Lotka-Volterra modell

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 mars 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Lotka-Volterra- modellen (Lotka-Volterra-modellen [1] ) är en interaktionsmodell av rovdjur-bytetyp uppkallad efter dess författare ( Lotka , 1925 ; Volterra 1926 ), som föreslog modellekvationer oberoende av varandra.

Sådana ekvationer kan användas för att modellera rovdjur-byte , parasit -värdsystem, konkurrens och andra former av interaktion mellan två arter [2] .

I matematisk form har det föreslagna systemet följande form:

{\frac {dx}{dt}}=(\alpha -\beta y)x

{\frac {dy}{dt}}=(-\gamma +\delta x)y

var är antalet offer, är antalet rovdjur, är tid och är koefficienter som återspeglar interaktioner mellan arter. $x$ $y$ $t$ $\alfa ,\beta ,\gamma ,\delta$

Lösa ett ekvationssystem

Förklaring av problemet

Ett stängt område övervägs, där två arter lever - växtätare ("offer") och rovdjur. Det antas att djur inte invandrar eller emigrerar , och att det finns ett överflöd av mat för växtätare. Sedan tar ekvationen för att ändra antalet offer (exklusive rovdjur) formen:

{\frac {dx}{dt}}=\alpha x

var är födelsetalen för offer, är storleken på befolkningen av offer, är tillväxttakten för befolkningen av offer. $\alfa$ $x$ ${\tfrac {dx}{dt))$

Medan rovdjur inte jagar, dör de ut, därför tar ekvationen för antalet rovdjur (utan att ta hänsyn till antalet byten) formen:

{\frac {dy}{dt}}=-\gamma y

var är koefficienten för förlust av rovdjur, är storleken på populationen av rovdjur, är ökningstakten i populationen av rovdjur. $\gamma$ $y$ ${\tfrac {dy}{dt))$

När rovdjur och bytesdjur möts (vars frekvens är direkt proportionell mot värdet ) dödas bytet med en koefficient , medan välnärda rovdjur kan föröka sig med en koefficient . Med detta i åtanke är modellens ekvationssystem som följer: $xy$ $\beta$ $\delta$

{\begin{cases}{\dfrac {dx}{dt}}=\alpha x-\beta xy=(\alpha -\beta y)x\\{\dfrac {dy}{dt}}= -\gamma y+\delta xy=(\delta x-\gamma )y\end{cases}}

Lösning på problemet

Hitta den stationära positionen för systemet

För en stationär position är förändringen i befolkningsstorlek noll. Följaktligen: ${\bar {x}}>0,{\bar {y}}>0$

\alpha {\bar {x}}-\beta {\bar {x}}{\bar {y}}=0

-\gamma {\bar {y}}+\delta {\bar {x}}{\bar {y}}=0

av vilket det följer att den stationära punkten i systemet runt vilken svängningar uppstår bestäms enligt följande:

{\bar {x}}={\frac {\gamma }{\delta }}

{\bar {y}}={\frac {\alpha }{\beta }}

. Ange avvikelse i systemet

När svängningar introduceras och in i systemet , på grund av deras ringa storlek, kan deras kvadrater, kuber och efterföljande potenser ( ) försummas. Således beskrivs populationer och med små avvikelser med följande uttryck: ${\tilde {x}}\ll {\bar {x}}$ ${\tilde {y}}\ll {\bar {y}}$ ${\tilde {x}}^{n}$ $x$ $y$

x={\bar {x}}+{\tilde {x}}

y={\bar {y}}+{\tilde {y}}

Genom att tillämpa dem på modellekvationerna följer det:

{\frac {d{\tilde {x}}}{dt}}=-{\frac {\beta \gamma }{\delta }}{\tilde {y}}

{\frac {d{\tilde {y}}}{dt}}={\frac {\delta \alpha }{\beta }}{\tilde {x}}

Att differentiera en av dessa ekvationer och ersätta den med den andra ger följande resultat:

{\frac {d^{2}{\tilde {x}}}{dt^{2}}}=-{\frac {\beta \gamma }{\delta }}{\frac {\delta \alpha } {\beta }}{\tilde {x}}=-\alpha \gamma {\tilde {x}}

{\frac {d^{2}{\tilde {x}}}{dt^{2}}}+\alpha \gamma {\tilde {x}}=0

Det resulterande uttrycket är den proportionella ekvationen för en harmonisk oscillator med period . $T={\frac {2\pi }{{\sqrt {\alpha \gamma ))))$

Se även

Anteckningar

↑ P. V. Turchin. Föreläsning nr 14. Populationsdynamik Arkiverad 9 juni 2020 på Wayback Machine
↑ Odum, 1986

Länkar

Befolkningsdynamik
Den enklaste rovdjur-bytesmodellen
Nicolas Bakaer, V.A. Volpert, D.M. Ediev: A Brief History of Mathematical Population Dynamics. 2021. ISBN 979-10-343-8016-9 . PDF .