Fraktionerad derivat

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 september 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Bråkderivatan (eller bråkordningsderivatan) är en generalisering av det matematiska konceptet för en derivata . Det finns flera olika sätt att generalisera detta begrepp, men de sammanfaller alla med begreppet den vanliga derivatan när det gäller naturlig ordning. När inte bara bråktal utan även negativa ordningar av ett derivat beaktas, används vanligtvis termen differintegral på en sådan derivata .

Bråkderivata på ett segment av den reella axeln

För en funktion definierad på intervallet , vart och ett av uttrycken $f(x)$ $[a,\,b]$

$D_{a+}^{\alpha }\,f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha ))){\frac {d}{dx))\int \limits _{a}^{x}{\frac {f(t)\,dt}{(xt)^{\alpha }}},\quad \,D_{b-}^{\alpha }\,f( x)=-{\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int \limits _{x}^{b}{\frac {f(t )\,dt}{(tx)^{\alpha }}},$

kallas bråkderivata av ordning , , respektive, vänsterhänt och högerhänt. Fraktionerade derivat i ovanstående form kallas vanligtvis Riemann-Liouville-derivat. $\alfa$ $0 < \alfa < 1$

Definition via Cauchy-integralen

Orderns bråkdelderivata ( är ett reellt positivt tal) bestäms genom Cauchy-integralen: , där integrationen utförs längs en förvald kontur på det komplexa planet. Den direkta tillämpningen av denna formel är svår på grund av funktionens förgrening med en bråkdelsexponent i nämnaren. $sid$ $sid$ $D_{C}^{p}f(t)={\frac {1}{\Gamma (p)))\!\int \limits _{C}{\frac {f(u)}{ (tu)^{p+1}}}\,du$ $C$

Definition via Fouriertransformen

Baserat på följande egenskap hos den integrerade Fouriertransformen

F[D^{k}\psi (x)](\omega )=(-i\omega )^{k}(F\psi )(\omega )\quad (k\in \mathbb {N } ).

[ett]

Definition genom den allmänna formeln för den n -te derivatan

Om det finns ett generellt analytiskt uttryck för derivatan av n :e ordningen kan begreppet bråkderivata introduceras på ett naturligt sätt genom att generalisera detta uttryck (när det är möjligt) till fallet med ett godtyckligt tal n .

Exempel 1: differentierande polynom

Låt det finnas en monomial av formen $f(x)$

f(x)=x^{k}\,.

Den första derivatan, som vanligt

f'(x)={d \over dx}f(x)=kx^{k-1}\,.

Att upprepa denna procedur ger ett mer allmänt resultat.

{d^{n} \over dx^{n}}x^{k}={k!  \over (kn)!}x^{kn}\,,

som, efter att ha ersatt factorials med gammafunktioner , leder till

{d^{n} \over dx^{n}}x^{k}={\Gamma (k+1) \over \Gamma (k-n+1)}x^{kn}\, .

Därför är till exempel halvderivatan av funktionen x

{d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}x={\Gamma (1+1) \over \Gamma (1-{1 \over 2}+1)} x^{1-{1 \over 2}}={\Gamma (2) \over \Gamma ({3 \over 2})}x^{1 \over 2}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}x^{1 \over 2}\;={\frac {2\,x^{1 \over 2}}{\sqrt {\pi }}}\,.

Upprepa proceduren, vi kommer att ha

{d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}{2\pi ^{-{1 \over 2}}}x^{1 \over 2}={2\ pi ^{-{1 \over 2))}{\Gamma (1+{1 \over 2}) \over \Gamma ({1 \over 2}-{1 \over 2}+1)}x^{ {1 \over 2}-{1 \over 2}}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}{\Gamma ({3 \over 2}) \over \Gamma (1)}x ^{0}={1 \över \Gamma (1)}=1\,,

vad är det förväntade resultatet

\left({\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}{\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}} \right)x={d \over dx}x=1\,.

Sålunda är det möjligt att införa bråk-derivator av en godtycklig positiv ordning av ett polynom. Definitionen generaliserar naturligtvis också till analytiska funktioner. Om vi betraktar som en meromorf funktion av en komplex variabel, kan vi generalisera definitionen till fallet med en godtycklig differentieringsordning. Vart i $\Gamma$

{\left({d \over dx}\right)}^{a}{\left({d \over dx}\right)}^{b}={\left({d \over dx} \right)}^{a+b}

på alla sådana att , och inte är negativa heltal. $x^{k}$ $ka$ $kb$ $kab$

Det bör noteras att derivatan i betraktad mening äger rum för heltalsnegativa n , dock skiljer sig en sådan derivata från konceptet med en antiderivata av n :e ordningen, eftersom antiderivatan inte är unikt definierad, medan derivatan sammanfaller med endast en av antiderivaten. I det här fallet kan vi prata om huvudinnebörden av antiderivatet.

Exempel 2: Differentiera trigonometriska funktioner

Låta

f(x)=\sin(ax+b)\,.

