Perkolationsteori

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 11 december 2021; kontroller kräver 6 redigeringar .

Perkolationsteori ( perkolationsteori eller läckageteori ) är en matematisk teori som används inom fysik, kemi och andra områden för att beskriva uppkomsten av sammankopplade strukturer i slumpmässiga medier ( kluster ) bestående av enskilda element.

De enklaste problemen med perkolationsteorin är formulerade för diskreta gitter . Sannolikheten (koncentrationen) med vilken rutnätsnoden kommer att vara upptagen anges. Följaktligen är sannolikheten att noden kommer att vara fri lika med . I det enklaste fallet anses alla noder vara oberoende, det vill säga att upptaget på en nod påverkar inte andras upptaget. Två noder anses tillhöra samma kluster om de kan kopplas samman med en kontinuerlig kedja av närliggande upptagna noder. När värdet på parametern ökar kommer ett ökande antal noder att upptas, och som ett resultat kommer kluster av en allt större storlek att dyka upp. Vid ett visst kritiskt värde bildas ett sammandragande (perkolations)kluster i systemet, som förbinder ena änden av systemet med den andra - en kritisk övergång kommer att inträffa, liknande en andra ordningens fasövergång . Den beskrivna formuleringen av problemet motsvarar det så kallade nodproblemet . Det är möjligt att formulera ett annat problem, där, med sannolikhet , inte själva noderna kommer att vara upptagna, utan förbindelserna mellan dem - problemet med anslutningar. Ett sådant tillvägagångssätt gör det möjligt att använda apparaten för perkolationsteorin inom många områden, till exempel i beskrivningen av porösa material, konduktivitet, polymerisation, biologisk evolution, galaxbildning och många andra [1] . $sid$ $1-s$ $sid$ ${\displaystyle p=p_{c))$ $sid$

Historik

Historien om matematikers intresse för fenomenet perkolation har sitt ursprung i ett problem som föreslås av professor De Volson Wood och publicerades 1894 i American Mathematical Monthly [2 ] :

Innehållsförklaring av problemet. Lika många vita och svarta bollar av samma storlek kastas i en rektangulär låda. Vad är sannolikheten att det kommer att bli kontinuerlig kontakt av vita bollar från ena änden av lådan till den andra? Som ett speciellt exempel, anta att lådan är 30 bollar lång, 10 bollar bred och 5 (eller 10) lager djup.

Originaltext (engelska)[ visaDölj] Ett verkligt fall föreslog följande: Ett lika antal vita och svarta bollar av lika storlek kastas in i en rektangulär låda, vad är sannolikheten att det kommer att bli sammanhängande kontakt av vita bollar från ena änden av lådan till den motsatta änden. Som ett speciellt exempel, anta att det finns 30 bollar i lådans längd, 10 i bredden och 5 (eller 10) lager djupa.

En rigorös matematisk grund för att beskriva de fysiska fenomen som är förknippade med perkolation utvecklades som ett resultat av tio års arbete av Stanislav Smirnov , som tilldelades Fields Prize 2010 för ett av sina arbeten inom området för plattgittermodeller i statistisk fysik [ 3] [4] .

Beskrivning

Fenomenet perkolation (eller mediumflöde ) bestäms av:

Miljön i vilken detta fenomen observeras;
En extern källa som ger flöde i denna miljö;
Sättet på vilket ett medium flödar, vilket beror på en extern källa.

Exempel

Som det enklaste exemplet kan vi betrakta en modell av flöde (till exempel elektriskt genombrott ) i ett tvådimensionellt kvadratiskt gitter , bestående av noder som kan vara ledande eller icke-ledande. I det första ögonblicket är alla nätnoder icke-ledande. Med tiden källan[ vad? ] ersätter icke-ledande noder med ledande noder, och antalet ledande noder ökar gradvis. I detta fall ersätts noderna slumpmässigt, det vill säga valet av någon av noderna för ersättning är lika troligt för hela gittrets yta.

