Kub

En kub eller en kub  är en plan algebraisk kurva av 3:e ordningen, det vill säga en uppsättning punkter i ett plan ( projektiv eller affin ) som ges av en kubisk ekvation

vilket gäller homogena koordinater på det projektiva planet. För att gå över till den affina versionen räcker det att sätta z = 1 .

Ibland kallas en kub också för en 3:e ordningens hyperyta i ett utrymme av godtycklig dimension [1] .

Accent

I Mathematical Encyclopedic Dictionary ges betoningen "kub" [1] . I en annan ordbok - "kubisk" [2] . I vardagsspråket används uttalet med accent på första stavelsen: ”kub” [3] [4] [5] [6] [7] .

Klassificering

Den första klassificeringen av kuben gavs av Newton 1704 [8] .

Newton bevisade att du för vilken kub som helst kan välja ett koordinatsystem där den kommer att ha en av följande former:

• ;
• ;
• ;
• .

Därefter delade Newton in alla kurvor i klasser, släkten och typer, men hoppade över 6 typer . En fullständig klassificering gavs av Plücker [9] .

Från och med 2008 har ingen liknande klassificering hittats för kurvor av n:e ordningen, detta problem utgör Hilberts 16:e problem .

Egenskaper

• Sats om nio punkter på en kub (Chals sats): ges två kuber A och B som har 9 punkter gemensamma. Om den tredje tärningen C går igenom 8 av dem, så går den igenom den nionde.
• De tog punkt A på kuben och drog 2 tangenter till kuben från den - en vidrör kuben vid punkt A , den andra vid punkt B. Låt områdena av segmenten avskurna av dessa tangenter från grafen för kuben vara lika med X och Y . Då är X = 16 Y [10] .
• Det är känt att vissa kuber är trisektorer, det vill säga om en graf av en sådan kub ritas på ett plan och en vinkel ges, kan den delas upp med en kompass och en linjal i 3 lika delar. Ett öppet problem: är vilken kub som helst en trisektor?
• Det maximala antalet anslutna komponenter för en kubplot i ℝ² är 4. Till exempel: för en kub f  ( x , y ) = 3 x  3 − 5 y  2 x − 4 x  2 − 10 yx + 10 y  2 − 6 x + 20 y + 12 består grafen av tre kurvor som går tillbaka till oändligheten och en isolerad punkt.
• Om en linje går genom två böjningspunkter i en kub, så går den också genom en tredje.
• På kuber kan du införa addition av punkter och deras multiplikation med ett tal, och därigenom få en algebraisk struktur som kallas en elliptisk kurva [11] [12] .
• Linjen skär kuben i punkterna A , B , C. Tangenterna som återställs till kuben vid punkterna A , B , C skär kuben en andra gång vid punkterna P , Q , R . Då ligger också punkterna P , Q , R på samma linje [13] [14] .

Applikationer

• Kubiska kurvor används i PostScript-språket , inklusive typ 1-teckensnitt ( TrueType använder endast kvadratiska kurvor).
• Studiet av kuben har länge ansetts vara ett exempel på ren matematik (som inte har någon tillämpning och utsikter till sådan). Men under de sista 20 åren av 1900-talet uppfanns kryptografiska algoritmer som använder kubens djupa egenskaper, som används idag (särskilt) i bankkryptering, vilket gav impulser till studiet av kubens egenskaper, se elliptisk kryptografi .
• Ett stort antal anmärkningsvärda punkter i triangeln summerar till flera kuber [15] .
• Frank Morley bevisade den berömda satsen uppkallad efter honom genom att studera kubens egenskaper [16] .

Se även

• Sats om nio punkter på en kub
• Kuber förbundna med en triangel
• Elliptisk kurva
• Klassificering av Newtons kub
• Affin klassificering av en kub
• Isometrisk ekvivalens
• Affin ekvivalens

Anteckningar

1. ↑ 1 2 Mathematical Encyclopedic Dictionary / Kap. ed. Yu. V. Prokhorov. - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - S.  304,55 . — 845 sid.
2. ↑ Rysk-portugisisk och portugisisk-rysk ordbok för fysik och matematik / V.V. Logvinov. M.: Rus.yaz., 1989, s. 131
3. ↑ A. N. Parshin. Grupprepresentationsteori och algebraisk geometri på YouTube , med start 1:04:26
4. ↑ S. S. Galkin. Algebraiska ytor. Föreläsning 3. på YouTube , med start 1:13:16
5. ↑ G. B. Shabat. runt Poncelet. Föreläsning 4 Arkiverad 6 april 2016 på Wayback Machine . Videobibliotek för den allryska matematiska portalen (vid 20 min 18 sek)
6. ↑ S. M. Lvovsky Tjugosju rader. Session 3 Arkiverad 6 april 2016 på Wayback Machine . Videobibliotek för den allryska matematiska portalen (vid 36 min 15 sek)
7. ↑ S. A. Loktev. Grupprepresentationsteori och algebraisk geometri på YouTube , med start 54:24
8. ↑ "Enumeratio linearum tertii ordinis" (det finns en rysk översättning av "Enumeration of curves of the third order" i D. D. Mordukhai-Boltovskys bok "Isaac Newton. Mathematical Works", s. 194-209, tillgänglig onlinesida by page atアーカイブされたコピーHämtad 8 februari 2016. Arkiverad från originalet 12 juni 2008 (obestämd) .
9. ↑ Smogorzhevsky A.S., Stolova E.S. Handbok om teorin om plankurvor av tredje ordningen. — M .: Fizmatgiz , 1961.
10. ↑ Honsberger R. More Mathematical Morsels // Math. Assoc. amer. — Washington, DC, 1991. — sid. 114-118.
11. ↑ Ostrik V. V., Tsfasman M. A. Algebraisk geometri och talteori: rationella och elliptiska kurvor . — M. : MTsNMO , 2010. — 48 sid. - (Biblioteket "Matematisk utbildning"). — ISBN 5-900916-71-5 .
12. ↑ Solovyov Yu. P. Rationella punkter på elliptiska kurvor  // Soros Educational Journal . - 1997. - Nr 10 . - S. 138-143 .
13. ↑ The Cubic Curve and an Associated Structure av D.S. Macnab, The Mathematical Gazette Vol. 50, nej. 372 (maj, 1966), sid. 105-110 Publicerad av: Mathematical Association DOI: 10.2307/3611930 Antal sidor: 6 Arkiverad 7 februari 2016 på Wayback Machine .
14. ↑ Se även Weisstein, Eric W. Cubic [4],3][,(nedlänk)[2],nedlänk)([1].,MathWorldpå WolframCurve  Wayback Machine , [5] , [6] , [ 7] (otillgänglig länk) , [8] , [9] .    
15. ↑ Se [10] Arkiverad 5 september 2008 på Wayback Machine och [11] .
16. ↑ Se hans arbete [12] Arkiverad 25 november 2008 på Wayback Machine .

Länkar

• Bibliotek för interaktiv ritning av en kub (utan isolerade punkter) i Flash och Java .