inversa trigonometriska funktioner ( cirkulära funktioner , bågfunktioner ) är matematiska funktioner som är inversa till trigonometriska funktioner . Inversa trigonometriska funktioner inkluderar vanligtvis sex funktioner:

arcsinus (symbol: vinkel vars sinus är ) $\arcsin x;$ $x$
arccosinus (symbol: vinkeln vars cosinus är lika med, etc.) $\arccos x;$ $x$
arctangens (symbol: ; i utländsk litteratur ) $\operatörsnamn {arctg} x$ $\arctan x$
bågtangens (symbol: ; i utländsk litteratur eller ) $\operatörsnamn {arcctg} x$ $\operatörsnamn {arccot} x$ $\operatörsnamn {arccotan} x$
arcscanant (symbol: ) $\operatörsnamn {arcsec} x$
arccosecant (symbol: ; i utländsk litteratur ) $\operatörsnamn {arccosec} x$ $\operatörsnamn {arccsc} x$

Namnet på den inversa trigonometriska funktionen bildas från namnet på motsvarande trigonometriska funktion genom att lägga till prefixet "båge-" (från latin arc us - båge). Detta beror på det faktum att geometriskt sett kan värdet av den inversa trigonometriska funktionen associeras med längden på bågen av en enhetscirkel (eller vinkeln som underordnar denna båge) som motsvarar ett eller annat segment. Så, den vanliga sinusen låter dig hitta ackordet genom att subtrahera det längs cirkelbågen, och den omvända funktionen löser det motsatta problemet. Sättet att beteckna inversa trigonometriska funktioner på detta sätt dök upp hos den österrikiska matematikern på 1700-talet, Karl Scherfer , och fixades tack vare Lagrange . För första gången användes en speciell symbol för den omvända trigonometriska funktionen av Daniel Bernoulli 1729. Fram till slutet av 1800-talet erbjöd de engelska och tyska matematiska skolorna andra notationer: men de slog inte rot [1] . Endast ibland i utländsk litteratur, såväl som i vetenskapliga/tekniska miniräknare, använder de notationer som sin -1 , cos -1 för arcsine, arccosine, etc. [2] - en sådan notation anses inte särskilt bekväm, eftersom förvirring är möjlig med att höja funktionen till −1. $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin )),$

Trigonometriska funktioner är periodiska, så funktionerna som är omvända till dem är flervärdiga. Det vill säga värdet på bågfunktionen är den uppsättning vinklar ( bågar ) för vilka den motsvarande direkta trigonometriska funktionen är lika med ett givet tal. Betyder till exempel en uppsättning vinklar vars sinus är . Från uppsättningen av värden för varje bågfunktion är dess huvudvärden utpekade (se grafer över huvudvärdena för bågfunktionerna nedan), som vanligtvis menas när man talar om arcsine, arccosine, etc. $\arcsin 1/2$ $\left ( \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6} \dots ~ (30 ^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ \dots) \right )$ $1/2$

I det allmänna fallet, under villkoret , kan alla lösningar av ekvationen representeras som [3] $-1\leqslant \alpha \leqslant 1$ $\sinx=\alfa$ $x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.$

Grundförhållande

\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2))

\operatörsnamn {arctg}\,x+\operatörsnamn {arctg}\,x={\frac {\pi }{2))

arcsin funktion

Bågen för talet x är värdet på vinkeln y , uttryckt i radianer , för vilken $\sin y=x,\quad -{\frac {\pi }{2))\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2)),\quad |x|\leqslant 1.$

Funktionen är kontinuerlig och avgränsad genom hela sin definitionsdomän. Det ökar strikt. $y=\arcsin x$

$\sin(\arcsin x)=x\qquad$ på $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arcsin(\sin y)=y\qquad$ på $-{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},$
$D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad$ (domän),
$E(\arcsin x)=\vänster[-{\frac {\pi }{2));{\frac {\pi }{2))\höger]\qquad$ (värdeintervall).

Egenskaper för arcsin-funktionen

$\arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad$ (funktionen är udda ).
$\arcsin x>0$ kl . $0<x\leqslant 1$
$\arcsin x=0$ på $x=0.$
$\arcsin x<0$ på $-1\leqslant x<0.$
$\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x.$
$\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matris}}\right.$
$\arcsin x=\operatörsnamn {arctg}{\frac {x}({\sqrt {1-x^{2))))}$
$\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatörsnamn {arcctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad 0<x\ leqslant 1\\\operatörsnamn {arcctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matris }}\höger.$

Hämta arcsin-funktionen

Givet en funktion . På hela sin definitionsdomän är den bitvis monoton , och därför är den omvända överensstämmelsen inte en funktion på hela tallinjen . Tänk därför på segmentet där funktionen är strikt monotont ökande och tar alla värden i sitt värdeområde endast en gång. Sedan finns det en invers funktion på intervallet , vars graf är symmetrisk med grafen för funktionen med avseende på den räta linjen . $y=\sin x$ $y=\arcsin x$ $[-\pi /2;\pi /2]$ $y=\sin x$ $[-\pi /2;\pi /2]$ $y=\arcsin x$ $y=\sin x$ $y=x$

arccos funktion

Arccosinus för ett tal x är värdet av vinkeln y i radianmått, för vilket $\cos y=x,\qquad 0\leqslant y\leqslant \pi ,\quad |x|\leqslant 1.$

Funktionen är kontinuerlig och avgränsad genom hela sin definitionsdomän. Den är strikt minskande och icke-negativ. $y=\arccos x$

$\cos(\arccos x)=x$ på $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arccos(\cos y)=y$ på $0\leqslant y\leqslant \pi .$
$D(\arccos x)=[-1;1]$ (domän),
$E(\arccos x)=[0;\pi ]$ (värdeintervall).

Egenskaper för arccos-funktionen

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x.$ Funktionen är centralt symmetrisk med avseende på punkten och är indifferent (varken jämn eller udda) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\höger),$
$\arccos x>0$ på $-1\leqslant x<1.$
$\arccos x=0$ på $x=1.$
$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.$
$\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin { \sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matris}}\right.$
$\arccos x=\operatörsnamn {arcctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatörsnamn {arctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad 0<x\ leqslant 1\\\pi +\operatörsnamn {arctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad -1\leqslant x<0\end{matris }}\höger.$
$\arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2))}$
$\arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2))}$
$\arccos x=2\operatörsnamn {arctg}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}$

Hämta arccos-funktionen

Givet en funktion . På hela sin definitionsdomän är den bitvis monoton , och därför är den omvända överensstämmelsen inte en funktion på hela tallinjen . Tänk därför på segmentet där funktionen är strikt monotont avtagande och tar alla värden i dess värdeområde endast en gång. Sedan finns det en invers funktion på intervallet , vars graf är symmetrisk med grafen för funktionen med avseende på den räta linjen . $y=\cos x$ $y=\arccos x$ $[0;\pi]$ $y=\cos x$ $[0;\pi]$ $y=\arccos x$ $y=\cos x$ $y=x$

arctg funktion

Arktangensen för talet x är värdet på vinkeln uttryckt i radianer , för vilken $y,$ $\operatorname {tg} y=x,\quad -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}.$

Funktionen är definierad på hela den reella linjen, kontinuerlig och avgränsad överallt. Det ökar strikt. $y=\operatörsnamn {arctg}x$

$\operatörsnamn {tg}\,(\operatörsnamn {arctg}\,x)=x$ på $x\in {\mathbb R},$
$\operatörsnamn {arctg}\,(\operatörsnamn {tg}\,y)=y$ på $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},$
$D(\operatörsnamn {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty )$ (domän),
$E(\operatörsnamn {arctg}\,x)=\vänster(-{\frac {\pi }{2));{\frac {\pi}{2))\höger)$ (värdeintervall).

Egenskaper för arctg-funktionen

$\operatörsnamn {arctg}(-x)=-\operatörsnamn {arctg}x\qquad$ (funktionen är udda ).
$\operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2))))$
$\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\geqslant 0\ \-\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\operatörsnamn {arctg} x=\pi /2-\operatörsnamn {arctg} x.$
$\operatörsnamn {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatörsnamn {arcctg} {\frac {1}{x)),\qquad x>0\\\operatörsnamn {arcctg} {\ frac {1}{x}}-\pi ,\qquad x<0\end{matris}}\right.$
${\displaystyle \operatörsnamn {arctg} x=-i\operatörsnamn {arth} {ix))$ , där är den inversa hyperboliska tangenten, areatangens . $\operatörsnamn {arth}$
$\operatörsnamn {arth} x=i\operatörsnamn {arctg} {ix}.$

Hämta funktionen arctg

Givet en funktion . Det är bitvis monotont genom hela sitt definitionsområde , och därför är den omvända överensstämmelsen inte en funktion. Tänk därför på intervallet där funktionen är strikt monotont ökande och tar alla värden i sitt intervall bara en gång. Sedan finns det en invers funktion på intervallet vars graf är symmetrisk med grafen för funktionen med avseende på den räta linjen . $y=\operatörsnamn {tg}\,x$ $y=\operatörsnamn {arctg}\,x$ $(-\pi /2;\pi /2)$ $y=\operatörsnamn {tg}\,x$ $(-\pi /2;\pi /2)$ $y=\operatörsnamn {arctg}\,x$ $y=\operatörsnamn {tg}\,x$ $y=x$

arcctg funktion

Bågtangensen för ett tal x är värdet av vinkeln y (i radianmått på vinklar) för vilken $\operatörsnamn {ctg} \,y=x,\quad 0<y<\pi .$

Funktionen är definierad på hela den reella linjen, kontinuerlig och avgränsad överallt. Det är strikt minskande och överallt positivt. $y=\operatörsnamn {arctg}\,x$

$\operatörsnamn {ctg} (\operatörsnamn {arcctg} \,x)=x$ på $x\in {\mathbb R},$
$\operatörsnamn {arcctg} (\operatörsnamn {ctg} \,y)=y$ på $0<y<\pi ,$
$D(\operatörsnamn {arcctg} x)=(-\infty ;\infty ),$
$E(\operatörsnamn {arcctg} x)=(0;\pi ).$

egenskaper för arcctg-funktionen

$\operatörsnamn {arcctg} (-x)=\pi -\operatörsnamn {arcctg} x.$ Funktionens graf är centralt symmetrisk med avseende på punkten Funktionen är indifferent (varken jämn eller udda) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\höger).$
$\operatorname {arcctg} x>0$ för alla $x.$
$\operatorname {arcctg} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2))))$
$\operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\geqslant 0\ \\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\leqslant 0\end{matris}}\right.$
$\operatörsnamn{arctg} x = \pi/2-\operatörsnamn{arctg} x.$
$\operatörsnamn {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatörsnamn {arctg} {\frac {1}{x)),\qquad x>0\\\operatörsnamn {arctg} {\ frac {1}{x}}+\pi ,\qquad x<0\end{matris}}\right.$

Hämta funktionen arcctg

Givet en funktion . Det är bitvis monotont genom hela sitt definitionsområde , och därför är den omvända överensstämmelsen inte en funktion. Tänk därför på intervallet där funktionen minskar strikt monotont och tar alla värden i sitt intervall bara en gång. Sedan finns det en invers funktion på intervallet vars graf är symmetrisk med grafen för funktionen med avseende på den räta linjen . $y=\operatörsnamn {ctg}\,x$ $y=\operatörsnamn {arctg}\,x$ $(0;\pi )$ $y=\operatörsnamn {ctg}\,x$ $(0;\pi )$ $y=\operatörsnamn {arctg}\,x$ $y=\operatörsnamn {ctg}\,x$ $y=x$

Diagrammet för bågtangensen erhålls från kurvan för bågtansen om den senare reflekteras längs y-axeln (det vill säga ersätt tecknet för argumentet, ) och skiftas upp med π / 2 ; detta följer av ovanstående formel $x\högerpil -x$ $\operatörsnamn {arctg}x=\operatörsnamn {arctg}(-x)+\pi /2.$

arcsec funktion

Bågsekanten för ett tal x är värdet av vinkeln y (i radianmått på vinklar) för vilken $\sec y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad 0\leqslant y\leqslant \pi .$

Funktionen är kontinuerlig och avgränsad genom hela sin definitionsdomän. Det är strikt ökande och överallt icke-negativt. $y=\operatörsnamn {arcsec} x$

$\sec(\operatörsnamn {arcsec} x)=x$ på $|x|\geqslant 1,$
$\operatörsnamn {arcsec}(\sec y)=y$ på $0\leqslant y\leqslant \pi .$
$D(\operatörsnamn {arcsec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (domän),
$E(\operatörsnamn {arcsec} x)=[0;{\frac {\pi }{2)))\cup ({\frac {\pi}{2));\pi ]$ (värdeintervall).