Perkolation är det ögonblick då ett sådant tillstånd av gittret uppträder, i vilket det finns minst en kontinuerlig väg genom angränsande ledande noder från en till motsatt kant. Uppenbarligen, med en ökning av antalet ledande noder, kommer detta ögonblick att komma innan hela ytan av gittret [ klara ] kommer att bestå uteslutande av ledande noder.

Låt oss beteckna nodernas icke-ledande och ledande tillstånd med nollor respektive ettor. I det tvådimensionella fallet kommer mediet att motsvara en binär matris. Sekvensen för att ersätta matrisnollor med ettor kommer att motsvara läckagekällan.

I det första ögonblicket består matrisen helt av icke-ledande element:

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

När de utsätts för en extern källa börjar ledande element läggas till matrisen, men till en början räcker de inte för perkolering:

0	0	ett
ett	0	0
0	ett	0
0	ett	0

När antalet ledande noder ökar kommer det ett kritiskt ögonblick när perkolering inträffar, som visas nedan:

0	0	0	ett
ett	ett	0	0
0	ett	ett	0
0	0	ett	ett

Det kan ses att från vänster till höger kant av den sista matrisen finns en kedja av element som säkerställer strömflödet genom de ledande noderna (enheterna) som kontinuerligt följer varandra.

Perkolation kan observeras både i gitter och andra geometriska strukturer, inklusive kontinuerliga sådana, bestående av ett stort antal liknande element respektive kontinuerliga regioner, som kan vara i ett av två tillstånd. Motsvarande matematiska modeller kallas gitter eller kontinuum.

Ett exempel på perkolering i ett kontinuerligt medium kan vara passage av en vätska genom ett skrymmande poröst prov (till exempel vatten genom en svamp gjord av skummande material), där bubblorna gradvis blåses upp tills deras storlek är tillräcklig för att vätskan ska sippra. från en kant av provet till en annan.

Induktivt överförs begreppet perkolation till alla strukturer eller material, som kallas ett perkolationsmedium, för vilka en extern källa till läckage måste bestämmas, vars flödesmetod och element (fragment) kan vara i olika tillstånd, en av vilka (primär) inte uppfyller denna övergångsmetod och den andra uppfyller. Flödesmetoden innebär också en viss sekvens av förekomst av element eller en förändring av fragmenten av miljön till det tillstånd som är nödvändigt för flödet, vilket tillhandahålls av källan. Källan, å andra sidan, överför gradvis element eller fragment av provet från ett tillstånd till ett annat, tills ögonblicket för perkolation anländer.

Perkolationströskel

Uppsättningen element genom vilka flödet sker kallas ett perkolationskluster . Eftersom den till sin natur är en sammankopplad slumpmässig graf , kan den, beroende på den specifika implementeringen, ha en annan form. Därför är det vanligt att karakterisera dess totala storlek. Läckagetröskeln är den minsta koncentration vid vilken läckage uppstår.

På grund av den slumpmässiga karaktären av växlingstillstånd för elementen i miljön finns det i det slutliga systemet ingen tydligt definierad tröskel (storleken på det kritiska klustret), men det finns ett så kallat kritiskt område av värden, i vilket perkolationen tröskelvärden som erhålls som ett resultat av olika slumpmässiga implementeringar faller. När storleken på systemet ökar, minskar området till en punkt. För oändliga system är det lika med något fast värde: för alla finns det inget sammandragande kluster i systemet, för det är alltid närvarande. En analytisk beräkning av den kritiska koncentrationen är emellertid endast möjlig för ett begränsat antal gitterkonfigurationer. Till exempel, i det endimensionella fallet (gitteret är en oändlig kedja av noder) , för Bethe-gittret , där z är koordinationsnumret . I andra fall är en numerisk beräkning baserad på mjukvarusimuleringar på stora finita gitter möjlig. $p_{c}$ ${\displaystyle p<p_{c))$ $p>p_{c}$ $p_{c}=1$ $p_{c}=1/(z-1)$

