Crofton formel

Croftons formel är ett klassiskt resultat av integrerad geometri. Associerar längden på en kurva med det genomsnittliga antalet linjekorsningar.

Uppkallad efter Morgan Crofton .

Formulering

Låt vara en likriktbar plan kurva . För en rak linje , beteckna med antalet punkter där och skär. Vi kan parametrisera orienterade linjer med en vinkel mot en vald riktning och ett tecken på avstånd från origo . Då är längden på kurvan $\gamma$ $l$ $n_{\gamma }(l)$ $\gamma$ $l$ $l$ $\varphi$ $sid$ $\gamma$

L={\frac {1}{4}}\int \limits _{0}^{2\cdot \pi }d\varphi \cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }n_{\gamma }(\varphi ,p)\cdot dp.

Anteckningar

Differentiell form $d\varphi \wedge dp$

är invariant under plana rörelser. Det ger alltså en naturlig integrationsåtgärd.

Croftons formel motsvarar följande påstående: Längden på en kurva är direkt proportionell mot medellängden på dess ortogonala projektioner. I detta fall beräknas längden på projektionen med hänsyn till multipliciteten.

Applikationer

Croftons formel ger bevis på följande resultat:

Om en sluten plan kurva går runt en konvex kurva har denna konvexa kurva en kortare längd.
Barbiers sats : En kurva med konstant bredd har en omkrets . $a$ $\pi \cdot a$
Isoperimetriska olikheter : Bland slutna kurvor med en given omkrets har en cirkel den maximala arean.
Om en sfärisk kurva har en längd som är mindre än , så ligger den i en öppen halvklot. Detta påstående är nyckeln till beviset för Fenchels kurvvändningssats . $2{\cdot}\pi$

Variationer och generaliseringar

Buffons nålkastningsproblem

Croftons formel generaliserar till vilken Riemann - yta som helst; integrationen använder det naturliga måttet på utrymmet för geodetik av fast längd.
- Till exempel är längden på en kurva på enhetssfären , där anger det genomsnittliga antalet skärningar av kurvan med storcirklarna. $\pi \cdot n$ $n$

Radontransformen kan ses som en generalisering av Croftonformeln i måttteorin.
Formel Santalo

Litteratur

Tabachnikov, Serge Geometri och biljard . - AMS, 2005. - S. 36 -40. - ISBN 0-8218-3919-5 .
Santalo , L.A. Introduktion till Integral Geometry . - 1953. - S. 12-13, 54.
Föreläsning 19 i Tabachnikov S.L. Fuks D.B. Matematisk divertissement . - MTSNMO, 2011. - 512 sid. - 2000 exemplar. - ISBN 978-5-94057-731-7 .