Peano Curve

En Peano-kurva är ett allmänt namn för parametriska kurvor vars bild innehåller en kvadrat (eller, mer allmänt, öppna områden av rymden). Ett annat namn är en utrymmesfyllande kurva .

Uppkallad efter Giuseppe Peano (1858-1932), upptäckaren av denna typ av kurvor, i en viss mening är Peano-kurvan namnet på den specifika kurva som Peano hittade.

Definition

Intuitivt kan en kontinuerlig kurva i dimensionerna 2 eller 3 (eller högre) förstås som den väg som genomkorsas av en kontinuerligt rörlig punkt. För att eliminera den inneboende osäkerheten i denna förståelse föreslog Jordan 1887 följande definition, som sedan har accepterats som den exakta definitionen av en kontinuerlig kurva :

En kurva (med ändpunkter) är en kontinuerlig mappning vars domän är enhetssegmentet [0, 1].

I sin mest allmänna form kan domänen för en sådan kartläggning ligga i ett godtyckligt topologiskt utrymme , men i de flesta av de studerade fallen ligger domänen i ett euklidiskt utrymme , såsom ett tvådimensionellt plan ( plan kurva ) eller en tre- dimensionellt utrymme ( rymdkurva ).

Ibland identifieras kurvan med mappningens intervall (uppsättningen av alla möjliga mappningsvärden), och inte med den faktiska funktionen. Man kan också definiera en kurva utan ändpunkter som en kontinuerlig funktion på den reella linjen (eller på det öppna intervallet (0, 1)).

Historik

År 1890 upptäckte Peano en kontinuerlig kurva, nu kallad Peano-kurvan, som passerar vilken punkt som helst av enhetskvadraten [1] . Hans mål var att konstruera en kontinuerlig kartläggning från enhetssegmentet till enhetstorget . Det var Georg Cantors tidigare oväntade resultat att uppsättningen av punkter i ett enhetsintervall har samma kardinalitet som uppsättningen av punkter i alla ändliga dimensioner , i synnerhet enhetskvadraten , som föranledde studiet av Peanos problem . Problemet som Peano löste var frågan - kan en sådan mappning vara kontinuerlig, det vill säga kan en kurva fylla utrymme. Peanos lösning etablerar inte en kontinuerlig en -till-en- mappning mellan enhetsintervallet och enhetskvadraten, och dessutom existerar inte en sådan mappning (se nedan).

Det var allmänt accepterat att associera den oklara uppfattningen om tjocklek och endimensionalitet med en kurva. Alla vanligt förekommande kurvor var styckvis differentierbara (dvs med styckvis kontinuerliga derivator), och sådana kurvor kan inte fylla hela enhetskvadraten. Därmed upplevdes den rymdfyllande Peano-kurvan som strider mot sunt förnuft.

Från Peanos exempel är det lätt att härleda kontinuerliga kurvor som fyller en n - dimensionell hyperkub (för vilket positivt heltal som helst n ). Det var också lätt att utöka Peanos exempel till kurvor utan start- eller slutpunkt, och dessa kurvor fyller hela den n -dimensionella euklidiska rymden (där n är 2, 3 eller något annat positivt heltal).

De flesta av de välkända utrymmesfyllningskurvorna är konstruerade iterativt som gränsen för en sekvens av bitvis linjära kontinuerliga kurvor som närmar sig utrymmesfyllningskurvan vid varje steg.

Peanos revolutionerande papper innehöll ingen illustration av konstruktionen, som definierades i termer av ternära förlängningar och spegling . Den grafiska konstruktionen var dock tydlig för honom - han gjorde en prydnad som speglar kurvans konstruktion på hans hus i Turin. I slutet av uppsatsen påpekade Peano att tekniken kunde utvidgas till andra udda baser, inte bara till bas 3. Hans val att undvika grafisk visualisering var utan tvekan drevet av önskan att tillhandahålla ett bra, fullständigt rigoröst bevis som gjorde det. inte lita på några ritningar. På den tiden (början av forskning inom allmän topologi) ingick ofta grafiska argument i beviset, men ofta fungerade de som ett hinder för att förstå resultaten som stred mot sunt förnuft.

Ett år senare publicerade David Hilbert i samma tidskrift en annan version av Peano-konstruktionen [2] . Hilberts papper var det första som inkluderade en ritning för att hjälpa till att introducera konstruktionstekniken. I huvudsak var det samma ritning som visas här. Den analytiska formen av Hilbert-kurvan är dock betydligt mer komplicerad än Peanos.

