Partiell sekvensgräns

Den partiella gränsen för en sekvens är gränsen för en av dess undersekvenser, om den finns. För konvergerande numeriska sekvenser sammanfaller den partiella gränsen med den vanliga gränsen på grund av den senares unikhet, men i det mest allmänna fallet kan en godtycklig sekvens ha från noll till ett oändligt antal olika delgränser. Dessutom, om den vanliga gränsen karakteriserar den punkt till vilken elementen i sekvensen närmar sig med ökande antal, så karakteriserar de partiella gränserna punkterna nära vilka det finns oändligt många element i sekvensen.

Två viktiga specialfall av delgränsen är övre och nedre gränser.

Definitioner

Den partiella gränsen för en sekvens är gränsen för någon av dess undersekvenser , om det finns minst en undersekvens som har en gräns. Annars sägs sekvensen inte ha några partiella gränser. I viss litteratur, i de fall där det är möjligt att välja en oändligt stor delsekvens från en sekvens, vars alla element är samtidigt positiva eller negativa, kallas dess partiella gräns för respektive , eller . $+\infty$ $-\infty$

Den nedre gränsen för en sekvens är den minsta infimum av uppsättningen av delgränser för sekvensen.

Den övre gränsen för en sekvens är den minsta övre gränsen för uppsättningen av delgränser för sekvensen.

Ibland är den nedre gränsen för en sekvens den minsta av dess gränspunkter , och den övre gränsen är den största. [1] Dessa definitioner är likvärdiga, eftersom den exakta ytan av uppsättningen av gränspunkter nödvändigtvis tillhör denna uppsättning.

Notation

Nedre sekvensgräns : $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$

$\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n}$ (i inhemsk litteratur);

$\liminf _{{n\to \infty }}x_{n}$ (i utländsk litteratur).

Övre sekvensgräns : $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$

$\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}$ (i inhemsk litteratur);

$\limsup _{{n\to \infty }}x_{n}$ (i utländsk litteratur).

Exempel

$\varliminf _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\varlimsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\lim _{n \to \infty }{\frac {1}{n}}=0$

$\varliminf _{{n\to \infty }}\left(-1\right)^{n}=-1$

$\varlimsup _{{n\to \infty }}\left(-1\right)^{n}=+1$

$\nfinns \varliminf _{{n\to \infty }}n,\nexisterar \varlimsup _{{n\to \infty }}n$ (i annan terminologi är båda gränserna lika ) $+\infty$

Egenskaper

En partiell gräns för en sekvens kan bara vara dess gränspunkt , och omvänt är varje gränspunkt för en sekvens en del av dess partiella gräns. Med andra ord är begreppen "partiell gräns för en sekvens" och "gränspunkt för en sekvens" ekvivalenta med [a] .
Varje avgränsad sekvens har både övre och nedre gränser (i uppsättningen av reella tal ). Om vi också tar hänsyn till de tillåtna värdena för delgränsen, så finns de övre och nedre gränserna i allmänhet för alla numeriska sekvenser. $-\infty$ $+\infty$
En numerisk sekvens konvergerar till om och endast om . $\{x_n\}$ $a$ $\varliminf _{{n\rightarrow \infty }}{x_{{n}}}=\varlimsup _{{n\rightarrow \infty }}{x_{{n}}}=a$
För alla positiva tal som tas i förväg, ligger alla element i den begränsade numeriska sekvensen , med början från något tal beroende på , inom intervallet . $\varepsilon$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $\varepsilon$ $\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}+\varepsilon \right)$
Om endast ett ändligt antal element i en begränsad numerisk sekvens ligger utanför intervallet , så ingår intervallet i intervallet . $\left(a,b\right)$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n},\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}\right)$ $\left(a,b\right)$
Uppsättningen av delgränser är stängd.

Anteckningar

Kommentarer

↑ Man bör komma ihåg att ett element som förekommer i en sekvens ett oändligt antal gånger är en gränspunkt för denna sekvens (i motsats till en gränspunkt för en mängd).

Källor

↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 3. Theory of Limits // Matematisk analys / Ed. A.N. Tikhonova . - 3:e uppl. , reviderad och ytterligare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 92 - 105. - 672 sid. — ISBN 5-482-00445-7 .