Bråkdel integro härledning

Bråkdel integro härledning
Huvudtema	Fraktalräkning [d]
Formel som beskriver en lag eller teorem	$\mathbb {D} ^{q}f$

Bråkintegrodifferentiering i matematisk analys är en kombinerad differentierings- / integrationsoperator , vars ordning kan vara ett godtyckligt reellt eller komplext tal. Används i bråkräkning . Operatören själv tjänar till att beteckna operationen att ta en derivata/integral av en bråkordning .

Operatören betecknas vanligtvis enligt följande: $\mathbb {D} _{t}^{q}.$

Definitioner

De tre mest använda formlerna är:

Den enklaste och mest använda formuleringen. Denna formel är en generalisering till en godtycklig ordning av Cauchys itererade integrationsformel .

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)$	$={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(ta)^{q))}=$
	$={\frac {1}{\Gamma (nq)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int \limits _{a}^{t}(t -\tau )^{nq-1}f(\tau )\,d\tau ,$

var .

n=\lceil q\rceil

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)$	$={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(ta)^{q))}=$
	$=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {ta}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}( -1)^{j}{q \choose j}f\left(tj\left[{\frac {ta}{N}}\right]\right).$

Formellt liknar den Riemann-Liouville-integro-derivationen, men sträcker sig till periodiska funktioner med noll integral över perioden.

F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt.

I Fourierrymden motsvarar differentiering produkten:

{\mathcal {F}}\left[\mathbb {D} f(t)\right]={\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\ höger]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)].

Det är därför,

\mathbb {D} f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega ){\mathcal {F}}[f(t)]\right\ },

som kokar ner till

\mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F} [f(t)]\right\}.

Under Laplace-transformen , betecknad här , ersätts differentiering med multiplikation $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].

Att generalisera för en godtycklig differentieringsordning och lösa ekvationen för , får vi $\mathbb {D} ^{q}f(t)$

\mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f( t)]\right\}.

\mathbb {D} _{t}^{q}\,(f(t)+g(t))=\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)+ \mathbb {D} _{t}^{q}\,g(t);

\mathbb {D} _{t}^{q}\,(af(t))=a\,\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t).

\mathbb {D} _{t}^{0}\,t=t.

\mathbb {D} _{t}^{q}\;(f(t)g(t))=\summa _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}\,f(t)\,\mathbb {D} _{t}^{qj}g(t).

\mathbb {D} _{t}^{a}\mathbb {D} _{t}^{b}\,f(t)=\mathbb {D} _{t}^{a+b }med).

i allmänhet inte nöjd [1] .

↑ se Egenskap 2.4 (s. 75) i Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Elsevier, 2006.

Samko SG , Kilbas AA , Marichev OI Bråkintegraler och derivator och några av deras tillämpningar . - Mn. : Vetenskap och teknik, 1987. - 688 sid.
Pskhu AV- ekvationer i partiella derivator av bråkordning. - M. : Nauka, 2005. - 199 sid.
Nakhushev A. M. Bråkkalkyl och dess tillämpning. - M. : FIZMATLIT, 2003. - 272 sid. — ISBN 5-9221-0440-3 .
Uchaikin VV Metod för fraktionerade derivat. - Ulyanovsk: Artishok, 2008. - 512 s. - 400 exemplar. - ISBN 978-5-904198-01-5 .

Tarasov VE Modeller av teoretisk fysik med fraktionerad integro-differentiering. - M. , Izhevsk: RHD, 2011. - 568 sid.
Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ Teori och tillämpningar av fraktionella differentialekvationer. — Amsterdam: Elsevier, 2006.
Samko SG, Kilbas AA, Marichev OI Bråkintegraler och derivatteori och tillämpningar. — New York: Gordon and Breach, 1993.
Miller K., Ross B. En introduktion till bråkräkningen och bråkdifferentialekvationer. — New York: Wiley, 1993.
Mainardi F. Bråkräkning och vågor i linjär viskoelasticitet: En introduktion till matematiska modeller. - Imperial College Press, 2010. - 368 sid.
Podlubny I. Bråkdifferentialekvationer . - San Diego: Academic Press, 1999.
Ross B. En kort historia och redogörelse för den grundläggande teorin om bråkräkning // Lect. Anteckningar Math. - 1975. - Vol. 457. - S. 1-36.
Tarasov VE Fractional Dynamics: Tillämpningar av fraktionell kalkyl på dynamiken för partiklar, fält och media . - Springer, 2010. - 450 sid.
Uchaikin VV fraktionella derivat för fysiker och ingenjörer . - Springer, Higher Education Press, 2012. - 385 sid.