Logistisk ekvation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 mars 2020; kontroller kräver 6 redigeringar .

Den logistiska ekvationen , även känd som Verhulst- ekvationen (efter den belgiska matematikern som först formulerade den ), dök ursprungligen upp i studien av befolkningsförändringar .

De initiala antagandena för att härleda ekvationen när man överväger populationsdynamiken är följande:

Betecknar genom populationsstorleken (i ekologi används ofta beteckningen ), och tid - , kan modellen reduceras till differentialekvationen

där parametern kännetecknar tillväxttakten (reproduktion), och  - miljöns stödkapacitet (det vill säga största möjliga populationsstorlek). Baserat på namnet på koefficienterna, i ekologi skiljer de ofta[ förtydliga ] två strategier för arternas beteende:

Den exakta lösningen av ekvationen (där  är den ursprungliga populationsstorleken) är den logistiska funktionen , S-kurva (logistisk kurva):

var

Det är tydligt att i en "tillräcklig mängd resurser", det vill säga så länge som P ( t ) är mycket mindre än K , växer den logistiska funktionen initialt ungefär exponentiellt :

På liknande sätt, när "resursutmattning" ( t  → ∞), minskar skillnaden exponentiellt med samma exponent.

Varför Verhulst kallade ekvationen logistik är fortfarande okänt.

Det största bidraget till populariseringen av idén om befolkningstillväxt längs den logistiska kurvan gjordes av den amerikanske biologen Raymond Pearl [ 1] [2] .

År 1920 publicerade Pearl, tillsammans med Lowell Jacob Reed, Om tillväxttakten för befolkningen i USA sedan 1790 och dess matematiska representation [3] , där en ekvation av kurvan liknande den som presenterades av Verhulst gavs; det vill säga den logistiska kurvekvationen har återupptäckts.

Den logistiska kurvan efter Verhulst och före Pearl har återupptäckts minst fem gånger, som beskrivs av Peter John Lloyd i sin artikel [4] . Och även efter många publikationer av Pearl fortsatte kurvan att upptäckas [4] .

Efter publiceringen av en artikel om befolkningstillväxten i USA [3] genomförde Pearl ett storskaligt forskningsprogram i sitt laboratorium om populationen av Drosophila melanogaster-fruktflugor.

Experiment utförda för att bestämma banan längs vilken populationen av flugor ökar i ett begränsat utrymme och med begränsade matresurser har visat att under laboratorieförhållanden visar en koloni av Drosophila-flugor tillväxt längs den logistiska kurvans bana [5] .

Liknande experiment upprepades av många, föremålen var inte bara Drosophila . Det finns mycket experimentella data som visar att för många biologiska arter realiseras banorna för förändringar i deras antal i experiment, motsvarande Verhulst-Pearl-modellen [1] .

Alla försök att modellera dynamiken i tillväxten i antalet människor i olika länder och regioner med hjälp av den logistiska kurvan misslyckades, i den meningen att förutsägelserna inte gick i uppfyllelse, och laboratorieexperiment med djur och lägre organismer visade sammanträffandet av deras tillväxt banor med logistikkurvans förlopp [1] .

Varför visar sig tillväxtens logistiska lag vara sann i laboratorieförhållanden, men inte i verkligheten?

Anledningen är att experimenten i laboratoriet utfördes vid en temperatur som var bekväm för försökspersonerna, med ständig tillgång på mat, frånvaron av fiender, sjukdomar och andra negativa fenomen, det vill säga levnadsvillkoren för försökspersonerna var nära ideal. Samtidigt visar sig tillväxtprocessen vara ganska deterministisk och förutsägbar. Och befolkningstillväxten i vilket land eller region som helst sker under påverkan av negativa faktorer - epidemier, krig, svält, naturkatastrofer. Negativa effekter (störningar) är slumpmässiga i tiden och tillväxtprocessen blir dåligt förutsägbar, probabilistisk [1] .

Sedan 1924 började Pearl hävda att den logistiska kurvan återspeglar lagen om befolkningstillväxt, att tillväxt längs den logistiska kurvan är den universella lagen för tillväxt av allt levande i allmänhet [5] [6] . Biologer, statistiker och ekonomer höll inte med Pearl om att detta är en lag, eftersom det matematiska uttrycket (formeln) för den logistiska kurvan inte explicit innehåller parametrarna för den verkliga modellerade processen - den innehåller inte explicit de faktorer som befolkningen använder. storlek beror på, och efter periodens många kritiska presentationer och diskussioner bestämdes området för dess tillämpbarhet som ett forskningsverktyg för kurvan [1] [2] .

1924 tillämpade Raymond Pearl ekvationen för att beskriva autokatalytiska reaktioner .

Den diskreta analogen till den logistiska ekvationen är den logistiska kartan .

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Drozdyuk A. Logistic curve .. - Toronto: Choven, 2019. - vi + 271 + [3] sid. - ISBN ISBN 978-0-9866300-2-6 .
  2. ↑ 1 2 Kingsland, Sharon. The Refractory Model: The Logistic Curve and the History of Population Ecology  (engelska)  // The Quarterly Review of Biology. - 1982. - Mars ( vol. 57 , nr 1 ). — S. 29–52 .
  3. ↑ 1 2 Pearl, Raymond och Lowell J. Reed. Om tillväxttakten för befolkningen i USA sedan 1790 och dess matematiska representation  //  Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (PNAS; USA). - 1920. - 15 juni ( vol. 6 , nr 6 ). — S. 275–288 .
  4. ↑ 1 2 Lloyd PJ Amerikanska, tyska och brittiska Anecedents to Pearl and Reed's Logistic Curve  //  ​​​​Population Studies. - 1967. - September ( vol. 21 , nr 2 ). — S. 99–108 .
  5. ↑ 1 2 Pearl, Raymond. Befolkningstillväxtens biologi . - New York: Alfred A. Knopf, 1925. - xiv + 260 s.
  6. ↑ Pearl, Raymond. Befolkningstillväxtens biologi  //  The American Mercury. - 1924. - November ( vol. III , nr 11 ). — S. 293–305 .

Litteratur

Se även