Vid den kritiska punkten är många viktiga egenskaper hos systemet (såsom korrelationslängden, den genomsnittliga klusterstorleken, styrkan hos det sammandragande klustret, etc.) singular , och i det nästan kritiska området styrs de av maktlagar för formuläret . Kritiska exponenter fungerar som för olika kvantiteter . Det följer av universalitetens lag att dessa index endast beror på typen av perkolationsmodell och utrymmets dimension och inte beror på gittrets geometri. De är också samma för nod- och länkproblem. ${\displaystyle p=p_{c))$ ${\displaystyle |p-p_{c}|^{x))$ $x$

Anteckningar

↑ M. Sahini, M. Sahimi. Tillämpningar av perkolationsteori . — London: CRC Press, 2014-04-21. — 276 sid. — ISBN 978-0-429-08044-9 . Arkiverad 21 december 2021 på Wayback Machine
↑ Problem // American Mathematical Monthly : journal . - 1894. - Vol. 1 , nej. 3 . — S. 99 . - doi : 10.2307/2971675 . Arkiverad från originalet den 23 augusti 2021.
↑ Tillbaka till framtiden: 100-åriga AMM-problem kan ha varit den tidigaste antydan till Percolation Theory , Mathematical Association of America (25 augusti 2010). Arkiverad från originalet den 5 november 2016. Hämtad 5 november 2016.
↑ Rajendra Bhatia. Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Hyderabad, 19-27 augusti 2010 . — World Scientific, 2011-06-06. - S. 73-84. — 814 sid. — ISBN 978-981-4324-35-9 . Arkiverad 23 augusti 2021 på Wayback Machine

Se även

Sammanhängande

Litteratur

Tarasevich Yu Yu Perkolering: teori, tillämpningar, algoritmer: Lärobok - Moskva: Redaktionell URSS, 2002. - 112 sid.
Smirnov S. Om modern matematik och dess undervisning // Kvant , 2011, nr 2, sid. 11-18.
Kesten H. Perkolationsteori för matematiker. - Boston: Birkhauser, 1982. (Rysk översättning: Kesten X. Percolation theory for mathematicians. - M .: Mir, 1986. - 392 s.)
D. Stauffer och A. Aharony, Introduction to Percolation Theory, Taylor och Fransis, London, 1994.
B. I. Shklovsky, A. L. Efros, Elektroniska egenskaper hos dopade halvledare, kapitel 5. M .: Nauka, 1979.
A. Bunde, S. Havlin, Percolation I (s. 51-95), Percolation II (s. 97-149), i: Fractals and disordered systems, eds. A.Bunde, S.Havlin, Springer, Berlin, 1996.
VKSShante och S. Kirkpatrick, Adv. Phys. 20, 325 (1971).
S. Kirkpatrick, Rev. Mod. Phys. 45, 574 (1973).
Efros A. L. Oordnings fysik och geometri . — M .: Nauka , 1982. — 176 sid. - ( Bibliotek "Quantum" ). — 150 000 exemplar.

Länkar

Simulering av gitternoder som öppnar (ledare av elektrisk ström) Arkiverad 5 maj 2019 på Wayback Machine

fraktaler
Egenskaper	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion självlikhet
De enklaste fraktalerna	Fern Barnsley Kantor set drakekurva Koch kurva Svamp Menger Sierpinski matta Sierpinski triangel Utrymmesfyllande kurva
konstig attraktion	Multifraktal
L-system	Utrymmesfyllande kurva
Bifurkationsfraktaler	Julia set Lyapunov fraktal Mandelbrot set Newtons pooler
Slumpmässiga fraktaler	Brownsk rörelse brunt träd fraktal yta Perkolationsteori
människor	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
Relaterade ämnen	Hur lång är Storbritanniens kust? » Kustlinjeparadox