Egenskaper

Varje Peano-kurva har flera punkter .
- Det finns ingen Peano-kurva vars varje punkt är enkel eller dubbel, men det finns en Peano-kurva som som mest bara har trippelpunkter (i ett räknat antal). Sådan är till exempel kurvan som Peano själv konstruerade ; Hilberts konstruktion nedan innehåller fyrdubbla punkter (också i ett räknat antal ).
Det finns måttbevarande Peano-kurvor, det vill säga Lebesgue-måttet för en delmängd av en kvadrat sammanfaller med Lebesgue-måttet på dess omvända bild på segmentet. Hilberts exempel nedan har denna egenskap.
Konceptet med Peano-kurvan är kopplat till det märkliga faktumet att det finns rumsliga enkla bågar som projiceras på planet i form av kontinuerliga områden - sådan är till exempel kurvan $r(t)=(x(t),y(t),t)$

där de två första funktionerna definierar Peano-kurvan. Även om denna båge kan skydda mot vertikalt solljus, kan den inte skydda mot regn eftersom det inte är en kontinuerlig yta.

Om kurvan inte är injektiv, kan två korsande subkurvor av kurvan hittas, erhållna som bilder av två icke-korsande segment i kurvans domän (det vill säga ett enhetssegment). Två subkurvor skär varandra om skärningspunkten mellan två bilder inte är tom. Det är frestande att tro att kurvor skär betyder att de skär varandra, som skärningspunkten för två icke-parallella linjer, men två kurvor (i vårt fall subkurvor) kan beröra utan att korsa, som till exempel en tangentlinje vidrör en cirkel .
För de klassiska rymdfyllande Peano- och Hilbert-kurvorna vid korsningarna av kurvorna (i teknisk mening) finns det kontakt mellan kurvorna utan att korsa dem. En rymdfyllande kurva kan (vid varje punkt) ha självkorsningar (korsningar) om dess approximativa kurva är självkorsande. Den utrymmesfyllande kurvans approximation får inte innehålla självkorsningar, som i figurerna ovan. I 3D-rymden kan approximerande kurvor utan självkorsningar till och med innehålla noder . De approximativa kurvorna förblir inom ett begränsat område av n -dimensionellt utrymme, men deras längd växer utan gräns.
Utrymmesfyllande kurvor är ett specialfall av att konstruera fraktaler . Det kan inte finnas en differentierbar utrymmesfyllningskurva. Grovt sett sätter differentiabilitet restriktioner för hur snabbt kurvan vänder.

Integration

Wiener påpekade att en rymdfyllande kurva skulle kunna användas för att reducera Lebesgue-integration i höga dimensioner till Lebesgue-integration på ett linjesegment.

Exempel

Analytisk konstruktion [3] .

Betrakta funktionerna och definierade på intervallet enligt följande. Låt nedbrytningen i det ternära talsystemet ha formen (var och en av är lika med 0, 1 eller 2). Sedan definierar vi som ett tal som har följande nedbrytning i det ternära systemet: $f(x)$ $g(x)$ $[0,1]$ $x$ ${\displaystyle 0,x_{1}x_{2}\ldots x_{k))$ $x_k$ $f(x)$ ${\displaystyle 0,f_{1}f_{2}\ldots f_{k))$

$f_{1}=x_{1}$
$f_{2}=x_{3}$ , om jämnt, och , om udda , om jämnt $x_{2}$ ${\displaystyle 2-x_{3))$ $x_{2}$
$\ldots$
${\displaystyle f_{k}=x_{2k-1))$ ${\displaystyle x_{2}+x_{4}+\ldots +x_{2k-2))$

${\displaystyle f_{k}=2-x_{2k-1))$ , om udda ${\displaystyle x_{2}+x_{4}+\ldots +x_{2k-2))$

På liknande sätt definierar vi en funktion i det ternära talsystemet: $g(x)=0,g_{1}g_{2}\ldots g_{k}\ldots$

$g_{1}=x_{2}$ , om jämnt, och , om udda , om jämnt , om udda $x_{1}$ ${\displaystyle 2-x_{2))$ $x_{1}$
$\ldots$
${\displaystyle g_{k}=x_{2k))$ ${\displaystyle x_{1}+x_{3}+\ldots +x_{2k-1))$
${\displaystyle g_{k}=2-x_{2k))$ ${\displaystyle x_{1}+x_{3}+\ldots +x_{2k-1))$