Egenskaper för arcsec-funktionen

$\operatörsnamn {arcsec}(-x)=\pi -\operatörsnamn {arcsec} x.$ Funktionens graf är centralt symmetrisk med avseende på punkten Funktionen är indifferent (varken jämn eller udda) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\höger).$
$\operatörsnamn {arcsec} x\geqslant 0$ för alla $x.$
$\operatorname {arcsec} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x)),\qquad x\geqslant 1\ \\pi +\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\leqslant -1\end{matris}}\right.$
$\operatörsnamn {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\operatörsnamn {arccosec} x.$
$\operatörsnamn {arcsec} x=\arccos {\frac {1}{x)).$

arccosec funktion

Arccosekanten för ett tal x är värdet på vinkeln y (i radianmått på vinklar) för vilken $\operatorname {cosec} y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad -\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$

Funktionen är kontinuerlig och avgränsad genom hela sin definitionsdomän. Det minskar strikt. $y=\operatörsnamn {arccosec} x$

$\operatörsnamn {cosec} (\operatörsnamn {arccosec} x)=x$ på $|x|\geqslant 1,$
$\operatörsnamn {arccosec} (\operatörsnamn {cosec} y)=y$ på $-\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$
$D(\operatörsnamn {arccosec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (domän),
$E(\operatörsnamn {arccosec} x)=[-{\frac {\pi }{2));0)\cup (0;{\frac {\pi }{2))]$ (värdeintervall).

Egenskaper för arccosec-funktionen

$\operatörsnamn {arccosec} (-x)=-\operatörsnamn {arccosec} x$ (funktionen är udda ).
$\operatörsnamn {arccosec} \,x=\operatörsnamn {arctg} {\frac {\operatörsnamn {sgn} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\left\{{\begin {matris}\operatörsnamn {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x>1\\-\operatörsnamn {arctg} {\frac {1}{\ sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x<-1\end{matris}}\right.$
$\operatörsnamn {arccosec} x=\pi /2-\operatörsnamn {arcsec} x.$
$\operatörsnamn {arccosec} x=\arcsin {\frac {1}{x)).$

Expansion till serie

$\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{{n=0} }^{{\infty }}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{{2n+1}}$ för alla [4] $\left|x\right|\leq 1$
$\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{{n=0}}^({\infty }}{\frac {(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}$ för alla $\left|x\right|\leq 1$
$\displaystyle \operatörsnamn {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\ summa _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ för alla $\left|x\right|\leq 1$

Derivator av inversa trigonometriska funktioner

Alla inversa trigonometriska funktioner är oändligt differentierbara vid varje punkt i deras definitionsdomän. Första derivator:

Fungera $f(x)$	Derivat $f'(x)$	Notera
$\arcsin {x}$	${\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Bevis Du kan hitta derivatan av arcsine genom att använda ömsesidigt inversa funktioner. Därefter måste vi ta derivatan av dessa två funktioner. Nu måste vi uttrycka derivatan av arcsine. Baserat på den trigonometriska identiteten ( ) - får vi. För att förstå att plus ska vara eller minus, låt oss ta en titt på vilka värden. Eftersom cosinus är i 2:a och 4:e kvadranten visar det sig att cosinus är positivt. Det visar sig. $sin(arcsin((x))=x$ $[sin(arcsin((x))]'=x'$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))))$ $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))}$ $D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2);-{\frac {\pi }{2))]$ ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x)))))))$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos {x}$	$-{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Bevis Du kan hitta derivatan av arccosine med denna identitet: Nu hittar vi derivatan av båda delarna av denna identitet. Nu uttrycker vi derivatan av arccosine. Det visar sig. $arcsin(x)+arccos(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arcsin(x)+arccos(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arcsin(x))'+(arccos(x))'=0$ $(arccos(x))'=-(arcsin(x))'$ $(arccos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\mathrm {arctg} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2))))$	Bevis Du kan hitta derivatan av bågtangensen med hjälp av den reciproka funktionen: Nu hittar vi derivatan av båda delarna av denna identitet. Nu måste vi uttrycka derivatan av bågtangens: Nu kommer identiteten ( ) till vår hjälp : Det visar sig. $tg(arctg(x))=x$ $[tg(arctg(x))]'=1$ ${\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))))\cdot (arctg(x))'=1$ $(arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))$ ${\displaystyle cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x)))))$ ${\displaystyle (arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x)))))^{2))$ ${\displaystyle (arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcctg} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2))))$	Bevis Du kan hitta derivatan av den inversa tangenten med hjälp av denna identitet: Nu hittar vi derivatan av båda delarna av denna identitet. Nu uttrycker vi derivatan av den inversa tangenten. Det visar sig. $arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arctg(x))'+(arctg(x))'=0$ $(arctg(x))'=-(arctg(x))'$ ${\displaystyle (arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcsec} \ x$	${\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Bevis Du kan hitta derivatan av arcsecan med hjälp av identiteten: $arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x)))$ Nu finner vi derivatan av båda delarna av denna identitet. $(arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x))))'$ $(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2))))))\cdot (-{\frac {1 }{x^{2}}})$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2))))))))$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}$ Det visar sig. $(arcsec(x))'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arccosec} \ x$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Bevis Du kan hitta derivatan av bågkosekanten med hjälp av denna identitet: Nu hittar vi derivatan av båda delarna av denna identitet. Nu uttrycker vi derivatan av arccosine. Det visar sig. $arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0$ $(arccosec(x))'=-(arcsec(x))'$ $(arccosec(x))'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$