Eftersom för alla a och b

{d^{n} \over dx^{n}}\sin(ax+b)=a^{n}\sin \left(ax+b+{\pi n \over 2}\right)\ ,,

sedan , förutsatt $n=1/2$

{{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}}\sin(ax+b)={\sqrt {a}}\,\sin \left(ax+b+ {\pi \över 4}\right)\,.

Verkligen,

{{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}}\left({{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}} \sin(ax+b)\right)={\sqrt {a}}\;{\sqrt {a}}\,\sin \left(ax+b+{\pi \over 4}+{\pi \over 4}\right)=a\,\cos(ax+b)=f'(x)\,.

I det övervägda exemplet är begreppet derivat generaliserat till fallet med vilken verklig och till och med komplex ordning som helst. Så, vid , ger formeln för den n :e derivatan en av antiderivaten av funktionen . $n=-1$ $f(x)$

Egenskaper

De viktigaste egenskaperna hos en derivata av icke-heltalsordning:

Linjäritet

D_{t}^{q}(f(t)+g(t))=D_{t}^{q}(f(t))+D_{t}^{q}(g(t) ))

D^{q}(ax)=aD^{q}(x)

Nollregel

D^{0}x=x

Fraktionellt derivat av en produkt

D_{t}^{q}(f(t)g(t))=\summa _{j=0}^{\infty }{q \choose j}D_{t}^{j}( f(t))D_{t}^{qj}(g(t))

semigroup egendom

D^{a}D^{b}f(t)=D^{a+b}f(t)

i allmänhet inte nöjd [1] .

Anteckningar

↑ 1 2 Se Formel (1.3.11) (s. 11) i AA Kilbas, HM Srivastava, JJ Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. (Elsevier, 2006)

Se även

Litteratur

Riemann B. Erfarenhet av generalisering av åtgärder för integration och differentiering . - Moskva, Leningrad: GITTL, 1948. - 544 s.
Samko SG , Kilbas AA , Marichev OI Bråkintegraler och derivator och några av deras tillämpningar . - Minsk: Science and technology, 1987. - 688 s.
Pskhu AV- ekvationer i partiella derivator av bråkordning. - Moskva: Nauka, 2005. - 199 sid.
Nakhushev AM Bråkkalkyl och dess tillämpning . - Moskva: FIZMATLIT, 2003. - 272 s. — 5−9221−0440−3 ex. Arkiverad20 juli 2013 påWayback Machine
Uchaikin VV Metod för fraktionerade derivat . - Ulyanovsk: Artishok, 2008. - 512 s. - 400 exemplar. - ISBN 978-5-904198-01-5 . (inte tillgänglig länk)
Tarasov VE Modeller av teoretisk fysik med fraktionerad integro-differentiering. - Moskva, Izhevsk: RHD, 2010. - 568 s.
V.V. Vasiliev, L.A. Simak. Bråkräkning och approximationsmetoder vid modellering av dynamiska system . - Kiev: NAS of Ukraine, 2008. - S. 256. - ISBN 978-966-02-4384-2 .
F. Mainardi. Bråkräkning och vågor i linjär viskoelasticitet: en introduktion till matematiska modeller . - Imperial College Press, 2010. - 368 sid. Arkiverad 19 maj 2012 på Wayback Machine
VE Tarasov. Bråkdynamik: Tillämpningar av bråkräkning på dynamik för partiklar, fält och media . - 2010. - 450 sid.
VV Uchaikin. Fraktionella derivator för fysiker och ingenjörer . - Högskolepress, 2012. - 385 s.
R. Herrmann. Bråkräkning. En introduktion till fysiker . - Singapore: World Scientific, 2014. - ISBN 978-981-4551-09-0 .
AA Kilbas, HM Srivastava, JJ Trujillo. Teori och tillämpningar av fraktionella differentialekvationer. — Elsevier. — Amsterdam, 2006.
SG Samko, AA Kilbas, OI Marichev. Bråkintegraler och derivatteori och tillämpningar. — New York: Gordon and Breach, 1993.
K. Miller, B. Ross. En introduktion till bråkkalkyl och bråkdifferentialekvationer. — New York: Wiley, 1993.
I. Podlubny. Bråk-differentialekvationer. - San Diego: Academic Press, 1999.
B. Ross. En kort historik och redogörelse för den grundläggande teorin om bråkräkning. — Notes Math, 1975.

Länkar

tidskrift: "Fractional Calculus & Applied Analysis", (från 1998 till 2014) och Fractional Calculus and Applied Analysis (från 2015)
Journal: Fractional Differential Equations (FDE)
Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
Journal: Progress in Fractional Differentiation and Applications
tidskrift: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
Tillämpningar av bråkräkning
Bråkkalkyl, Riemann-Liouvilles definition av bråkintegralen, en definition av bråkderivat och en lista över tillämpningar av kalkylen. (Engelsk)
Bråkräkning _
Bråkräkning - Innehåller inledande anteckningar om bråkräkning
Weisstein, Eric W. Fractional Calculus (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen ..
Bråkintegraler och derivator och deras tillämpningar. S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev, Minsk, 1987 (otillgänglig länk)