Betrakta nu kartläggningen: . Det kan bevisas att: $x\mapsto [f(x),g(x)]$

1. Funktionerna och är väldefinierade (det vill säga i siffror som tillåter 2 representationer i det ternära talsystemet, kommer värdena att visa sig vara oberoende av valet av representation). $f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$

2. Funktionerna och är kontinuerliga på . $f(x)$ $g(x)$ $[0,1]$

3. Ekvationssystemet och har minst 1 och högst 4 lösningar för någon och liggande på intervallet . $f(x)=a$ $g(x)=b$ $a$ $b$ $[0,1]$

Således, avbildningen med koordinatfunktioner och på planet kvadrerar segmentet kontinuerligt . $f$ $g$ $x\mapsto [f(x),g(x)]$ $[0,1]$ ${\displaystyle [0,1]^{2))$

Geometrisk konstruktion.

Betrakta ett enhetssegment och en enhetsruta. I det första steget av konstruktionen delar vi kvadraten med mittlinjer i 4 lika stora rutor och segmentet i 4 lika delar. Vi får rutor och segment av 1:a nivån. Vid varje efterföljande steg delar vi rutorna och segmenten på föregående nivå i 4 delar - vi får rutorna och segmenten på nästa nivå. Vi har 4 rutor på 1:a nivån, 16 rutor på 2:a nivån, etc.; samma sak med snitt. Låt oss ställa in ordningen för att kringgå kvadraterna på varje nivå. För den 1:a, 2:a, ..., 6:e nivån visas bypassordningen i figuren. Genomgångsordningen definierar en en-till-en-överensstämmelse mellan uppsättningen av kvadrater på den n :e nivån och uppsättningen av segment av den n :e nivån.

Låt nu vara en godtycklig punkt för det ursprungliga enhetssegmentet. Låt vara numret på segmentet på den 1:a nivån som punkten tillhör , vara numret på segmentet på den 2:a nivån som punkten tillhör , etc. Tänk på rutor med samma siffror . Ordningen i vilken rutorna korsas är ordnade på ett sådant sätt att (obs!) rutorna bildar ett kapslat system. Enligt satsen för kapslade (sammandragande) segmentsystem har kvadrater en enda gemensam punkt . $x$ $k_{1}$ $x$ $k_{2}$ $x$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $k_{1},k_{2},\ldots$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $y$

Om det tillhör 2 segment samtidigt, motsvarar dessa segment 2 rutor med en gemensam sida - så här är bypass-ordningen ordnad. Sådana rutor kallar vi angränsande. I det här fallet, istället för kvadrater , överväg rektanglar – kombinationer av intilliggande kvadrater. Och sedan - den enda gemensamma punkten i det kapslade systemet av dessa rektanglar. $x$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $y$

Liknande resonemang visar att varje punkt i kvadraten kommer att motsvara någon punkt i enhetssegmentet. $y$ $x$

Den konstruerade kartläggningen bestämmer den önskade Peano-kurvan. Kontinuiteten i displayen följer av det faktum att nära segment motsvarar nära rutor. Varje punkt har: $x \högerpil y$ $y$

1 förbild (om den inte hör till gränserna för två icke-intilliggande rutor på någon nivå), $x$ $y$
2 förbilder (om det inte finns fler än två icke-intilliggande rutor av någon nivå i gränserna), $y$
3 förbilder (om det hör till gränserna för fyra rutor på en viss nivå, varav ett par ligger intill), ett exempel på en sådan punkt är mitten av kvadraten, $y$
4 förbilder (om det hör till gränserna för fyra parvisa icke-angränsande rutor på någon nivå). $y$

Kurvorna som anger ordningen för att gå runt kvadraterna är successiva approximationer till Peano-kurvan. Peano-kurvan är gränsen för dessa kurvor.

Den största skillnaden mellan Peano-kurvan och Hilberts tolkning är att den ursprungliga enhetskvadraten inte är uppdelad i 4, utan i 9 delar, var och en med sidostorlekarna 3 -n x3 -n , där n är iterationsnumret [4] .

Variationer och generaliseringar

Det finns en analog av Peano-kurvor som fyller en flerdimensionell kub och till och med en Hilbert-tegelsten .
Det finns många naturliga exempel på rymdfyllande, eller snarare sfärfyllande, kurvor i teorin om dubbelt degenererade Klein-grupper . Till exempel visade Cannon och Thurston [5] att cirkeln vid oändligheten av det universella täcket av torusbunten av kartläggningen en pseudo-Anosov diffeomorfism är en rymdfyllande kurva. (Här är en sfär i oändligheten en sfär i oändligheten av hyperboliskt 3-dimensionellt utrymme .)
En långtgående generalisering innehåller Mazurkiewiczs teorem :

Om är ett kontinuum är följande villkor likvärdiga: $X$

utrymmet är lokalt anslutet, $X$
$X$ är den kontinuerliga bilden av intervallet.

Hahn - Mazurkiewicz - satsen är följande karakterisering av utrymmen som är kontinuerliga bilder av kurvor:

Ett icke-tomt Hausdorff topologiskt utrymme är bilden av ett enhetsintervall om och bara om det är kompakt, anslutet , lokalt anslutet , och det andra räknebarhetsaxiomet gäller för det .

Mellanslag som är den kontinuerliga bilden av enhetsintervallet kallas ibland Peano-mellanrum . I många formuleringar av Hahn-Mazurkiewicz-teoremet ersätts uppfyllandet av det andra axiomet för räknebarhet av begreppet mätbar . Dessa två formuleringar är likvärdiga. I en riktning är ett kompakt Hausdorff-utrymme ett normalt utrymme , och enligt Urysohns metrizabilitetsteorem innebär uppfyllandet av det andra räknebarhetsaxiomet metrizabilitet. I motsatt riktning, för ett kompakt metriskt utrymme, gäller det andra räknebarhetsaxiomet .

Anteckningar

↑ Peano, 1890 , sid. 157.
↑ Hilbert, 1891 .
↑ Idén hämtades från boken: Makarov B. M., Goluzina M. G., Lodkin A. A., Podkorytov A. N. Valda problem i verklig analys. - M . : Nauka, 1992. - S. 44.
↑ Slyusar, V. Fractal Antennas. En i grunden ny typ av "trasiga" antenner. Del 2. . Elektronik: vetenskap, teknik, affärer. - 2007. - Nr 6. S. 82-89. (2007). Hämtad 22 april 2020. Arkiverad från originalet 3 april 2018. (obestämd)
↑ Cannon, Thurston, 2007 .

Litteratur

James W. Cannon, William P. Thurston . Gruppinvarianta Peano-kurvor // Geometri & Topologi . - 2007. - T. 11 , nr. 3 . - S. 1315-1355 . — ISSN 1465-3060 . - doi : 10.2140/gt.2007.11.1315 . (utgiven första gången 1982)
D. Hilbert . Über die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück // Mathematische Annalen . - 1891. - T. 38 , nr. 3 . — S. 459–460 . - doi : 10.1007/BF01199431 .
BB Mandelbrot. Naturens fraktalgeometri . — W. H. Freeman, 1982. .
Douglas M. McKenna. The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History / Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. - Mathematical Association of America , 1994. - S. 49-73. — ISBN 978-0-88385-516-4 .
G. Peano . Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane // Mathematische Annalen . - 1890. - T. 36 , nr. 1 . — S. 157–160 . - doi : 10.1007/BF01199438 . .
Hans Sagan. Utrymmesfyllande kurvor. - Springer-Verlag, 1994. - ISBN 0-387-94265-3 .
Aleksandrov PS Introduktion till mängdlära och allmän topologi. - M. , 1977.
Luzin N. N. Teori om funktioner för en reell variabel. - 2:a uppl. - M. , 1948.

Länkar

Java-applets på Cut-the-Knot- webbplatsen :

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Britannica (online)

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta

fraktaler
Egenskaper	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion självlikhet
De enklaste fraktalerna	Fern Barnsley Kantor set drakekurva Koch kurva Svamp Menger Sierpinski matta Sierpinski triangel Utrymmesfyllande kurva
konstig attraktion	Multifraktal
L-system	Utrymmesfyllande kurva
Bifurkationsfraktaler	Julia set Lyapunov fraktal Mandelbrot set Newtons pooler
Slumpmässiga fraktaler	Brownsk rörelse brunt träd fraktal yta Perkolationsteori
människor	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
Relaterade ämnen	Hur lång är Storbritanniens kust? » Kustlinjeparadox