Fraktal dimension

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 april 2021; kontroller kräver 6 redigeringar .

Fractal dimension ( engelska  fraktal dimension ) är ett av sätten att bestämma dimensionen för en mängd i ett metriskt utrymme . Den fraktala dimensionen för en n -dimensionell mängd kan bestämmas med hjälp av formeln:

där  är det minsta antalet n -dimensionella "kulor" med radie som krävs för att täcka uppsättningen.

Den fraktala dimensionen kan ha ett numeriskt värde som inte är heltal [2] .

Grundidén om "fraktionell" ( eng.  frakturerad ) dimension har en lång historia inom matematikområdet, men det var själva termen som myntades av Benoit Mandelbrot 1967 i sin artikel om självlikhet , där han beskrev "bråkdel" ( eng.  bråkdel ) dimension [3] . I denna artikel hänvisade Mandelbrot till Lewis Fry Richardsons tidigare arbete , som beskrev den kontraintuitiva idén att den uppmätta längden av en kustlinje beror på längden på en mätstav (stolpe) ( se fig. 1 ). Efter denna uppfattning motsvarar strandlinjens fraktala dimension förhållandet mellan antalet stolpar (i en viss skala) som behövs för att mäta strandlinjens längd till den valda skalan på stolpen [4] . Det finns flera formella matematiska definitioner fraktal dimension som bygger på detta grundläggande koncept av förändring i ett element med förändring i skala.

Ett elementärt exempel är den fraktala dimensionen av Koch snöflingan . Dess topologiska dimension är 1, men det är inte på något sätt en korrigerbar kurva , eftersom längden på kurvan mellan två punkter på Koch-snöflingan är oändlig . Ingen godtyckligt liten del av en kurva är ett linjesegment. Snarare består Koch-snöflingan av ett oändligt antal segment kopplade i olika vinklar. Den fraktala dimensionen av en kurva kan förklaras intuitivt, förutsatt att en fraktal linje är ett objekt för detaljerat (detaljerat) för att vara endimensionellt, men inte tillräckligt komplext för att vara tvådimensionellt [5] . Därför beskrivs dess dimension bättre inte av den vanliga topologiska dimensionen 1, utan av dess fraktala dimension, som i detta fall är lika med ett tal mellan 1 och 2.

Inledning

Fraktal dimension  är en koefficient som beskriver fraktala strukturer eller mängder baserat på en kvantitativ bedömning av deras komplexitet , som en förändringskoefficient i detalj med en förändring i skalan [4] :1 . Vissa typer av fraktal dimensioner kan mätas teoretiskt och empiriskt ( se fig. 2 ) [7] [8] . Fraktaldimensioner används för att karakterisera ett brett spektrum av objekt från abstrakta [9] [7] till praktiska fenomen, till exempel: turbulens, [4] :97–104 flodnätverk , :246–247 urban tillväxt, [10] mänsklig fysiologi , [11] [12] medicin [8] och marknadstrender [13] . Grundidén om fraktionerad eller fraktal dimension har en lång historia inom matematiken som kan spåras tillbaka till 1600 [4] :19 [14] men själva termerna fraktal och fraktal dimension myntades av matematikern Benoit Mandelbrot 1975 [9 ] [4] [8] [13] [15] .

Den fraktala dimensionen introducerades först som en koefficient som beskriver geometriskt komplexa former, för vilka detaljer är viktigare än en komplett ritning [15] . För uppsättningar som beskriver vanliga geometriska former är den teoretiska fraktala dimensionen lika med den vanliga euklidiska eller topologiska dimensionen . Således, för uppsättningar som beskriver punkter, är den teoretiska fraktala dimensionen 0; 1 för uppsättningar som beskriver en rak linje (uppsättningar som endast har längd); 2 för uppsättningar som beskriver ytan (med längd och bredd); 3 för uppsättningar som beskriver volym (uppsättningar med längd, bredd och höjd). Men detta förändras för fraktaluppsättningar. Om den teoretiska fraktala dimensionen för en mängd överstiger den topologiska dimensionen, anses mängden ha en fraktal geometri [16] .

I motsats till den topologiska dimensionen kan fraktalkoefficienten ta ett icke- heltalsvärde [17] , vilket visar att fraktaluppsättningen fyller utrymmet annorlunda än den vanliga geometriska uppsättningen [9] [18] [7] . Till exempel, en kurva med en fraktal dimension mycket nära 1, säg 1,1, beter sig ganska som en vanlig linje, men en kurva med en fraktal dimension på 1,9 lindas i rymden, nästan som en yta. På liknande sätt beter sig en yta med en fraktal dimension på 2,1. Den fyller rymden nästan som en normal yta, men ytan med en fraktal dimension på 2,9 kollapsar och tenderar att fylla rymden nästan som en volym [16] :48 [noter 1] . Detta allmänna förhållande kan ses i 2-fraktalkurvans bild i fig. 2 och se fig. 3  - 32 segment, är konturen i fig . 2 intrikat och utrymmesfyllande. Denna fraktala kurva har en dimension på 1,67 jämfört med den mindre komplexa Koch-kurvan i figur 3 , som har en fraktal dimension på 1,26.

Förhållandet mellan den ökande fraktala dimensionen och fyllningsutrymmet kan tas som fraktaldimensionen för den uppmätta densiteten, men det är det inte. Dessa två parametrar är inte strikt korrelerade [6] . Istället mäter fraktal dimension komplexitet. Detta koncept är förknippat med vissa egenskaper hos fraktaler: självlikhet , mönster och olikformighet [noter 2] . Dessa egenskaper återfinns i exemplen på fraktala kurvor som beskrivs ovan. Båda kurvorna har en topologisk dimension på 1, så man hoppas att man kan mäta deras längd eller lutning , som med normala linjer. Men vi kan inte göra någon av dessa saker eftersom fraktala kurvor har en komplexitet av självlikhet och mönster som vanliga linjer inte har [4] . Självlikhet ligger i den oändliga skalan, och mönstret ligger i de definierande elementen i varje uppsättning. Längden mellan två punkter av dessa kurvor är inte definierad , eftersom dessa konstruktioner teoretiskt sett aldrig stannar, utan upprepar sig oändligt många gånger [19] . Varje mindre del består av ett oändligt antal skalsegment som ser ut exakt som i den första iterationen. Dessa är icke- likriktbara kurvor , det vill säga vi kan inte dela upp dem i separata segment och beräkna den ungefärliga längden. Vi kan inte beskriva i termer av längd och lutning. Däremot kan deras fraktala dimensioner bestämmas. De visar hur de fyller rymden mer än vanliga linjer, men mindre än ytor, och detta gör att du också kan jämföra dem med varandra.

Observera att de två fraktala kurvorna som beskrivs ovan visar en typ av självlikhet som exakt upprepar det initiala mönstret, vilket är lätt att visualisera. Strukturer av detta slag kan också hittas i andra utrymmen (till exempel fraktaler ). Om Koch-kurvan expanderas till ett 3-dimensionellt rum, kommer dess teoretiska fraktala dimension att vara lika med 2,5849. Det finns dock en svårighet att beräkna fraktaldimensionen för följande exempel [7] [13] : Storbritanniens kust är en ungefärlig modell med en ungefärlig skala [4] :26 . I allmänhet kan fraktaler vara av olika typer, grader av självlikhet och mönster som är svåra att visualisera. De inkluderar, som exempel, konstiga atttraktorer : släta pileup-områden [16] :49 , Julia-set och hjärtfrekvens [20] . Fraktal komplexitet är inte alltid lätt att beräkna utan att förlita sig på komplexa analytiska metoder som ändå leder till svaret genom fraktala dimensioner [4] :197; 262 .

Historik

Begreppen fraktal dimension och fraktal introducerades av Mandelbrot 1975 [15] , ungefär 10 år efter att han publicerade sin artikel om den brittiska kustens självlikhet. Mandelbrot kombinerade och tillämpade komplex teoretisk matematik och ingenjörsarbete på ett nytt sätt att studera komplex geometri. Detta har fungerat som en utmaning för de vanliga linjära termerna [14] [21] [22] . De tidigaste rötterna som Mandelbrot generaliserade i begreppet "fraktal geometri" spårades tydligt i skrifter om icke-differentiering, oändligheten av självliknande funktioner, som är viktiga i den matematiska definitionen av fraktaler. Runt den tiden publicerades en analys (i mitten av 1600-talet) [4] :405 . Det blev ett uppehåll i publiceringen av tidningar om sådana funktioner. Med början i slutet av 1800-talet, med skapandet av matematiska funktioner och mängder, som idag kallas kanoniska fraktaler (som verken med samma namn av von Koch , [19] Sierpinski , Julia ), började förnyelsen i detta område. Vid den här tiden sågs deras formulering ofta som starkt motsägande de matematiska "monstren" [14] [22] . Dessa verk åtföljdes tydligen av förslag om att de var det mest avgörande ögonblicket i utvecklingen av konceptet fraktal geometri, genom Hausdorffs arbete i början av 1900-talet. Hausdorff definierade "bråkdimensionen", som nu kallas vid hans namn och ofta används i definitionen av moderna fraktaler [3] [4] :44 [16] [21] .

Se fraktalernas historia för mer information .

Skalans roll

Idén om fraktal dimension ligger i en okonventionell representation av skala och dimension [23] . Detta ses i fig. 4 , som illustrerar de traditionella begreppen geometri, som bildar skalan på ett förutsägbart sätt och enligt förståeliga och välbekanta idéer om det utrymme där de finns. Till exempel, låt oss ta en linje, dela den i tre lika delar, då kommer varje del att vara 3 gånger mindre än längden på den ursprungliga raden. Det sker också i planet. Om du mäter arean av en kvadrat och sedan mäter arean av en kvadrat med en sidolängd på 1 ⁄ 3 av längden på sidan av den initiala kvadraten, blir den 9 gånger mindre än arean av den initiala kvadraten. Denna skala kan bestämmas matematiskt med hjälp av ekvationen 1 skalregel, där  är antalet detaljer,  är skalfaktorn,  är fraktaldimensionen:

(ett)

Symbolen betyder proportion. Denna skalregel bekräftar de traditionella reglerna för skalgeometri, eftersom för en linje - =3, när = 1 ⁄ 3 , då =1, och för kvadrater, eftersom =9, när = 1 ⁄ 3 , =2.

Samma regel gäller för fraktal geometri, men mindre intuitivt. För att beräkna för en fraktal linje med enhetslängd, skala ner med en faktor 3 vid första anblicken, i detta fall =4 när = 1 ⁄ 3 och värdet kan hittas genom att transformera ekvation 1:

(2)

Således, för en fraktal som beskrivs av =4, när = 1 ⁄ 3 , =1,2619. I det här fallet antar dimensionen ett icke-heltalsvärde, därför kan det antas att fraktalen har en dimension som inte är lika med dimensionen på det utrymme som den är inbäddad i [7] . Samma skala används för Koch-kurvan och Koch -snöflingan . Det bör noteras att dessa bilder i sig inte är sanna fraktaler, eftersom skalningen som beskrivs av värdet inte kan fortsätta i det oändliga av den enkla anledningen att bilderna bara finns på den minsta punkten - pixeln. Den teoretiska strukturen som representerar en digital bild har inte diskreta pixlar, som bitar, utan består av ett oändligt antal segment i olika vinklar med en fraktal dimension lika med 1,2619 [4] [23] .

Dimension är inte den enda parametern

Som i fallet med dimensionen definierad för linjen, kvadraten och kuben, är fraktala dimensioner allmänna egenskaper, vilket gör det omöjligt att entydigt definiera strukturen [23] [24] . Värdet för Koch-fraktalen gavs ovan, till exempel är skalan inneboende i den kvantitativa strukturen, men det räcker inte för att bygga den. Många fraktala strukturer och mönster kan ritas i samma skala som Koch-kurvan, men de kommer fortfarande att skilja sig från Koch-kurvan ( se figur 6 ).

För exempel på fraktaler: se Fractal , Sierpinski triangle , Mandelbrot set , Diffusion of limited aggregation , L-Systems .

Exempel

Begreppet fraktal dimension, som beskrivs i den här artikeln, är en klassisk form av en komplex struktur. Exemplen som beskrivs här har valts i illustrativt syfte. Skalan och koefficienten har varit kända sedan länge. I praktiken kan fraktala dimensioner dock bestämmas med metoder som tar en ungefärlig skala. Följande formel används som en definition av fraktal dimension i boken av Bozhokin S.V. och Parshin D.A. "Fractals and Multifractals" [2] :

där  är det minsta antalet n-dimensionella "kulor" med radie som krävs för att täcka uppsättningen.

Enligt denna formel, för en isolerad punkt, ett längdsegment , en ytarea , ett volymutrymme, sammanfaller fraktaldimensionen med den vanliga euklidiska dimensionen.

Med hjälp av denna formel kan man beräkna fraktaldimensionen för till exempel Cantor-uppsättningen ( se figur 7 ). Det är uppenbart att i det -e steget kommer vi att få segment av längd , av vilka det följer att fraktaldimensionen för Cantor-uppsättningen är lika med 0,6309 [2] .

Flera formella definitioner av olika typer av fraktaldimensioner ges nedan. Trots det faktum att för vissa klassiska fraktaler sammanfaller alla dessa dimensioner, i det allmänna fallet är de inte likvärdiga:

• Minkowski-dimension : D utvärderas som potenslagsexponenter.

• Informationsdimension: D betraktas som den genomsnittliga information som behövs för att identifiera den upptagna kapaciteten med storleken på denna kapacitet;  - sannolikhet.

• Korrelationsdimensionen D baseras påoch g ε , där är antalet punkter som används för att representera fraktalen, g ε  är antalet par av punkter närmare varandra än ε.

• Generaliserade Renyi-dimensioner:

Minkowski-, informations- och korrelationsdimensionerna kan betraktas som ett specialfall av ett kontinuerligt spektrum av generaliserade dimensioner av ordningen α, definierade enligt följande:

• Higuchi dimension [25]

• Lyapunov dimension
• Multifraktaldimensioner : Ett specialfall av Rényi-dimensioner där skalbeteendet förändras i olika delar av ritningen.
• Indikatorosäkerhet
• Hausdorff dimension
• Förpackningsmått
• Assoid dimension
• Lokalt relaterad dimension [26]

Uppskattning av verkliga data

Många verkliga fenomen uppvisar begränsade eller statistiska fraktala egenskaper och fraktala dimensioner som kan uppskattas från ett urval av data med hjälp av datorbaserade fraktalanalysmetoder . I praktiken beror mätningar av fraktal dimension på olika metodologiska frågor och är känsliga för numeriskt eller experimentellt brus och begränsade i datavolym. Ändå utvecklas området snabbt i uppskattningen av fraktaldimensionen för statistiskt självliknande fenomen. Den fraktala dimensionen har många praktiska tillämpningar inom olika områden, inklusive bilddiagnostik, [27] [28] fysiologi, [11] neurovetenskap, [12] medicin, [29] [30] [31] fysik, [32] [33] analys avbildning, [34] [35] [36] [37] akustik, [38] nollor av Riemann zeta-funktionen [39] och elektrokemiska processer [40] .

Ett alternativ till direkt mätning är en matematisk modell som liknar bildandet av ett riktigt fraktalt föremål. I detta fall kan verifiering också göras genom att jämföra andra fraktala egenskaper härledda från modellen med mätdata. Inom kolloidfysik är system sammansatta av partiklar med olika fraktala dimensioner. För att beskriva dessa system används en sannolikhetsfördelning av fraktaldimensionen. Och i slutändan är tiden utvecklingen av det senare: det är en process som drivs av en komplex interaktion mellan aggregering och koalescens [41] .

Se även

• Lista över fraktaler med beräknad Hausdorff-dimension
• Lacunarity
• Multifraktal analys
• fraktionerad derivat

Anteckningar

1. ↑ Se grafisk representation av olika fraktala dimensioner
2. ↑ Se fraktalparametrar

Anteckningar

1. ↑ Mandelbrot B., 2002 .
2. ↑ 1 2 3 Bozhokin S.V., 2001 .
3. ↑ 1 2 Mandelbrot B., 1967 .
4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Benoit B. Mandelbrot, 1983 .
5. ↑ Harte D., 2001 .
6. ↑ 1 2 3 Balay-Karperien A., 2004 .
7. ↑ 1 2 3 4 5 Vicsek T. (1992), 1992 , sid. tio.
8. ↑ 1 2 3 Losa Gabriele A., Nonnenmacher Theo F., 2005 .
9. ↑ 1 2 3 Falconer K., 2003 .
10. ↑ Chen Y, 2011 .
11. ↑ 12 Popescu DP, 2010 .
12. ↑ 12 King R.D., 2009 .
13. ↑ 1 2 3 Peters E., 1996 .
14. ↑ 1 2 3 Gerald E., 2004 .
15. ↑ 1 2 3 Albers Alexanderson, Gerald L. Alexanderson, 2008 .
16. ↑ 1 2 3 4 Mandelbrot Benoit, 2004 .
17. ↑ Sharifi-Viand A., Mahjani MG, Jafarian M., 2012 .
18. ↑ Sagan H., 1994 .
19. ↑ 1 2 Helge von Koch, "På en kontinuerlig kurva utan tangenter konstruerbar från elementär geometri", 2004 .
20. ↑ Tan Can Ozan, Cohen Michael A., Eckberg Dwain L., Taylor J. Andrew, 2009 .
21. ↑ 12 Nigel G., 2000 .
22. ↑ 1 2 MacTutor Matematikens historia .
23. ↑ 1 2 3 Iannaccone, Khokha, 1996 .
24. ↑ Vicsek T. (2001), 2001 .
25. ↑ Higuchi T.
26. ↑ Jelinek A., 2008 .
27. ↑ Landini G., 1995 .
28. ↑ Cheng Qiuming, 1997 .
29. ↑ Liu Jing Z., 2003 .
30. ↑ Smith T.G., 1996 .
31. ↑ Li J., 2009 .
32. ↑ Dubuc B., 1989 .
33. ↑ Roberts A., 1996 .
34. ↑ Al-KadiOS, 2008 .
35. ↑ Pierre S., 1996 .
36. ↑ Tolle CR, 2003 .
37. ↑ Gorsich DJ, 1996 .
38. ↑ Maragos P., 1999 .
39. ↑ Shanker O., 2006 .
40. ↑ Eftekhari A., 2004 .
41. ↑ Kryven I., 2014 .

Litteratur

• Al-Kadi OS, Watson D. Texturanalys av aggressiv och icke-aggressiv lungtumör CE CT-bilder  // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. - 2008. - T. 55 , nr 7 . - S. 1822-1830 . - doi : 10.1109/tbme.2008.919735 . Arkiverad från originalet den 13 april 2014.
• Alexanderson Albers , Alexanderson Gerald L. Benoit Mandelbrot: Med sina egna ord // Mathematical people : profiles and interviews. - Wellesley, Mass: A.K. Peters, 2008. - 214 sid. - ISBN 978-1-56881-340-0 .
• Balay-Karperien A. Definition av mikroglial morfologi: form, funktion och fraktal dimension . - Charles Sturt University, 2004. - S. 3. - 86 sid.
• Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktaler och multifraktaler . - 2001. - S.  15 -18. — 128 sid. — ISBN 5-93972-060-9 .
• Chen Y. Modellering av fraktalstruktur av stadsstorleksfördelningar med hjälp av korrelationsfunktioner // PLoS ONE. - 2011. - T. 6 , nr 9 . — S. e24791 . - doi : 10.1371/journal.pone.0024791 . - . - arXiv : 1104.4682 . — PMID 21949753 .
• Cheng Qiuming. Multifraktal modellering och lakunaritetsanalys // Matematisk geologi. - 1997. - T. 29 , nr 7 . - S. 919-932 . - doi : 10.1023/A:1022355723781 . — PMID 7499097 .
• Dubuc B., Quiniou J., Roques-Carmes C., Tricot C., Zucker S. Evaluating the fraktal dimension of profiles // Physical Review A. - 1989. - Vol. 39 , nr 3 . - S. 1500-1512 . - doi : 10.1103/PhysRevA.39.1500 . - . — PMID 9901387 .
• Eftekhari A. Fractal Dimension of Electrochemical Reactions // Journal of the Electrochemical Society. - 2004. - T. 151 , nr 9 . — s. E291–E296 . - doi : 10.1149/1.1773583 .
• Falconer K. Fractal Geometry. - New York: Wiley, 2003. - 308 sid. — S. 27–37. - ISBN 978-0-470-84862-3 .
• Gerald E. Klassiker på fraktaler . — Boulder: Westview Press, 2004. —  S. 25–46 . — 86p. - ISBN 978-0-8133-4153-8 .
• Gerald Edgar. Helge von Koch, "På en kontinuerlig kurva utan tangenter konstruerbar från elementär geometri" // Classics on Fractals . — Boulder: Westview Press, 2004. —  S. 25–46 . - ISBN 978-0-8133-4153-8 .
• Gorsich DJ, Tolle CR, Karlsen RE, Gerhart GR Wavelet Applications in Signal and Image Processing IV // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. - 1996. - T. 2825 . - S. 109 . - doi : 10.1117/12.255224 .
• Harte D. Multifractals. - London: Chapman & Hall, 2001. - S. 3-4. — ISBN 978-1-58488-154-4 .
• Higuchi T. Tillvägagångssätt till en oregelbunden tidsserie på basis av fraktalteorin (länk otillgänglig) (1987). Tillträdesdatum: 16 januari 2016. Arkiverad från originalet 4 mars 2016. (obestämd) 
• Iannaccone, Khokha. Fraktalgeometri i biologiska system . - 1996. - ISBN 978-0-8493-7636-8 .
• Jelinek A., Jelinek HF, Leandro JJ, Soares JV, Cesar Jr RM, Luckie A. Automatiserad detektion av proliferativ retinopati i klinisk praxis // Journal of Electroanalytical Chemistry. - 2008. - V. 2 , nr 1 . — S. 109–122 . - doi : 10.2147/OPTH.S1579 . — PMID 19668394 .
• King RD Karakterisering av atrofiska förändringar i hjärnbarken med hjälp av fraktal dimensionsanalys // Hjärnavbildning och beteende. - 2009. - V. 3 , nr 2 . — S. 154–166 . - doi : 10.1007/s11682-008-9057-9 . — PMID 20740072 .
• Kryven I., Lazzari S., Storti G. Populationsbalansmodellering av aggregation och koalescens i kolloidala system // Makromolekylär teori och simuleringar. - 2014. - T. 23 , nr 3 . - S. 170 . - doi : 10.1002/mats.201300140 .
• Landini G., Murray PI, Misson GP Lokalt kopplade fraktala dimensioner och lakunaritetsanalyser av 60 graders fluorescein-angiogram  // Investigative Ophthalmology & Visual Science. - 1995. - T. 36 , nr 13 . — S. 2749–2755 . — PMID 7499097 .
• Li J., Du Q., Sun C. En förbättrad rutorräkningsmetod för bildfraktaldimensionsuppskattning // Pattern Recognition. - 2009. - T. 42 , nr 11 . - S. 2460 . - doi : 10.1016/j.patcog.2009.03.001 . - . — PMID 8946315 .
• Liu Jing Z., Zhang Lu D., Yue Guang H. Fractal Dimension in Human Cerebellum Measured by Magnetic Resonance Imaging  // Biophysical Journal. - 2003. - T. 85 , nr 6 . — S. 4041–4046 . - doi : 10.1016/S0006-3495(03)74817-6 . - . — PMID 14645092 .
• Losa Gabriele A., Nonnenmacher Theo F. Fraktaler i biologi och medicin . - Springer, 2005. - ISBN 978-3-7643-7172-2 .
• Mandelbrot B. Hur lång är Storbritanniens kust? Statistisk självlikhet och bråkdimension // Vetenskap. - 1967. - T. 156 , nr 3775 . — S. 636–638 . - doi : 10.1126/science.156.3775.636 . - . — PMID 17837158 .
• Mandelbrot Benoit B. Naturens fraktala geometri . - Macmillan, 1983. - ISBN 978-0-7167-1186-5 .
• Mandelbrot B. Naturens fraktala geometri . - 2002. - S.  46 . — 666 sid.
• Mandelbrot Benoit. Fraktaler och kaos. - Berlin: Springer, 2004. - P. 38. - ISBN 978-0-387-20158-0 .
• Maragos P., Potamianos A. Fractal dimensions of speech sounds: Computation and application to automatic speech recognition // The Journal of the Acoustical Society of America. - 1999. - T. 105 , nr 3 . - S. 1925-1932 . - doi : 10.1121/1.426738 . — . — PMID 10089613 .
• Nigel G. Introduktion av fraktalgeometri . - Duxford: Icon, 2000. - S.  71 . — ISBN 978-1-84046-123-7 .
• Peters E. Kaos och ordning på kapitalmarknaderna: en ny syn på cykler, priser och marknadsvolatilitet. - New York: Wiley, 1996. - ISBN 0-471-13938-6 .
• Pierre S., Jean-F. Rivest. Om giltigheten av fraktala dimensionsmätningar i bildanalys  // Journal of Visual Communication and Image Representation. - 1996. - T. 7 , nr 3 . — S. 217-229 . — ISSN 1047-3203 . doi : 10.1006/ jvci.1996.0020 . Arkiverad från originalet den 20 juli 2011.
• Popescu, DP, Flueraru, C., Mao, Y., Chang, S., Sowa, MG Signaldämpning och lådräknande fraktalanalys av optisk koherenstomografibilder av artärvävnad // Biomedicinsk Optik Express. - 2010. - T. 1 , nr 1 . — S. 268–277 . - doi : 10.1364/boe.1.000268 . — PMID 21258464 .
• Roberts A., Cronin A. Opartisk uppskattning av multifraktaldimensioner av finita datamängder // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. - 1996. - T. 233 , nr 3-4 . - S. 867 . - doi : 10.1016/S0378-4371(96)00165-3 . — .
• Sagan H. Rymdfyllande kurvor. - Berlin: Springer-Verlag, 1994. - 156 s. - ISBN 0-387-94265-3 .
• Shanker O. Slumpmässiga matriser, generaliserade zetafunktioner och självlikhet mellan nollfördelningar // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 2006. - T. 39 , nr 45 . - S. 13983 . - doi : 10.1088/0305-4470/39/45/008 . - .
• Sharifi-Viand A., Mahjani MG, Jafarian M. Undersökning av anomal diffusion och multifraktala dimensioner i polypyrrolfilm // Journal of Electroanalytical Chemistry. - 2012. - T. 671 . - S. 51 . - doi : 10.1016/j.jelechem.2012.02.014 .
• Smith TG, Lange GD, Marks WB Fraktalmetoder och resultat i cellulär morfologi — dimensioner, lakunaritet och multifraktaler // Journal of Neuroscience Methods. - 1996. - T. 69 , nr 2 . — S. 123–136 . - doi : 10.1016/S0165-0270(96)00080-5 . - . — PMID 8946315 .
• Tan Can Ozan, Cohen Michael A., Eckberg Dwain L., Taylor J. Andrew. Fraktala egenskaper hos mänskliga hjärtperiodvariationer: Fysiologiska och metodologiska implikationer // Journal of Electroanalytical Chemistry. - 2009. - T. 587 , nr 15 . - S. 3929 . - doi : 10.1113/jphysiol.2009.169219 .
• Tolle CR, McJunkin TR, Gorsich DJ Suboptimal minsta klustervolym täckningsbaserad metod för att mäta fraktal dimension  // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. - 2003. - T. 25 . - S. 32 . - doi : 10.1109/TPAMI.2003.1159944 . Arkiverad från originalet den 20 juli 2011.
• Trochet, Holly. En historia av fraktalgeometri . MacTutor History of Mathematics (2009). Datum för åtkomst: 16 januari 2016. Arkiverad från originalet den 4 februari 2012. (obestämd)
• Vicsek T. Fraktaltillväxtfenomen . - Singapore New Jersey: World Scientific, 1992. - 165 sid. — ISBN 5-09-002630-0 .
• Vicsek T. Fluktuationer och skalning i biologi. - Oxford [Oxfordshire]: Oxford University Press, 2001. - ISBN 0-19-850790-9 .

