Minkowski dimension

Minkowski-dimensionen eller den grova dimensionen för en avgränsad mängd i ett metriskt utrymme är

\lim \limits _{{\varepsilon \to 0}}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{-\ln(\varepsilon )))

var är det minsta antalet uppsättningar av diameter , som kan täcka vår uppsättning. Om gränsen inte finns kan vi överväga de övre och nedre gränserna och tala om de övre respektive nedre Minkowski-dimensionerna. $N_\varepsilon$ $\varepsilon$

Ett koncept som ligger nära Minkowski- dimensionen är Hausdorff-dimensionen . I många fall sammanfaller dessa dimensioner, även om det finns uppsättningar där de är olika.

Exempel

dimensionen för en ändlig mängd är lika med noll, eftersom den för den inte överstiger antalet element i den. $\rho (n)$
segmentets dimension är 1, eftersom längdsegment behövs för att täcka längdsegmentet . På det här sättet, $\lceil a/\epsilon \rceil$ $\epsilon$ $a$ $\lim \limits _{{\epsilon \to 0}}{\frac {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )))=\lim \limits _{{\epsilon \to 0}}{\frac {\ln a-\ln \epsilon }{-\ln \epsilon }}=1$ ,
dimensionen av en kvadrat är 2, eftersom antalet rutor med diagonal , som krävs för att täcka en kvadrat med sida , beter sig ungefär som . $1/n$ $a$ $a^{2}n^{2}$
dimensionen för fraktaluppsättningen kan vara ett bråktal. Så, dimensionen på Koch-kurvan är . $\ln 4/\ln 3$

I detalj

En informell diskussion som visar detta är följande. Segmentet kan delas upp i 2 delar, liknande det ursprungliga segmentet med en faktor på 1/2. För att täcka ett segment med uppsättningar av diameter måste vi täcka var och en av halvorna med sådana uppsättningar. Men för hälften av dem behövs samma antal som för hela segmentet av uppsättningar av diameter . Därför har vi för segmentet . Det vill säga, om det fördubblas , fördubblas det också. Det är med andra ord en linjär funktion. $1/n$ $2/n$ $\rho (n)\ca 2\rho (n/2)$ $n$ $\rho (n)$ $\rho (n)$

För en kvadrat ger ett liknande argument . Det vill säga, med en dubbel ökning ökar den med 4 gånger. Det är med andra ord en kvadratisk funktion.

\rho (n)\ca 4\rho (n/2)

n

\rho (n)

\rho (n)

Slutligen består Koch-kurvan av 4 delar, som var och en liknar den ursprungliga kurvan med en faktor på 1/3. Därför för henne . Vi får ersätta . Det följer att dimensionen är .

\rho (n)\ca 4\rho (n/3)

n=3^{k}

\rho (3^{k})\approx 4\rho (3^{{k-1}})\approx 4^{2}\rho (3^{{k-2}})\approx \dots \ ca 4^{k}\rho (1)=4^{{\log _{3}n}}\rho (1)=n^{{\ln 4/\ln 3}}\rho (1)

\ln 4/\ln 3

Formellt: låt n vara steget av fraktalen, i det n:e steget kommer vi att ha lika långa segment . Ta för ε ett segment med längd , för att sedan täcka hela Koch-kurvan behöver vi segment. För att villkoret ε→0 ska vara uppfyllt, låt oss tendera till n→ . Skaffa sig $4^{{n}}$ $3^{{-n}}$ $3^{{-n}}$ $4^{{n}}$ $\infty$

\lim \limits _{{\epsilon \to 0}}{\frac {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )))=\lim \limits _{{n\to \ infty }}{\frac {\ln(4^{{n}})}{-\ln(3^{{-n}})))={\frac {\ln 4}{\ln 3}}

dimensionen på Minkowski-setet är 1/2. $\{0,1,{\frac 12},{\frac 13},{\frac 14},\dots \}$

Egenskaper

Minkowski-dimensionen för en ändlig förening av mängder är lika med maximum av deras dimensioner. Till skillnad från Hausdorff-dimensionen är detta inte sant för countable union. Till exempel har uppsättningen rationella tal mellan 0 och 1 Minkowski-dimension 1, även om det är en räknebar förening av enelementsmängder (som var och en har dimension 0). Ett exempel på en sluten räknebar uppsättning med en Minkowski-dimension som inte är noll ges ovan.
Den nedre Minkowski-dimensionen för varje set är större än eller lika med dess Hausdorff-dimension.
Minkowski-dimensionen för varje set är lika med Minkowski-dimensionen för dess förslutning. Därför är det vettigt att bara tala om Minkowski-dimensionerna för slutna uppsättningar.

Se även

Litteratur

Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Introduktion till dimensionsteorin. Moskva: Nauka, 1973
Kronover R. M. Fraktaler och kaos i dynamiska system M.: POSTMARKET, 2000

fraktaler
Egenskaper	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion självlikhet
De enklaste fraktalerna	Fern Barnsley Kantor set drakekurva Koch kurva Svamp Menger Sierpinski matta Sierpinski triangel Utrymmesfyllande kurva
konstig attraktion	Multifraktal
L-system	Utrymmesfyllande kurva
Bifurkationsfraktaler	Julia set Lyapunov fraktal Mandelbrot set Newtons pooler
Slumpmässiga fraktaler	Brownsk rörelse brunt träd fraktal yta Perkolationsteori
människor	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
Relaterade ämnen	Hur lång är Storbritanniens kust? » Kustlinjeparadox

Dimension av utrymme
Utrymmen efter dimension	Nolldimensionell en-dimensionell 2D 3D fyrdimensionell femdimensionell Sexdimensionell Sjudimensionell oktal Niodimensionell n-dimensionell Negativ dimension
Polytoper och figurer	Simplex hyperkub tesserakt Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkub Cross-polytope hypersfär
Typer av utrymmen	ändligt dimensionellt utrymme Euklidiskt utrymme affint utrymme projektivt utrymme Gratis modul Grenrör Dimension av en algebraisk variabel rum-tid
Andra dimensionella koncept	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Bråkdimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader av frihet
Matte