Kurva med konstant bredd

En kurva med konstant bredd  är en platt konvex kurva , längden på den ortogonala projektionen ( Feret-diameter ) till en rät linje är lika med .

Med andra ord är en kurva med konstant bredd en platt konvex kurva, vars avstånd mellan två parallella referenslinjer är konstant och lika  med kurvans bredd.

Relaterade definitioner

• En figur med konstant bredd är en figur vars gräns är en kurva med konstant bredd.

Exempel

Siffror med konstant bredd, i synnerhet, är cirkeln och Reuleaux-polygonerna (ett specialfall av den senare är Reuleaux-triangeln ). Reuleaux-polygoner är uppbyggda av fragment av cirklar och är inte släta kurvor. Det är också möjligt att konstruera en jämn kurva med konstant bredd från konjugerade fragment av cirklar (figuren till höger), men ytterligare ökning av kurvans jämnhet längs denna väg är omöjlig.

Funktionell vy

Till skillnad från de enklaste exemplen ovan kanske kurvor med konstant bredd inte sammanfaller med en cirkel på något ändligt segment och är godtyckligt jämna överallt. I allmänhet ges en figur med konstant bredd med en stödfunktion av parametriska ekvationer [1]

under förhållanden:

1. 
2. den resulterande kurvan är konvex.

Enligt elementär trigonometri är det första villkoret uppfyllt av Fourier-serien av följande form:

Om koefficienterna för serien minskar tillräckligt snabbt, kommer den resulterande kurvan att vara konvex (utan självkorsningar).

I synnerhet genererar stödfunktionen en kurva med konstant bredd, för vilken en implicit representation finns i form av en ekvation för ett polynom av 8:e graden [3]

Denna kurva i en grannskap av någon punkt är en analytisk funktion av antingen x eller y och sammanfaller inte med en cirkel i någon grannskap.

Egenskaper

• En kurva med konstant bredd har en längd ( Barbiers sats ).
• Centrum för de inskrivna och omskrivna cirklarna i en kurva med konstant bredd sammanfaller, och summan av deras radier är lika med kurvans bredd .
• En figur med konstant bredd kan rotera i en kvadrat med sidan och röra vid var och en av sidorna hela tiden.
• Bland alla figurer med en given konstant bredd har Reuleaux-triangeln den minsta arean och cirkeln den största.
• Varje platt figur med diameter kan täckas av en figur med konstant bredd .

Applikationer

• Borren , gjord på basis av Reuleaux-triangeln , tillåter [4] att borra nästan fyrkantiga hål (med en noggrannhet på cirka 2 % av kvadratytan).
• Vissa mynt har formen av en vanlig polygon med konstant bredd. Således är mynt med valörer på 20 [5] och 50 pennies ( Storbritannien ) byggda på heptagonen ; 50 fils ( UAE ); 1 dollar ( Barbados ); några mynt i Botswana [6] i valörerna 5 och 25 thebe , 1 och 2 pula . 11-gonsformen med konstant bredd finns i kanadensiska $1-mynt (kända som " lonies ").
• Wankelmotorn använder [5] som kolv en Reuleaux-triangel som roterar inuti kammaren, vilket gör att du omedelbart kan få en rotationsrörelse.
• Kammekanismer är i de flesta fall byggda på basis av en platt kam med en Reuleaux-triangelprofil. De mest kända exemplen är filmprojektorerna "Luch" och "Ukraina" [5] .

Variationer och generaliseringar

• Figurer med konstant bredd kan definieras som konvexa figurer som kan rotera inom en kvadrat samtidigt som de vidrör alla dess sidor. Man kan också överväga figurer som kan rotera genom att röra alla sidor av någon -gon, till exempel en vanlig -gon. Sådana figurer kallas rotorer [7] .
  • Till exempel är en digon som bildas av skärningspunkten mellan två identiska cirklar med en vinkel vid spetsen lika med , rotorn i en liksidig triangel. Med en borr av denna form skulle det i princip vara möjligt att borra triangulära hål utan utjämnade hörn.
  • Figurer som roterar inuti mer allmänna figurer övervägdes. [åtta]

• Former med konstant bredd har flerdimensionella motsvarigheter, se Kropp med konstant bredd .

Anteckningar

1. ↑ Guggenheimer H. W. Differentialgeometri. — New York: Dover, 1977.
2. ↑ Koefficienten med talet k = 1 kan återställas, eftersom denna term endast är ansvarig för figurens position på planet.
3. ↑ Rabinowitz S. En polynomkurva av konstant bredd  //  Missouri Journal of Mathematical Sciences. - 1997. - Vol. 9 . - S. 23-27 . Arkiverad från originalet den 17 juni 2009. Arkiverad kopia (inte tillgänglig länk) . Hämtad 1 mars 2018. Arkiverad från originalet 17 juni 2009. (obestämd) 
4. ↑ " Borra fyrkantiga hål arkiverade 25 maj 2012 på Wayback Machine " / Matematiska etuder
5. ↑ 1 2 3 " Round Reuleaux Triangle Arkiverad 28 december 2009 på Wayback Machine " / Matematiska etuder
6. ↑ Några av dem gick ur cirkulation 2019.
7. ↑ Helmut Groemer, Geometriska tillämpningar av Fourier-serien och sfäriska övertoner
8. ↑ L. A. Lyusternik . Geometriskt problem  // Uspekhi Mat . - 1946. - T. 1 , nr 3-4 (13-14) . - S. 194-195 .

Litteratur

• Yaglom IM , Boltyansky VG Konvexa figurer . - M. - L. : GTTI, 1951. - 343 sid. - (Den matematiska cirkelns bibliotek, nummer 4).