Ytterligare läsning

• Mandelbrot, Benoit B. , The (Mis) Behavior of Markets, A Fractal View of Risk, Ruin and Reward (Basic Books, 2004)

Länkar

• TruSofts Benoit , programvara för fraktalanalys beräknar fraktala dimensioner och hurstexponenter.
• En Java-applet för att beräkna fraktaldimensioner
• Introduktion till fraktalanalys
• Bowley, Roger Fractal Dimension . Sextio symboler . Brady Haran för University of Nottingham (2009). (obestämd)

fraktaler
Egenskaper	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion självlikhet
De enklaste fraktalerna	Fern Barnsley Kantor set drakekurva Koch kurva Svamp Menger Sierpinski matta Sierpinski triangel Utrymmesfyllande kurva
märklig attraktion	Multifraktal
L-system	Utrymmesfyllande kurva
Bifurkationsfraktaler	Julia set Lyapunov fraktal Mandelbrot set Newtons pooler
Slumpmässiga fraktaler	Brownsk rörelse brunt träd fraktal yta Perkolationsteori
människor	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
Relaterade ämnen	Hur lång är Storbritanniens kust? » Kustlinjeparadox

Dimension av utrymme
Utrymmen efter dimension	Nolldimensionell en-dimensionell 2D 3D fyrdimensionell femdimensionell Sexdimensionell Sjudimensionell oktal Niodimensionell n-dimensionell Negativ dimension
Polytoper och figurer	Simplex hyperkub tesserakt Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkub Cross-polytope hypersfär
Typer av utrymmen	ändligt dimensionellt utrymme Euklidiskt utrymme affint utrymme projektivt utrymme Gratis modul Grenrör Dimension av en algebraisk variabel rum-tid
Andra dimensionella koncept	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Bråkdimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader av frihet
Matte