Niopunktssats på en kubikkurva

9-punktssatsen på en kubisk kurva är en sats inom algebraisk geometri som säger att

Om 8 av 9 skärningspunkter för två trippel raka linjer (i figuren till höger - blå och röd) ligger på en kub (kurva av tredje ordningen, svart) , så ligger den nionde också på den.

Detta teorem ligger till grund för möjligheten att bestämma strukturen för en grupp på en kubisk kurva.

Bevis

Nedan är ett enkelt bevis som endast använder skolans läroplansfakta. Den består av tre delar: två lemman och själva satsen.

Lemma 1

Om ett polynom i två variabler vid ett oändligt antal punkter på en linje får ett nollvärde, så är det delbart med ekvationen för denna linje, det vill säga . $P\,(x,\,y)$ $l:\,ax+by+c=0$ $P\,(x,\,y)\,\vdots \,ax+by+c$

Låt oss beteckna . En rät linje anges i villkoret, så antingen , eller är inte lika med 0. Vi antar att detta är , då , och . På ett direkt polynom , men samtidigt kan det ta ett oändligt antal olika värden, därför , och därmed . ■ $z\,:=\,ax+by+c$ $a$ $b$ $b$ $y={\frac {z-ax-c}{b}}=S\,(x,z)$ $P\,(x,\,y)=P\,(x,\,S\,(x,\,z))=F\,(x,\,z)=z\cdot Q\,(x ,\,z)+R\,(x)$ $l:\,z=0$ $F\,(x,\,z)=R\,(x)=0$ $x$ $R\,(x)\ekvivalent 0$ $P\,(x,\,y)=F\,(x,\,z)\,\vdots \,z=ax+by+c$

Lemma 2

Om kuberna och skär varandra vid tre punkter på linjen , så finns det ett antal så att . $P\,(x,\,y)$ $Q\,(x,\,y)$ $l:\,ax+by+c=0$ $t$ $P\,(x,\,y)-t\cdot Q\,(x,\,y)\,\vdots \,ax+by+c$

I likhet med Lemma 1 kommer vi att anta att då gäller likheten för linjens punkter , i likhet med . Polynom och är lika med 0 på tre gemensamma punkter, deras grad är inte högre än 3, så det finns ett sådant antal som för alla punkter på denna linje. Genom att tillämpa Lemma 1 får vi det påstående som krävs. ■ $b\neq 0$ $l$ $P\,(x,\,y)=P\,\left(x,\,-{\frac {ax+c}{b}}\right)=P_{1}\,(x)$ $Q\,(x,\,y)=Q_{1}\,(x)$ $P_{1}\,(x)$ $Q_{1}\,(x)$ $t$ $P\,(x,\,y)=t\cdot Q\,(x,\,y)$

Bevis för satsen

I det följande kommer parametrarna för polynom för korthetens skull att utelämnas. Låt oss beteckna ekvationen för den svarta kuben som , de röda linjerna som och , och den röda kuben som . Likadant för blå linjer och kuber . I det här fallet kommer vi att överväga numreringen så att det är nödvändigt att bevisa att skärningspunkten tillhör kuben . $(x,\,y)$ $H$ $K_{1},K_{2}$ $K_{3}$ $K=K_{1}\cdot K_{2}\cdot K_{3}$ $S=S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{3}$ $K_{2}\cap S_{2}$ $H$

Genom att ansöka om linjen och kuben och Lemma 2 får vi att det finns ett nummer för vilket . På samma sätt finns det sådana att . Sedan polynomet av tredje graden är delbart med och , Det vill säga . Polynomet är lika med noll för alla punkter på linjen , linjer och allmän position, vilket betyder att det tar värdet 0 vid exakt en punkt på linjen . Därför är den lika med noll vid ett oändligt antal punkter på den räta linjen och är, med Lemma 1 , delbart med sin ekvation. Alltså , vilket betyder , där är ett polynom av grad inte högre än den första, det vill säga en rät linje eller noll. $K_1$ $S$ $H$ $a$ $Ha\cdot S\,\vdots \,K_{1}$ $b$ $Hb\cdot K\,\vdots \,S_{1}$ $A=Ha\cdot Sb\cdot K$ $K_1$ $S_{1}$ $A=A_{1}\cdot K_{1}$ $A$ $S_{1}$ $K_1$ $S_{1}$ $K_1$ $S_{1}$ $A_{1}$ $S_{1}$ $A\,\vdots \,K_{1}\cdot S_{1}$ $A=K_{1}\cdot S_{1}\cdot F$ $F$

Låt oss anta att det är en rak linje. Den vänstra sidan av likheten är lika med noll vid punkterna och , vilket betyder att en av de tre faktorerna på höger sida också är lika med noll. Men linjerna passerar inte genom dessa punkter, så de ligger alla på samma linje - . Men detta är omöjligt. $F$ $Ha\cdot Sb\cdot K=K_{1}\cdot S_{1}\cdot Q$ $K_{2}\cap S_{3},K_{3}\cap S_{3}$ $K_{3}\cap S_{2}$ $K_1$ $S_{1}$ $F$

Alltså , vilket betyder . Men kuberna och passerar genom punkten , och därmed passerar kuben också genom denna punkt. ■ $Q\ekvivalent 0$ $H=a\cdot S+b\cdot K$ $K$ $S$ $K_{2}\cap S_{2}$ $H$

Applikation

Med hjälp av 9-punktssatsen bevisas helt enkelt några fakta från projektiv geometri, såsom Pascals sats :

Om en hexagon är inskriven i en konisk sektion , så ligger skärningspunkterna för tre par motsatta sidor på samma räta linje.

I figuren till höger är en hexagon med 3 röda och 3 blå sidor inskriven i en svart parabel . De röda och blå linjerna skär varandra vid 9 gröna punkter, varav 6 ligger på en parabel, och en svart linje dras genom de andra 2. Eftersom den svarta kuben innehåller 8 gröna prickar som bildas av skärningspunkten mellan de röda och blå kuberna, innehåller den även den nionde pricken. Men denna punkt ligger inte på parabeln, vilket betyder att den tillhör linjen. ■

Det kan också användas för att bevisa associativiteten av operationen att lägga till punkter på en elliptisk kurva [1] . Nämligen, om A , B , C , O tillhör en kubisk kurva. För tre rader BC , O (A + B) och A (B + C) ; och för de tre linjerna AB , O (B + C) och C (A + B) . De följande åtta punkterna A, B, C, A + B, -A-B, B + C, -BC, O ligger på kuben. Därför hör den nionde punkten -A-(B+C)=-(A+B)-C till den.

Challs sats

Challs teorem är en generalisering för fallet när inte trippel av linjer tas, utan godtyckliga kuber [2] :

Om två kuber i projektivplanet har 9 gemensamma punkter, så går varje annan kub som passerar genom 8 av dem också genom den nionde.

Anteckningar

↑ V. V. Ostrik, M. A. Tsfasman. Algebraisk geometri och talteori: rationella och elliptiska kurvor . - M. : MTsNMO , 2001. - S. 20-24. — 48 s. — (Matematisk utbildning). — ISBN 5-900916-71-5 . Arkiverad 28 december 2010 på Wayback Machine
↑ D. Eisenbud, M. Green, J. Harris. Cayley-Bacharachs sats och hypoteser . — 1996. Arkiverad 14 maj 2011 på Wayback Machine .

Se även

Cayley-Bacharachs teorem
Konisk av nio punkter