Integraler av inversa trigonometriska funktioner

Obestämda integraler

För verkliga och komplexa x :

{\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2))}+C,\\\int \arccos x\,dx&{ }=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatörsnamn {arctg}\,x\,dx&{}=x\,\operatörsnamn {arctg }\,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatörsnamn {arcctg}\,x\,dx&{} =x\,\operatörsnamn {arcctg}\,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatörsnamn{arcsec} x \,dx&{}=x\,\operatörsnamn{arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \över x^{2))}\ ,\right)\!\right)+C,\\\int \operatörsnamn {arccosec}\,x\,dx&{}=x\,\operatörsnamn {arccosec}\,x+\ln \left(x\left( 1+{\sqrt {{x^{2}-1} \över x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{aligned}}

För riktiga x ≥ 1:

{\begin{aligned}\int \operatörsnamn{arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatörsnamn{arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\ höger)+C,\\\int \operatörsnamn {arccosec}\,x\,dx&{}=x\,\operatörsnamn {arccosec}\,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}- 1}}\right)+C.\end{aligned}}

Se även Lista över integraler av inversa trigonometriska funktioner

Använd i geometri

Inversa trigonometriska funktioner används för att beräkna vinklarna för en triangel om dess sidor är kända, till exempel genom att använda cosinussatsen .

I en rätvinklig triangel ger dessa funktioner av förhållandena mellan sidorna omedelbart vinkeln. Så, om längden ben är motsatt vinkeln , då $a$ $\alfa$

$\alpha =\arcsin(a/c)=\arccos(b/c)=\operatörsnamn {arctg} (a/b)=\operatörsnamn {arccosec} (c/a)=\operatörsnamn {arcsec}( c/b)=\operatörsnamn {arctg} (b/a).$

Anslutning till den naturliga logaritmen

För att beräkna värdena för inversa trigonometriska funktioner från ett komplext argument är det bekvämt att använda formler som uttrycker dem i termer av den naturliga logaritmen:

{\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-i\ ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}}),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatörsnamn {arctg}\,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned} }

{\begin{aligned}\operatörsnamn {arcctg}\,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {zi}{z}}\right)-\ ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatörsnamn{arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{{-1}}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left( {\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2))))}+{\dfrac {i}{z}}\right),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatörsnamn {arccosec}\,z&{}=\arcsin \left(z^{{-1}}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).\end{aligned}}

Se även

Anteckningar

↑ Alexandrova N. V. Historia om matematiska termer, begrepp, notation: Ordbok-referensbok, ed. 3:a . - St Petersburg. : LKI, 2008. - S. 211 . - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Här definierar tecknet −1 funktionen x = f −1 ( y ), inversen av funktionen y = f ( x )
↑ Encyclopedic Dictionary, 1985 , sid. 220.
↑ Med ett värde på x nära 1 ger denna beräkningsformel ett stort fel. Därför kan du använda formeln var $\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2},$ $\arccos x = {\pi\över 2}-\arcsin x$

Länkar

Weisstein, Eric W. Inversa trigonometriska funktioner på Wolfram MathWorld .
Matematisk uppslagsverk / Kap. ed. I. M. Vinogradov. - M .: "Sovjetisk uppslagsverk", 1982. - [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0% 9D%D0%AB%D0%95 V. 3. - sid. 1135].
Omvända trigonometriska funktioner - artikel från Great Soviet Encyclopedia . - M .: "Sovjetisk uppslagsverk", 1974. - T. 18. - sid. 225.
Omvända trigonometriska funktioner // Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician / Savin A.P. - M . : Pedagogy, 1985. - S. 220-221. — 352 sid.
Plotta inversa trigonometriska funktioner online
Onlineräknare: omvända trigonometriska funktioner

Trigonometri
Allmän	Trigonometri översikt Berättelse Användande Funktioner Omvänd Sällan använd Generaliserad trigonometri
Katalog	Identiteter Exakta konstanter tabeller enhetscirkel
Lagar och satser	Sinussats Pythagoras sats Cosinussats Tangentsats Cotangenssats Lösa trianglar
Matematisk analys	Trigonometrisk substitution Integraler ( omvända funktioner ) Derivat