Kurvlängd

Längden på kurvan (eller, vad som är densamma, längden på kurvans båge ) är en numerisk egenskap för längden på denna kurva [1] . Historiskt sett kallades beräkningen av en kurvas längd kurvrätning (av latin rectificatio , uträtning).

Definition

För det euklidiska utrymmet definieras längden av ett kurvsegment som den minsta övre gränsen för längderna av streckade linjer inskrivna i kurvan.

Låt till exempel en kontinuerlig kurva i tredimensionellt utrymme ges parametriskt: $\gamma$

x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)

(ett)

där alla tre funktionerna är kontinuerliga och det inte finns flera punkter, det vill säga olika punkter på kurvan motsvarar olika värden. Vi konstruerar alla möjliga partitioner av det parametriska intervallet i segment: . Att koppla ihop punkterna i en kurva med linjesegment ger en streckad linje. Då definieras kurvsegmentets längd som den minsta övre gränsen av de totala längderna av alla sådana streckade linjer [2] . $a\leqslant t\leqslant b$ $t$ $[a,b]$ $m$ $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{m}=b$ $\gamma (t_{0}),\dots ,\gamma (t_{m})$

Relaterade definitioner

Varje kurva har en längd, ändlig eller oändlig. Om längden på kurvan är ändlig, sägs kurvan vara likriktbar , annars är den icke likriktbar . Koch-snöflingan är ett klassiskt exempel på en avgränsad men icke korrigerbar kurva; dessutom är vilken som helst, godtyckligt liten av dess båge icke-korrigeringsbar [3] .
Parametriseringen av en kurva med längden på dess båge kallas naturlig .
En kurva är ett specialfall av en funktion från ett segment till rymden. Variationen av funktionen , definierad i matematisk analys, är en generalisering av kurvans längd (se nedan).

Egenskaper

Om alla funktioner i (1) är funktioner av begränsad variation , så existerar längden på kurvan och är ändlig.

I matematisk analys härleds en formel för att beräkna längden på ett segment av en kurva som ges av ekvationerna (1), förutsatt att alla tre funktionerna är kontinuerligt differentierbara : $s$

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2} (t)}}\,dt

(2)

Formeln innebär att längden även räknas i riktning mot ökande parameter t . Om två olika riktningar för att räkna längden från en punkt i kurvan övervägs, är det ofta bekvämt att tilldela bågen ett minustecken i en av dessa riktningar.

a\leqslant b

I det n -dimensionella fallet har vi istället för (2) en liknande formel:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{{k=1}}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)} }\,dt

Om en plan kurva ges av ekvationen där är en jämn funktion på intervallet av parametervärden , så bestäms kurvans längd av formeln: $y=f(x),$ $f$ $[a,b]$

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2))}\,dx.

I polära koordinater :

(r,\varphi)

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}}}\, d\varphi .

Croftons formel gör det möjligt att relatera längden på en kurva på ett plan och integralen av antalet skärningar med linjer i ett naturligt mått på linjens rymd.

Historik

Rätningsproblemet visade sig vara mycket svårare än att beräkna arean och i forna tider utfördes den enda framgångsrika rätningen för en cirkel . Descartes uttryckte till och med åsikten att " förhållandet mellan raka linjer och kurvor är okänt och, tror jag, inte ens kan kännas av människor " [4] [5] .

Den första bedriften var uträtning av Neils parabel ( 1657 ), utförd av Fermat och Neil själv . Längden på cykloidens båge hittades snart ( Renne , Huygens ). James Gregory (även före upptäckten av kalkyl ) skapade en allmän teori för att hitta längden på en båge, som omedelbart användes för olika kurvor.

Variationer och generaliseringar

Riemannska rymden

I ett n - dimensionellt Riemann-utrymme med koordinater ges kurvan av parametriska ekvationer: $x^{1}\cdots x^{n}$

x^{i}=x^{i}(t)\qquad \qquad

((3))

Längden på en kurva i ett riemannskt utrymme ges av:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{{ij}}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}\,dt

där: är den metriska tensorn . Exempel: kurva på en yta i . $g_{ij}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Allmänt metriskt utrymme

I ett mer allmänt fall av ett godtyckligt metriskt utrymme är längden på en kurva en variation av den mappning som definierar kurvan, det vill säga att längden på kurvan bestäms enligt formeln: $(X,\rho)$ $S$ $\gamma :[a,b]\till X$

s=\sup \sum \limits _{{k=0}}^{m}\rho (\gamma (x_{{k+1}}),\gamma (x_{k})),

där den övre gränsen tas, som tidigare, över alla partitioner av segmentet . $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{m}=b$ $[a,b]$

Se även

Anteckningar

↑ Längd // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 2.
↑ Shibinsky, 2007 , sid. 199.
↑ Shibinsky, 2007 , sid. 201-202.
↑ René Descartes. Geometri. Med tillämpning av utvalda verk av P. Fermat och korrespondens från Descartes / Översättning, anteckningar och artiklar av A. P. Yushkevich . - M. - L .: Gostekhizdat , 1938. - S. 49. - 297 sid. - (Klassiker inom naturvetenskap).
^ Ursprungligt franskt citat : "la proportion qui est entre les droites et les courbes n'étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes", se Descartes, René. Discours de la method... . - 1637. - S. 340.

Litteratur

Korn G., Korn T. Handbok i matematik (för forskare och ingenjörer) . — M .: Nauka, 1973.
Merzon G. A., Yashchenko I. V. Längd, area, volym. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl i tre volymer. - Ed. 6:a. — M .: Nauka, 1966.
Shibinsky VM Exempel och motexempel i matematisk analys. Handledning. - M . : Högre skola, 2007. - 543 sid. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta