Logistisk display

En logistisk karta (även kvadratisk karta eller Feigenbaum-karta ) är en polynomkarta som beskriver hur populationens storlek förändras över tid. Han nämns ofta som ett exempel på hur komplext, kaotiskt beteende kan uppstå från mycket enkla icke-linjära ekvationer . Den logistiska kartan är en diskret analog till den kontinuerliga logistiska Verhulst- ekvationen ; det återspeglar det faktum att befolkningstillväxten sker vid diskreta tidpunkter.

Matematisk formulering [1] av kartläggning

x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})

var:

x_{n}

tar värden från 0 till 1 och återspeglar förhållandet mellan befolkningsvärdet under det -e året till det maximala möjliga, och anger det initiala numret (i år nummer 0);

n

x_{0}

r

är en positiv parameter som kännetecknar populationens reproduktionshastighet (tillväxt).

Ibland kallas denna formulering Verhulst (eller Verhulst -Pearl ) mappning, och den logistiska mappningen är en annan, men likvärdig i egenskapsformel [2] :

x_{{n+1}}=1-\lambda x_{n}^{2}

Denna icke-linjära mappning beskriver två effekter:

å ena sidan, när populationsstorleken är liten, reproducerar den i en takt som är proportionell mot denna storlek;
å andra sidan, eftersom befolkningen lever i en miljö med begränsad "kapacitet", då med en ökning av befolkningstätheten, minskar reproduktionsgraden, konkurrensen och dödligheten ökar.

En av nackdelarna med att använda kartläggningen som en demografisk modell är det faktum att för vissa initiala värden och parametervärden ger kartläggningen negativa värden för populationsstorleken. Den diskreta Ricoeur-modellen , som också uppvisar kaotiskt beteende, har inte denna brist.

Beteende beroende av parameter $r$

Vid ändring av värdet på parametern observeras följande beteende i systemet [3] . $r$

Om den är större än 0 och mindre än 1 kommer befolkningen så småningom att dö ut, oavsett initiala förhållanden. $r$
Om den är större än 1 och mindre än 2 kommer populationsstorleken snabbt att nå ett stationärt värde , oavsett de initiala förhållandena. $r$ ${\frac {r-1}{r))$
Om mer än 2 och mindre än 3 kommer populationsstorleken på samma sätt att komma till samma stationära värde , men till en början kommer den att fluktuera något runt det. Konvergenshastigheten är linjär överallt, förutom värdet =3, där den är extremt liten, mindre än linjär. $r$ ${\frac {r-1}{r))$ $r$
Om det är större än 3 och mindre (ungefär 3,45), kommer populationen att fluktuera obestämt mellan de två värdena. $r$ $1+{\sqrt {6}}$
Om det är större än 3,45 och mindre än 3,54 (ungefär) kommer populationen att fluktuera obestämt mellan fyra värden. $r$
Med ett värde större än 3,54 kommer populationen att fluktuera mellan 8 värden, sedan 16, 32 och så vidare. Längden på parameterändringsintervallet, vid vilket fluktuationer mellan samma antal värden observeras, minskar med . Förhållandet mellan två längder av intilliggande intervall tenderar att Feigenbaum-konstanten är lika med δ ≈ 4,669... Detta beteende är ett typiskt exempel på en kaskad av periodfördubblingsbifurkationer. $r$ $r$
Vid ett värde på cirka 3,57 börjar kaotiskt beteende och dubbleringskaskaden slutar. Fluktuationer observeras inte längre. Små förändringar i de initiala förhållandena leder till ojämförliga skillnader i systemets vidare beteende över tid, vilket är huvudkännetecknandet för kaotiskt beteende. $r$
De flesta värden över 3,57 uppvisar kaotiskt beteende, men det finns smala, isolerade "fönster" med värden där systemet beter sig regelbundet, vanligtvis kallat "periodiska fönster". Till exempel, med början med ett värde (ungefär 3,83), finns det ett intervall av parametrar där fluktuationer observeras mellan tre värden och för större värden - mellan 6, sedan 12, etc. I själva verket kan periodiska svängningar hittas i systemet med valfritt antal värden. Sekvensen för att ändra antalet värden uppfyller Sharkovsky-ordningen . $r$ $1+{\sqrt {8}}$ $r$ $r$
För > 4 lämnar mappningsvärdena intervallet [0,1] och divergerar under alla initiala förhållanden. $r$

Resultatet av ovanstående ges i bifurkationsdiagrammet . Värdena för parametern plottas längs abskissaxeln , och värdena som tas vid stora tillfällen plottas längs ordinataaxeln . $r$ $x$

Strukturen för bifurkationsdiagrammet är självliknande : om du ökar arean, till exempel vid ett värde av = 3,82 i en av de tre grenarna, kan du se att den fina strukturen av detta område ser ut som en förvrängd och suddig version av hela diagrammet. Detsamma gäller för alla områden med icke-kaotiska punkter. Detta är ett exempel på en djup koppling mellan kaotiska system och fraktaler. $r$

Ett program för att konstruera ett bifurkationsdiagram

Följande Python -program bygger ett bifurkationsdiagram.

importera matplotlib.pyplot som plt x3 = 0,01 s = [] c = [] l = 0,01 för j i intervallet ( 200 ): x0 = x3 för i i intervallet ( 200 ): x0 = 1 - l * x0 * x0 s . lägg till ( x0 ) c . lägg till ( l ) x3 = x0 l += 0,01 plt . plot ( c , s , 'r.' , ms = 1 ) plt . visa ()

Analytisk lösning

För den exakta analytiska lösningen är följande: $r=2$

x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{{2^{n}}}

Anteckningar

↑ Dynamic Chaos Arkiverad 22 mars 2012 på Wayback Machine i Encyclopedia of Physics
↑ V. N. Dumachev, V. A. Rodin. Utveckling av antagonistiskt interagerande populationer baserat på den tvådimensionella Verhulst-Pearl-modellen . - Math-Net.ru, 2005. - T. 17 , nr. 7 . - S. 11-22 . (ryska)
↑ " Java-demonstration av bifurkationer av en kvadratisk karta arkiverad 13 maj 2008 på Wayback Machine " på Dr Evgeny Demidovs hemsida.

Logistisk display

Beteende beroende av parameter

Ett program för att konstruera ett bifurkationsdiagram

Analytisk lösning

Anteckningar

Se även

Beteende beroende av parameter $r$