Traktor

Traktrisa ( attraktionslinje ) - (från lat. trahere - att dra) - en platt transcendental kurva , för vilken längden på tangentsegmentet från kontaktpunkten till skärningspunkten med en fast linje är en konstant. En sådan linje beskrivs (under vissa antaganden, se nedan ) av ett föremål som drar på ett rep med längden a bakom en punkt som rör sig längs x-axeln [1] [2] . Traktorn är också en jaktkurva .

Mekanisk tolkning

Mekaniskt kan en tractrix definieras som en "attraktionslinje", det vill säga en linje längs vilken en viss massiv kropp tvingas röra sig längs en horisontell yta under inverkan av en spänningskraft av en tråd med konstant längd, den andra vars ände rör sig likformigt längs någon axel. Detta gäller dock endast i det begränsande fallet när värdet närmar sig noll, var är hastigheten med vilken tråden dras och är friktionskoefficienten . Med en tillräckligt stor friktion och en tillräckligt liten hastighet kommer således föremålet att släpas med god noggrannhet längs tractrixen. ${{v^{2}} \over {\mu ga}}$ $v$ $\mu$

Ett liknande resultat gäller också för viskös friktion (till exempel för en båt som dras längs kusten av en person som går längs den); i detta fall krävs värdet nära noll , där är massan av den rörliga kroppen och är vätskemotståndskoefficienten. Här, för den verkliga banans närhet till tractrix, behövs också en tillräckligt liten massa av den rörliga kroppen. [3] ${mv \over ba}$ $m$ $b$

Ekvationer

Parametrisk beskrivning: $x=\pm \ a\cdot \left(\ln {\operatörsnamn {tg} {\frac {t}{2))}+\cos t\right),$ $y=a\cdot \sin t,\quad t\in [0,{\frac {\pi }{2}}].$
Annan parametrisk beskrivning: $x=t-\mathop {\rm {th}} (t)=t-{\tfrac {e^{t}-e^{-t}}{e^{t}+e^{- t}}},$ $y=1/{\mathop {\rm {ch)) (t)}={\tfrac {2}{e^{t}+e^{-t))}.$
Ekvation i kartesiska koordinater : $x=\int \limits _{y}^{a}{\frac {\sqrt {a^{2}-t^{2}}}{t}}\,dt=\pm \ \left (a\ln {{a+{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}} \över y}-{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}\höger)$ , kl $y\in(0,a)$

Egenskaper

Området som begränsas av tractrix och dess asymptot : $S={{\pi a^{2}} \over 2}$
Längden på bågen, från punkten (0 ; a) till en godtycklig punkt på tractrix: $s_{l}=-a\ln\sin t$
Krökningsradie: $R=a\;\operatörsnamn {ctg}\;t$
Tractrixens rotationsyta runt dess asymptot ( x -axeln ) är en pseudosfär .
Evolut (normalernas hölje): ( kontaktledning ) $y(x)=a~\operatörsnamn {ch}{\frac {x}{a}}$
När tractrix har ett tangentsegment med konstant längd lika med . $a>0,\ 0<t<{\pi }$ $a$
För , tractrix har en singulär spets av cusp - typen . $x=0$

Historik

Den första studien av tractrix ( 1670 ) tillhör den franske ingenjören, doktorn och matematikern Claude Perrault , bror till den berömda sagoberättaren . Senare utforskades den av Newton ( 1676 ), Huygens ( 1692 ) och Leibniz ( 1693 ). 1839-1840 bevisade Minding att tractrixens rotationsyta, den så kallade pseudosfären , har en konstant negativ Gaussisk krökning , senare uppmärksammade Beltrami det faktum att pseudosfären ger en lokal modell av Lobachevskys geometri .

Anteckningar

↑ Brazhnichenko N. A., Mintsberg B. L., Morozov V. I. Samling av problem inom teoretisk mekanik. Del II, Institutionen för sjöfartens läroverk, L., 1957, 120 sid.
↑ Pavlenko Yu. G. Uppgifter i teoretisk mekanik. M., Publishing House of Moscow State University, 1988, 344 sid.
↑ Dievsky V. A. Rapport “On the mechanical interpretation of the tractrix” vid International Scientific Conference on Mechanics “Eighth Polyakhov Readings”, St. Petersburg, Ryssland, 30 januari - 2 februari 2018. Abstracts, s. 27.

Länkar

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta