Lyapunov fraktal

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 maj 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Lyapunov - fraktaler (även känd som Markus-Lyapunov-fraktaler ) är bifurkationsfraktaler som genereras av en förlängning av den logistiska kartan , där befolkningstillväxthastigheten r periodiskt ändrar värde från A till B och vice versa.

Lyapunov-fraktaler konstrueras genom att kartlägga områden med stabilt och kaotiskt beteende, mätt med Lyapunov-exponenten ( en ) , i a - b - planet för en given periodisk sekvens av a och b . I figurerna motsvarar gult stabilitet ( ), och blått till kaos ( ). $\lambda$ $\lambda < 0$ $\lambda>0$

Egenskaper

Lyapunov-fraktaler konstrueras vanligtvis för värdena A och B i intervallet . För större värden är intervallet inte längre stabilt, och sekvensen tenderar troligen till oändlighet, även om det för vissa parametrar fortfarande finns konvergerande cykler av ändliga värden. För alla iterativa sekvenser är diagonalen a = b densamma som för standardlogistikfunktionen med en parameter. $[0,4]$ $[0,1]$

Sekvensen börjar vanligtvis vid 0,5, vilket är den kritiska punkten för den iterativa funktionen. De andra (vanligtvis komplext värderade ) kritiska punkterna i den iterativa funktionen för en komplett cykel är de som passerar genom värdet 0,5 i den första cykeln. En konvergent cykel måste innehålla minst en kritisk punkt, så alla konvergenta cykler kan erhållas genom att bara flytta den iterativa sekvensen samtidigt som det initiala värdet på 0,5 bibehålls. I praktiken resulterar en förskjutning av denna sekvens i förändringar av fraktalen , eftersom vissa grenar överlappar andra. Notera till exempel att Lyapunov-fraktalen för iterationssekvensen AB inte är perfekt symmetrisk om a och b .

Algoritm för att generera Lyapunov-fraktaler

Välj en sträng bland tecknen A och B av valfri längd som inte är trivial (till exempel AABAB).
Konstruera en sekvens av på varandra följande tecken i en sträng, som upprepas det antal gånger som krävs. $S$
Välj punkt . $(a,b)\in [0,4]\ gånger [0,4]$
Definiera en funktion . $r_{n}={\begin{cases}a,&S_{n}=A\\b,&S_{n}=B\end{cases))$
Acceptera och upprepa . $x_{0}=0,5$ $x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n})$
Beräkna Lyapunov-exponenten (engelska) : $\lambda =\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\summa _{n=1}^{N}\log \left|{dx_{n+1} \over dx_{n}}\right|=\lim _{N\högerpil \infty }{\frac {1}{N}}\summa _{n=1}^{N}\log |r_{n} (1-2x_{n})|$
Färglägg punkten enligt det mottagna värdet . $(a,b)$ $\lambda$
Upprepa steg 3-7 för varje punkt på bildplanet.

I praktiken uppskattas det genom att välja en tillräckligt stor . Denna algoritm är lämplig för språk som Mathematica , men inte för lågnivåspråk . $\lambda$ $N$

Fler dimensioner

Lyapunov fraktaler kan beräknas i mer än två dimensioner. En iterativ sekvens av en n-dimensionell fraktal är byggd från ett alfabet med n bokstäver. Till exempel, "ABBBCA"-sekvensen av en 3D-fraktal, som kan renderas antingen som ett 3D-objekt eller som en animation, vars varje bildruta visar en "slice" i C-riktningen, som i exemplet i artikeln .

Länkar

EFG:s fraktaler och kaos - Lyapunov-exponenter
Elert, Glenn Lyapunov Space . The Chaos Hypertextbook . Hämtad 23 februari 2017. Arkiverad från originalet 30 mars 2012. (obestämd) (Engelsk)

fraktaler
Egenskaper	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion självlikhet
De enklaste fraktalerna	Fern Barnsley Kantor set drakekurva Koch kurva Svamp Menger Sierpinski matta Sierpinski triangel Utrymmesfyllande kurva
konstig attraktion	Multifraktal
L-system	Utrymmesfyllande kurva
Bifurkationsfraktaler	Julia set Lyapunov fraktal Mandelbrot set Newtons pooler
Slumpmässiga fraktaler	Brownsk rörelse brunt träd fraktal yta Perkolationsteori
människor	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
Relaterade ämnen	Hur lång är Storbritanniens kust? » Kustlinjeparadox